I. Первообразная и неопределенный интеграл

Определение 1. Функция называется первообразной для, если

(1)

или

(2)

Пример 1. есть первообразная для, так какили.

Пример 2. есть первообразная для, так какили.

Всякая непрерывная функция имеет бесчисленное первообразная, которое отличаются друг друга на постоянное число.

Так в 1-м примере для первообразный будут, кроме,,,, и другие. Все они удовлетворяют условию (1) и (2). Вообще в общем виде можно записать первообразную в виде, где– произвольная постоянная. Действительно,

или

.

Определение 2. Общее выражение совокупности всех первообразных для функцииназывается неопределенным интегралом от этой функции и обозначается

(3)

При этом , где

–подынтегральное выражение,

–подынтегральная функция.

Операцию нахождения неопределенного интеграла называют интегрированием.

Итак, интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию, поэтому каждой формуле дифференцирования (1) соответствуют формула интегрирования (3).

Пример 3.

,

где –const.

Ниже приведена таблица основных интегралов. Каждую формулу можно проверить дифференцированием.

Таблица основных интегралов

1. (,–const, )

2. (для любого)

2.1. 2.2.

3.

4. (,,)

5.

6.

7.

8.

9.

10. ()

11. ()

12.

13.

При интегрировании используются свойства интегралов.

Свойства интегралов

1. 

2. , в частности,

,

3. , где

4. 

Таблицу интегралов и свойства необходимо выучить наизусть.

II. Методы интегрирования

Существуют три способа интегрирования: непосредственное, заменой переменной и по частям.

2.1. Непосредственное интегрирование

Непосредственное интегрирование состоит в том, что подынтегральную функцию путем тождественных преобразований с использованием формул алгебры и тригонометрии, а также используя свойства (3) и (4), сводят к табличным интегралам.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 4. .

(использованы свойства 3, 4; табличный интеграл 2, )

Правильность ответа проверяем дифференцированием:

.

Пример 5.

.

(свойства 3, 44 табличные интегралы 2.2 и 3).

Пример 6.

(свойства 3,4; табличные интегралы 1 и 7).

2.2. Метод замены переменной (подстановки)

Для вычисления интеграла сделаем замену, гдевыбирается так, чтобы после преобразований данного интеграла и новой переменной, получился интеграл, который берется непосредственно.

Предварительно находим , тогда

. (4)

После нахождения первообразной необходимо вернуться к первоначальной переменной «».

Пример 7.

.

Пример 8.

.

Замечание. Следующие интегралы удобно решать указанной заменой

,;;

,;;

,;.

Пример 9.

,

т. к. .

Формулой (4) часто пользуются справа налево:

,. (5)

При этой замене надо помнить, что в составе подынтегрального выражения должен быть дифференциал функции .

Такой метод называется под знак дифференциала

. (5’)

При использовании этого метода можно воспользоваться таблицей дифференциалов.

Таблица дифференциалов

1. ,–const, ,

2.

3.

4. ,,,

5.

6.

7.

8.

9.

10. ,

11. ,

Пример 10.

Согласно таблице дифференциалов, 1, с. 7 , положим,,,.

.

Пример 11.

По таблице дифференциалов, 1, с. 7 , положим

, ,,.

.

Пример 12. – можно найти двумя способами:

1 способ.

;

2 способ. .

Пример 13.

1 способ.

;

2 способ.

.

Пример 14.

. (табл. интегр., 3, )