Sem_2 / Sem_2

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ГЕОМЕТРИИ И АЛГЕБРЕ

(второй семестр)

Кемерово 1996

Кабенюк М. И. Сборник задач по геометрии и алгебре (второй семестр). Кемерово, 1996 г.

Задачник составлен в соответствии с программой курса "Геометрия и алгебра"во втором семестре на отделении прикладной математики и предназначен для того, чтобы в какой-то степени ликвидировать дефицит задачников, возникший в последние годы на первом курсе математического факультета.

Составитель брал задачи из следующих источников: И. В. Проскуряков "Сборник задач по линейной алгебре"(1984 г.), "Сборник задач по алгебре"под редакцией А. И. Кострикина (1995 г.), П. С. Моденов, А. С. Пархоменко "Сборник задач по аналитической геометрии"(1976 г.).

Оглавление
	ГЛАВА 1.	4
1.	ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	Аксиоматика и линейная зависимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	4
2.	Базис векторного пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	5
3.	Подпространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	5
4.	Сумма подпространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	7
5.	Прямая сумма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	8
	ГЛАВА 2.	9
6.	ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	Определение линейного оператора. Ядро и образ . . . . . . . . . . . . . . .	9

7.Матрица линейного оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

8.Собственные векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

9.Инвариантные подпространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 ГЛАВА 3.

ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

10.Скалярное произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

11.Процесс ортогонализации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

12.Геометрия евклидовых пространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

13.Линейные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

14.Сопряженный оператор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

15.Симметрический оператор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

16.Ортогональный оператор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ГЛАВА 4.

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

17.Окружность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

18.Преобразование координат на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

19.Эллипс, гипербола, парабола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

20.Эллипс, гипербола, парабола (продолжение) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

21.Фокусы и директрисы кривых второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . 22

22.Определение типа кривой второго порядка по ее общему уравнению . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

ГЛАВА 5.

КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

23.Алгоритм Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

24.Положительно определенные квадратичные формы . . . . . . . . . . . . . . 24

25.Приведение к главным осям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3

ГЛАВА 1.

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

1.Аксиоматика и линейная зависимость

1.Пусть x, y векторы, α, β скаляры. Доказать, что а) αx = 0 тогда и только тогда, когда α = 0 èëè x = 0;

á) αx + βy = βx + αy тогда и только тогда, когда α = β èëè x = y.

2.При каких значениях λ из линейной независимости системы векторов a1, a2 âûòå- кает линейная независимость системы λa1 + a2, a1 + λa2.

3.При каких значениях λ из линейной независимости системы a1, . . . , an вытекает линейная независимость системы a1 + a2, a2 + a3, . . . , an−1 + an, an + λa1?

4.Пусть x, y, z линейно независимые векторы, a произвольный вектор. Доказать,

что система x−a, y −a, z −a линейно зависима тогда и только тогда, когда существуют скаляры α, β, γ, для которых a = αx + βy + γz è α + β + γ = −1.

Доказать линейную независимость систем функций:

5.	sin x, cos x.	6. 1, sin x, cos x.		7. sin x, sin 2x, . . . , sin nx.
8.	1, cos x, cos 2x, . . . , cos nx.		9. 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, . . . , cos nx, sin nx.
10. 1, sin x, sin2 x, . . . , sinn x.			11. 1, cos x, cos2 x, . . . , cosn x.

Пусть α1, . . . , αn попарно различные вещественные числа. Доказать линейную независимость систем функций:

12. eα1x, . . . , eαnx. 13. xα1 , . . . , xαn. 14. (1 − α1x)−1, . . . , (1 − αnx)−1.

15.В пространстве функций одной вещественной переменной векторы f1, . . . , fn ëè- нейно независимы тогда и только тогда, когда существуют числа a1, . . . , an такие, что определитель det(fi(aj)) отличен от нуля. Доказать это.

16.В векторном пространстве V над полем C определим новое умножение векторов

на комплексные числа по правилу α ◦ x = αx¯ . Доказать, что относительно операций + è ◦ V является векторным пространством. Найти его размерность.

