16-20

2. Изгибом называется такой вид деформации, когда под действием внешних сил в поперечных сечениях бруса возникают изгибающие моменты. Брусья, работающие на изгиб, называют балками. На изгиб работают валы, оси и другие детали конструкций.

Опоры и опорные реакции балок. Балки служат для передачи действующих на них нагрузок на опоры, на которых они покоятся. На опорах балки возникают реакции, с определения которых следует начинать решение всех задач, связанных с изгибом балок. В зависимости от числа и устройства опор балки число реакций, подлежащих определению, бывает различно. Опоры балок по их устройству могут быть разделены на следующие три основных типа: шарнирно-неподвижная опора; шарнирно-подвижная опора; жестко-защемленная опора.

Шарнирно-неподвижная опора показана на рис. 3.2.19, а. Конец балки 3 опирается на шарнир 1. Шарнир 1 лежит на опорной подушке 2, которая, в свою очередь, жестко прикреплена к опорной плоскости. Такая опора не дает концу балки возможности передвигаться в каком-либо направлении, позволяя ему только поворачиваться относительно центра шарнира. В дальнейшем шарнирно-неподвижную опору будем изображать схематически, как показано на рис. 3.2.19, б.

Относительно реакции, возникающей в шарнирно-неподвижной опоре, нам известно только, что она лежит в плоскости действия нагружающих балку сил и проходит через центр шарнира. Величина и направление реакции нам неизвестны. Неизвестную по величине и направлению реакцию всегда можно заменить двумя ее составляющими – одной вертикальной и другой горизонтальной (рис. 3.2.19, в).

Шарнирно-подвижная опора показана на рис. 3.2.20, а. Такая опора отличается от шарнирно-неподвижной тем, что у нее опорная подушка поставлена на катки, дающие ей возможность передвигаться вместе с концом балки вдоль ее оси по опорной плоскости. В дальнейшем шарнирно-подвижную опору будем изображать схематически, как показано на рис. 3.2.20, б.

Шарнирно-подвижная опора налагает на конец балки только одну связь – она не дает концу балки перемещаться в направлении, перпендикулярном к оси балки. Следовательно, шарнирно-подвижная опора дает лишь одну реакцию, неизвестную по величине, но известную по направлению.

Жесткое закрепление конца балки показано схематически на рис. 3.2.21. Такая опора препятствует всякому перемещению конца балки в плоскости действия внешних нагрузок и, кроме того, препятствует вращению конца балки. В жестком защемлении возникает реакция, неизвестная по величине и направлению, препятствующая перемещению конца балки, и реактивный момент, препятствующий повороту конца балки. Неизвестную реакцию всегда можно заменить двумя составляющими – одной вертикальной , и другой горизонтальной . На этом основании можно сказать, что на опоре, представляющей жесткое защемление, возникают три неизвестные реакции: вертикальная реакция , горизонтальная реакция и опорный момент М.

Рис. 3.2.21

Определение опорных реакций балок. При всех видах деформаций, изучаемых в сопротивлении материалов, предполагается, что величины деформации невелики, поэтому при определении опорных реакций балок можно пренебречь теми изменениями, которые происходят в расположении внешних сил, действующих на балку вследствие деформации балки. В случае действия на балку сил, лежащих в одной плоскости, статика дает три уравнения равновесия:

Σ X_i =0, Σ Y_i =0, Σ М_i = 0,

т.е. для равновесия балки необходимо, чтобы суммы проекций всех сил, приложенных к балке, вместе с реакциями опор на оси х и у были равны нулю; кроме того, должна быть равна нулю и сумма моментов всех сил относительно любой точки плоскости.

Если силы, изгибающие балку, перпендикулярны ее оси, то уравнение Σ X_i = 0 обращается в тождество, и для определения реакций остаются два уравнения статики:

1) ∑Y_i =0; 2) Σ М_i = 0.

Если балка при поперечном изгибе имеет такие опоры, что общее число реакций, возникающих на опорах, не превышает двух, то реакции могут быть всегда определены из двух уравнений статики. Такие балки, реакции которых могут быть определены из уравнений статики, называются статически определимыми балками.

Статически определимые балки могут быть только следующих двух видов:

1) балка с одним жестко-защемленным и другим свободным концом, иначе консоль (рис. 3.2.22, а);

2) балка с одной шарнирно-неподвижной и другой шарнирно-подвижной опорами (рис. 3.2.22, б, в).

Рис. 3.2.22

Рассмотрим на конкретном примере определение реакций статически определимых балок.