17. Пусть Cn множество всех строк (a1, . . . , an) длины n, ai C. Åñëè b C, òî

положим b ◦ (a1, . . . , an) = (ba¯1, . . . , ba¯n). Является ли Cn относительно операций + è ◦ векторным пространством?

18. Пусть V множество всех положительных функций на [a, b]. Определим сложение двух функций и умножение функции на число равенствами

f g = fg, α f = fα, f, g V, α R.

Доказать, что V с указанными операциями является векторным пространством над полем R.

19. Пусть F ïîëå, E его подмножество, являющееся полем относительно тех же самых операций (такие подмножества поля F называют его подполями). Доказать, что F является векторным пространством над полем E.

20. Найти базис и размерность поля C над полем R.

21. Пусть m1, . . . , mk

на квадрат простого числаразличные.Доказать,натуральныечто числа √числа, каждое√ из которых не делится m1, . . . , mk линейно независимы в

пространстве R íàä Q.

22. Пусть r1, . . . , rn различные рациональные числа из интервала (0, 1). Доказать, что в пространстве R над полем Q числа 2r1 , . . . , 2rn линейно независимы.

4

2.Базис векторного пространства

Пусть векторы e1, . . . , en è x заданы своими координатами в некотором базисе. Дока-

çàòü, ÷òî e1, . . . , en также базис пространства, и найти координаты вектора x в этом базисе.

23. e1 = (1, 1, 1), e2 = (1, 1, 2), e3 = (1, 2, 3), x = (6, 9, 14).

24. e1 = (2, 1, −3), e2 = (3, 2, −5), e3 = (1, −1, 1), x = (6, 2, −7).

25. e1 = (1, 2, −1, −2), e2 = (2, 3, 0, −1), e3 = (1, 2, 1, 4), e4 = (1, 3, −1, 0), x = (7, 14, −1, 2).

Доказать, что каждая из двух заданных систем векторов является базисом. Найти матрицу перехода от первого базиса ко второму.

26. a1 = (1, 2, 1), a2 = (2, 3, 3), a3 = (3, 8, 2); b1 = (3, 5, 8), b2 = (5, 14, 13), b3 = (1, 9, 2).

27. a1 = (1, 1, 1, 1), a2 = (1, 2, 1, 1), a3 = (1, 1, 2, 1), a4 = (1, 3, 2, 3);

b1 = (1, 0, 3, 3), b2 = (−2, −3, −5, −4), b3 = (2, 2, 5, 4), b4 = (−2, −3, −4, −4).

28. Доказать, что в пространстве Rn[x] многочленов степени 6 n с вещественными коэффициентами системы 1, x, . . . , xn è 1, x−a, (x−a)2, . . . , (x−a)n, ãäå a R, являются

базисами, и найти координаты многочлена f(x) = a0 + a1x + . . . + anxn в этих базисах и матрицу перехода от первого базиса ко второму.

29. Как изменится матрица перехода от одного базиса к другому, если а) поменять местами два вектора первого базиса; б) поменять местами два вектора второго базиса;

в) записать векторы обоих базисов в обратном порядке?

Доказать, что системы векторов линейно независимы, и дополнить их до базиса пространства строк.

30. (2, 2, 7, −1), (3, −1, 2, 4), (1, 1, 3, 1). 31. (2, 3, −4, −1), (1, −2, 1, 3). 32. (4, 3, −1, 1, 1), (2, 1, −3, 2, −5), (1, −3, 0, 1, −2), (1, 5, 2, −2, 6).

33. (2, 3, 5, −4, 1), (1, −1, 2, 3, 5).

3.Подпространства

Выяснить, является ли подпространством соответствующего векторного пространства каждая из следующих совокупностей векторов:

34.Векторы плоскости с началом O, концы которых лежат на одной из двух прямых, пересекающихся в точке O.

35.Векторы плоскости с началом O, концы которых лежат на данной прямой.

36.Векторы плоскости с началом O, концы которых не лежат на данной прямой.

37.Векторы координатной плоскости, концы которых лежат в первой четверти.

38.Векторы пространства Rn, координаты которых целые числа.

39.Ограниченные последовательности комплексных чисел.

40.Последовательности вещественных чисел, имеющие предел.

41.Последовательности вещественных чисел, имеющие предел a.

42.Многочлены четной степени с коэффициентами из поля F .

43.Многочлены с коэффициентами из поля F , не содержащие четных степеней переменной x.

5

Доказать, что следующие совокупности векторов пространства F n, F поле, образуют подпространства, и найти их базисы и размерности:

44. Векторы, у которых совпадают первая и последняя координаты. 45. Векторы, у которых координаты с четными номерами равны 0.

46. Векторы, у которых координаты с четными номерами равны между собой.

47. Векторы вида (α, β, α, β, . . .), ãäå α è β любые элементы F .

48. Векторы, являющиеся решениями однородной системы линейных уравнений.

Выяснить, какие из следующих совокупностей матриц порядка n над полем F îáðà-

зуют подпространства в пространстве матриц Mn(F ), найти их базисы и размерности. 49. Все матрицы. 50. Симметрические матрицы.

51. Кососимметрические матрицы. 52. Невырожденные матрицы.

53. Вырожденные матрицы. 54. Матрицы со следом, равным нулю.

Пусть RS пространство всех функций, определенных на множестве S и принимающих вещественные значения. Выяснить, какие из следующих совокупностей функций

f(x) RS составляют подпространство:

55.Функции, принимающие значение a в данной точке s S.

56.Функции, принимающие значение a во всех точках некоторого подмножества

TS.

57.Функции, обращающиеся в нуль хотя бы в одной точке множества S.

58.Функции, имеющие предел a ïðè x → ∞ (ïðè S = R).

59.Функции, имеющие не более конечного числа точек разрыва (при S = R).

Пусть K∞ пространство бесконечных последовательностей с элементами из поля K. Выяснить, какие из следующих совокупностей последовательностей составляют в K∞ подпространство:

60.Последовательности, в которых лишь конечное число элементов отлично от нуля.

61.Последовательности, в которых лишь конечное число элементов равно нулю.

62.Последовательности, в которых все элементы отличны от 1.

Выяснить, какие из следующих совокупностей многочленов образуют подпространства в пространстве Rn[x], и найти их базисы и размерности:

63.Многочлены, имеющие данный корень α R.

64.Многочлены, имеющие данный корень α C\R.

65.Многочлены, имеющие данные корни α1, . . . , αk R.

66.Многочлены, имеющие данный простой корень α R.

67.Доказать, что если подпространство векторного пространства Rn[x] для любого

k = 0, 1, . . . , m содержит хотя бы один многочлен степени k и не содержит многочленов степени > m, то оно совпадет с Rm[x].

Пусть R[x1, . . . , xm] пространство многочленов от переменных x1, . . . , xm.

68.Найти размерность подпространства всех однородных многочленов степени k.

69.Найти размерность подпространства симметрических многочленов, являющихся однородными многочленами степени k.

Пусть F поле, состоящее из q элементов. Найти:

70.Число векторов в пространстве строк F n.

71.Число базисов пространства строк F n.

72.Число невырожденных матриц порядка n над полем F .

6

73.Число вырожденных матриц порядка n над полем F .

74.Число k-мерных подпространств пространства строк F n.

75.Число решений уравнения AX = 0, ãäå A прямоугольная матрица ранга r с коэффициентами из поля F , X столбец неизвестных высоты n.

Найти базис и размерность линейной оболочки следующей системы векторов:

76. (1, 0, 0, −1), (2, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 1), (1, 2, 3, 4), (0, 1, 2, 3).

77. (1, 1, 1, 1, 0), (1, 1, −1, −1, −1), (2, 2, 0, 0, −1), (1, 1, 5, 5, 2), (1, −1, −1, 0, 0).

Найти систему линейных уравнений, задающую линейную оболочку, следующей системы векторов:

78. (1, −1, 1, 0), (1, 1, 0, 1), (2, 0, 1, 1).