Предварительно условимся ось Х направлять всегда по оси балки, ось Y – вертикально вверх. При составлении уравнений моментов за положительные моменты условимся считать моменты, направленные против часовой стрелки. Если на балку действует сплошная равномерно распределенная нагрузка, как показано на рис. 3.2.23, то при определении реакций сплошная нагрузка заменяется ее равнодействующей. Точка приложения равнодействующей сплошной распределенной нагрузки лежит посередине того участка, на который она действует. Сплошная равномерно распределенная нагрузка часто задается ее интенсивностью.

Под интенсивностью распределенной нагрузки понимают величину нагрузки, приходящуюся на единицу длины. Если вся сплошная нагрузка равна F, а длина участка, на который она действует l, то интенсивность нагрузки будет определяться по формуле

q = .

Размерность интенсивности нагрузки выражается обычно в Н/м или Н/мм.

Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил. Для оценки прочностной надежности балки следует установить сечения, в которых внутренние силовые факторы (поперечная сила (Q) и изгибающий момент (М)) имеют максимальные значения. Анализ внутренних силовых факторов будет наглядным, если построить графики изменения поперечных сил и изгибающих моментов вдоль центральной оси балки. Эпюры строятся аналогично эпюрам продольных сил и крутящих моментов. При построении эпюр положительные значения поперечных сил и моментов откладывают вверх от оси, отрицательные – вниз; ось эпюры проводят параллельно оси балки.

Рассмотрим простую балку, нагруженную двумя силами F₁ и F₂ (рис. 3.2.24). Пусть реакции на левой и правой опорах будут равны R_A и R_B. Для определения внутренних сил упругости в каком-либо сечении балки применим метод сечений. Разрежем мысленно балку в сечении, отстоящем на расстоянии х от левой опоры балки, и рассмотрим левую часть балки, отбросив ее правую часть.

Рис. 3.2.24

Для того чтобы левая часть балки находилась в равновесии, в сечении должны действовать поперечная сила Q и изгибающий момент М. Из условия равновесия левой части балки имеем

, R_A – F₁ – Q = 0, откуда Q = R_A – F₁;

, R_Ax – F₁(x – a) – M = 0, откуда М = R_A · x – F₁(x – a).

Сила Q – результирующая внутренних сил, приложенная к оставшейся части балки, численно равная алгебраической сумме внешних сил, действующих по одну сторону от сечения, называется поперечной или перерезывающей силой.

Момент пары внутренних сил, приложенный к оставшейся части балки, численно равный алгебраической сумме моментов внешних сил, действующих по одну сторону от сечения, называется изгибающим моментом в сечении.

Так как вся балка под действием внешних сил вместе с силами реакций находится в равновесии, то сумма всех сил, действующих на часть балки, лежащую левее сечения, должна быть равна сумме всех сил, действующих на часть балки, лежащую правее сечения, но иметь обратное направление.

По тому же условию равновесия момент равнодействующей пары всех сил, действующих левее сечения относительно центра тяжести сечения, должен быть равен моменту равнодействующей пары сил, действующих правее сечения относительно центра тяжести сечения, но иметь обратное направление.

Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов: изгибающий момент положительный, если он изгибает балку выпуклостью вниз и изгибающий момент отрицательный, если он изгибает балку выпуклостью вверх (рис. 3.2.25, а).

Поперечная сила положительная, если равнодействующая внешних сил слева от сечения направлена вверх, а справа от сечения – вниз и наоборот (рис. 3.2.25, б).

3 Касательные напряжения при изгибе. В случае поперечного изгиба внутренние силы в брусе уравновешивают изгибающий момент и поперечную силу. Изгибающий момент уравновешивается нормальными напряжениями, а поперечная сила – касательными, которые пропорциональны поперечной силе Q. Средняя величина этих касательных напряжений определяется по известной нам формуле

Если положить два бруса один на другой и изгибать их силой F, то каждый брус будет деформироваться независимо от другого; нижние волокна будут растягиваться, а верхние – сжиматься. По плоскости соприкосновения один брус будет скользить по другому и концевые сечения брусьев разойдутся (рис. 3.2.32, а). Чтобы заставить брусья работать как одно целое, нужно по плоскости соприкосновения приложить касательные усилия , как показано на рис. 3.2.32, б. В целом брусе верхняя часть не может сдвинуться относительно нижней; это и вызывает действие касательных усилий (напряжений) по площадкам, параллельным нейтральному слою, т.е. между горизонтальными слоями бруса.