79. (1, −1, 1, −1, 1), (1, 1, 0, 0, 3), (3, 1, 1, −1, 7), (0, 2, −1, 1, 2).

Для указанных систем векторов выяснить какое из двух включений имеет место:

ha1, . . . , ani hb1, . . . , bmi, hb1, . . . , bmi ha1, . . . , ani.

80. a1 = (1, 1, 1), a2 = (1, 2, 3); b1 = (1, −2, −5), b2 = (1, 0, −1). 81. a1 = (1, 1, 1, 1), a2 = (1, 2, 3, 4), a3 = (1, −1, 1, −1);

b1 = (3, 2, 5, 4), b2 = (3, 0, 1, −2).

4.Сумма подпространств

82. Пусть L1 è L2 подпространства конечномерного векторного пространства V . Доказать, что если L1 L2, òî dim L1 6 dim L2, причем равенство имеет место только

ïðè L1 = L2.

83. Доказать, что если размерность суммы двух подпространств векторного пространства на единицу больше размерности их пересечения, то сумма равна одному из этих подпространств, а пересечение другому.

84. Пусть V n-мерное векторное пространство. Доказать, что если сумма размерностей двух подпространств больше n, то их пересечение содержит ненулевые векторы.

Пусть U, V , W подпространства векторного пространства.

85.Можно ли утверждать, что U ∩ (V + W ) = (U ∩ V ) + (U ∩ W )?

86.Доказать, что равенство из предыдущей задачи верно, если V U.

87.Доказать, что (U + W ) ∩ (W + V ) ∩ (V + U) = [(W + V ) ∩ U] + [(V + U) ∩ W ].

88.Доказать, что dim [(U + V ) ∩ W ] + dim (U ∩ V ) = dim [(V + W ) ∩ U] + dim (V ∩ W ).

89.Доказать, что (U ∩ V ) + (V ∩ W ) + (W ∩ U) (U + V ) ∩ (V + W ) ∩ (W + U) è

разность размерностей этих подпространств является четным числом.

Найти размерности суммы и пересечения линейных оболочек L1 = ha1, . . . , ani, L2 = hb1, . . . , bmi для следующих систем векторов:

90. a1 = (1, 2, 0, 1), a2 = (1, 1, 1, 0); b1 = (1, 0, 1, 0), b2 = (1, 3, 0, 1). 91. a1 = (1, 1, 1, 1), a2 = (1, −1, 1, −1), a3 = (1, 3, 1, 3);

b1 = (1, 2, 0, 2), b2 = (1, 2, 1, 2), b3 = (3, 1, 3, 1).

92. a1 = (2, −1, 0, −2), a2 = (3, −2, 1, 0), a3 = (1, −1, 1, −1); b1 = (3, −1, −1, 0), b2 = (0, −1, 2, 3), b3 = (5, −2, −1, 0).

Найти базисы суммы и пересечения линейных оболочек L1 = ha1, a2, a3i è L2 =

hb1, b2, b3i:

93. a1 = (1, 2, 1), a2 = (1, 1, −1), a3 = (1, 3, 3);

7

b1 = (1, 2, 2), b2 = (2, 3, −1), b3 = (1, 1, −3).

94. a1 = (1, 2, 1, −2), a2 = (2, 3, 1, 0), a3 = (1, 2, 2, −3); b1 = (1, 1, 1, 1), b2 = (1, 0, 1, −1), b3 = (1, 3, 0, −4).

95. a1 = (1, 1, 0, 0), a2 = (0, 1, 1, 0), a3 = (0, 0, 1, 1); b1 = (1, 0, 1, 0), b2 = (0, 2, 1, 1), b3 = (1, 2, 1, 2).

96. a1 = (−1, 6, 4, 7, −2), a2 = (−2, 3, 0, 5, −2), a3 = (−3, 6, 5, 6, −5); b1 = (1, 1, 2, 1, −1), b2 = (0, −2, 0, −1, −5), b3 = (2, 0, 2, 1, −3).

97. a1 = (1, 1, 0, 0, −1), a2 = (0, 1, 1, 0, 1), a3 = (0, 0, 1, 1, 1); b1 = (1, 0, 1, 0, 1), b2 = (0, 2, 1, 1, 0), b3 = (1, 2, 1, 2, −1).

5.Прямая сумма

98. Доказать, что сумма L подпространств L1 è L2 тогда и только тогда будет прямой суммой, когда хотя бы один вектор x L однозначно представляется в виде x = x1 + x2, ãäå x1 L1, x2 L2.

99. Пусть подпространства U, V Rn заданы уравнениями x1 + x2 + . . . + xn = 0, x1 = x2 = . . . = xn. Доказать, что Rn = U V , найти проекции единичных векторов на

U параллельно V è íà V параллельно U.

100. Пусть U = h(1, 1, 1, 1), (−1, −2, 0, 1)i, V = h(−1, −1, 1, −1), (2, 2, 0, 1)i. Доказать,

÷òî R4 = U V , и найти проекцию вектора (4,2,4,4) на подпространство U параллельно

V .

101. Доказать, что для любого подпространства U Rn существует такое подпро- странство V , ÷òî Rn = U V .

102. Доказать, что пространство матриц Mn(R) является прямой суммой подпространства симметрических и подпространства кососимметрических матриц, и найти проекции матрицы

	1	1	1	· · ·	1
0		1	1	· · ·	1
	0	0	1	· · ·	1	.

· · · · · · · ·

0 0 0 · · · 1

на каждое из этих подпространств параллельно другому подпространству.

103. Пусть U подпространство кососимметрических матриц, V подпространство верхнетреугольных матриц в Mn(R).

а) Доказать, что U V = Mn(R).

б) Найти проекцию матриц Eij íà U è V .

104. Пусть U подпространство симметрических матриц V подпространство верхненильтреугольных матриц в Mn(R).

а) Доказать, что U V = Mn(R).

б) Найти проекцию матрицы Eij íà U è V .

105.Пусть F поле из q элементов, U подпространство размерности m в пространстве V размерности n над полем F . Найти число таких подпространств W в V , что V = U W .

106.Пусть V линейное пространство над бесконечным полем F è V1, . . . , Vk

подпространства в V , причем V = V1 . . . Vk. Доказать, что V = Vi для некоторого

i = 1, . . . , k.

8

ГЛАВА 2.

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

6.Определение линейного оператора. Ядро и образ

Какие из следующих отображений в соответствующих векторных пространствах яв-

ляются линейными операторами. Для линейных операторов найти ядро и образ:

107.

x 7→a (a фиксированный вектор).

108.

x 7→x + a (a фиксированный вектор).

109.

x 7→αx (α фиксированный скаляр).

110.

x 7→(x, a)b ((x, a) скалярное произведение, a, b фиксированные векторы).

111.

x 7→(a, x)x ((x, a) скалярное произведение, a фиксированный вектор).

112.

f(x) 7→f(ax + b) (f Rn[x], a, b фиксированные

(k)

f(x) 7→f(x + 1) − f(x) (f Rn[x]).

числа).

113.

114. f(x) 7→f

(x) (f Rn[x]).

115.

(x1, x2, x3) 7→(x1 + 2, x2 + 5, x3).

−

1

2

3

7→

2

3

3

116.

(x

, x

, x

)

(x

+ x

, 2x1

+ x3, 3x1

x2 + x3).

117.

(x1

, x2

, x3) 7→(x1

+ 3x3, x2

, x1 + x3). 118. (x1, x2, x3) 7→(x1, x2, x1 + x2 + x3).

119.

Доказать, что всякий линейный оператор любую линейно зависимую систему

векторов переводит в линейно зависимую систему.

120. Доказать, что в n-мерном пространстве для любой линейно независимой системы векторов a1, . . . , an и произвольной системы векторов b1, . . . , bn найдется единствен-

ный линейный оператор, переводящий ai â bi (i = 1, . . . , n).

121. Доказать, что в одномерном векторном пространстве всякий линейный оператор

имеет вид x 7→αx, ãäå α некоторый скаляр.

122. Доказать, что всякое подпространство векторного пространства является: а) ядром некоторого линейного оператора; б) образом некоторого линейного оператора.

123. Доказать, что если два линейных оператора ранга 1 имеют равные ядра и равные образы, то они перестановочны.

124. Если для линейного оператора ϕ векторного пространства V выполняется равенство ϕ2 = ϕ, òî V = Ker ϕ Im ϕ. Доказать.

125.Пусть ϕ линейный оператор ранга 1. Доказать, что хотя бы один из операторов ϕ + ε, ϕ − ε обратим. (Здесь ε тождественный оператор.)

126.Пусть ϕ линейный оператор в пространстве V , L подпространство V è L ∩

Ker ϕ = 0. Доказать, что любая линейно независимая система векторов из L оператором ϕ переводится в линейно независимую систему.

7.Матрица линейного оператора

Найти матрицу оператора в указанном базисе:

векторов.127. (x1, x2, x3) 7→(x1, x1 + 2x2, x2 + 3x3) в пространстве R3 в базисе из единичных

128.Поворот плоскости на угол α вокруг начала координат в произвольном ортонормированном базисе.

129.Поворот трехмерного пространства на угол 2π

угольной системе координат уравнениями	3 вокруг прямой, заданной в прямо-
осей координат.	x1 = x2 = x3, в базисе из единичных векторов

9

M2(R)

130. Проектирование трехмерного пространства на координатную ось вектора e2

параллельно координатной плоскости векторов e1 è e3 в базисе e1, e2, e3.

131. x 7→(x, a)a в пространстве R3 в ортонормированном базисе e1, e2, e3, åñëè

a = e1 − 2e3.

132. X 7→	a	b	X в пространстве M2(R) в базисе из матричных единиц.
	c	d

133. X 7→X	a	b	в пространстве M2(R) в базисе из матричных единиц.
	c	d

134. X 7→XT в пространстве M2(R) в базисе из матричных единиц.

135. X 7→AXB (A, B фиксированные матрицы в пространстве состоящем из матричных единиц.

136. X 7→AX + XB (A, B фиксированные матрицы в пространстве базисе, состоящем из матричных единиц.

137.Дифференцирование в пространстве Rn[x] в базисе 1, x, . . . , xn.

138.Дифференцирование в пространстве Rn[x] в базисе xn, xn−1, . . . , 1.

139.Дифференцирование в пространстве Rn[x] в базисе

в базисе,

M2(R) â

	1, x	−	1,	(x − 1)2	, . . . ,	(x − 1)n
				2		n!

.

140.Доказать, что в пространстве R3 существует единственный линейный оператор, переводящий векторы (1, 1, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 2) соответственно в векторы (1, 1, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 1) и найти матрицу этого оператора в базисе, состоящем из единичных векторов.

141.Пусть линейный оператор в пространстве V в базисе e1, e2, e3, e4 имеет матрицу

0 1 2 3

5 4 0 −1

.

3 2 0 3

6 1 −1 7

Найти матрицу этого оператора в базисах: а) e2, e1, e3, e4;

á) e1, e1 + e2, e1 + e2 + e3, e1 + e2 + e3 + e4.

142. Пусть линейный оператор в пространстве R2[x] имеет в базисе 1, x, x2 матрицу

	0	1	0	.
	0	0	1
	1	0	0

Найти его матрицу в базисе 3x2 + 2x + 1, x2 + 3x + 2, 2x2 + x + 3.

143. Пусть линейный оператор в пространстве R3 имеет в базисе (8, −6, 7), (−16, 7, −13), (9, −3, 7) матрицу

	1	−22	20	.
	1	−18	15
−1		−25	22

Найти его матрицу в базисе (1, −2, 1), (3, −1, 2), (2, 1, 2).

144. Пусть линейный оператор ϕ в n-мерном векторном пространстве V переводит линейно независимые векторы a1, . . . , an в векторы b1, . . . , bn соответственно. Доказать,

10