Формула для определения касательных напряжений в балках симметричного сечения была впервые выведена русским инженером-мостостроителем Д.И. Журавским (1821-1891). Потребность в такой формуле была вызвана тем, что в XIX веке при строительстве мостов широко применялись деревянные конструкции, а балки из древесины обычно имеют прямоугольное сечение и плохо работают на скалывание вдоль волокон.

Рис. 3.2.32

Формула имеет следующий вид:

, (3.2.27)

где Q – поперечная сила в сечении;

S_х – статический момент относительно нейтральной оси части поперечного сечения, расположенной по одну сторону от рассматриваемых волокон;

J_x – момент инерции сечения относительно нейтральной оси;

b – ширина сечения на уровне волокон, где определяются напряжения.

Для прямоугольного сечения:

S_x = , J_x =,

тогда

 =.

Так как – среднее касательное напряжение, то максимальные касательные напряжения в 1,5 раза больше средних. Касательные напряжения достигают больших значений только при  . В других случаях они невелики.

Проверку прочности балки по касательным напряжениям необходимо делать при очень коротких балках и при резко меняющихся размерах сечения по высоте.

Понятия о линейных и угловых перемещениях(деформация). При изгибе сечения балки перемещаются перпендикулярно оси балки и поворачиваются вокруг своих нейтральных осей (рис. 3.2.33). Возможны случаи, когда балка, удовлетворяя условию прочности, не обладает достаточной жесткостью, т.е. прогибы и углы поворота сечения недопустимо велики.

Допустимый прогиб балок в машиностроении очень невелик. Обычно он назначается в долях от пролета балки и составляет от 1/200 до 1/1000 пролета (межопорного расстояния).

Под действием поперечных нагрузок продольная ось искривляется. Если материал подчиняется закону Гука, после снятия нагрузок брус выпрямляется, поэтому изогнутую ось бруса называют упругой линией. По форме упругой линии балки можно судить о перемещениях при изгибе.

При прямом поперечном изгибе бруса его ось, искривляясь, остается в силовой плоскости. В результате деформации бруса каждое из его поперечных сечений получает вертикальное и горизонтальное перемещение, а само сечение поворачивается на некоторый угол.

Деформации должны иметь упругий характер, они достаточно малы. В этом случае горизонтальные перемещения сечений ничтожно малы и не учитываются. Рассматривают вертикальные перемещения центра тяжести сечения, называемые прогибами (у). Максимальные прогибы обозначают f = у_mах. Для обеспечения нормальной работы устанавливаемого на балках оборудования проводят расчет на жесткость.

Условие жесткости выражается неравенством

,

где f – максимальный расчетный прогиб балки;

[f] – допускаемый прогиб.

Иногда проверяется угол поворота сечения (рис. 3.2.34).

Существует несколько методов определения перемещения сечений при изгибе. Один из них основан на дифференцировании уравнения упругой линии, более рациональный способ – использование интегралов Мора. Метод Мора – универсальный способ определения линейных и угловых перемещений в любых системах.

Для облегчения расчетов на жесткость можно использовать формулы прогибов и углов поворота сечений балок для простейших случаев нагружений.

При решении используем принцип независимости действия сил. Заданный случай нагружения делится на составляющие, для которых прогибы рассчитываются по известным табличным формулам, результаты расчетов суммируются.

Ограничение угла поворота вводится для обеспечения нормальной работы подшипников скольжения и роликовых подшипников.

В этом случае проверяется дополнительное условие жесткости: .

4 Известно, что условие прочности выражается следующим образом:

.

5 Внецентренное растяжение – сжатие. Рассмотрим нагружение бруса осевой силой F, параллельной оси, приложенной в некоторой точке Е, т.е. действующей с некоторым эксцентриситетом е. В этом случае брус испытывает внецентренное растяжение. Приложим в точке О две равные и противоположно направленные силы F и F, равные F, от этого ни равновесие бруса, ни напряжения в его поперечных сечениях не изменятся.

Рассматривая отдельно эти силы, можно сделать вывод, что сила F вызывает растяжение, а оставшаяся пара сил образует момент Fе, изгибающий брус.

Сила F, действующая по оси бруса, вызывает напряжение растяжения, которое определяется по формуле

,

это напряжение распределяется равномерно по всему поперечному сечению бруса и имеет одинаковую величину в любом сечении (рис. 3.2.36, б).

Изгибающий момент Fe постоянен по длине бруса. Он вызывает чистый изгиб, при котором возникают напряжения

.

Из рис. 3.2.36 видно, что верхние волокна бруса растягиваются силой F и изгибающим моментом Fе, а нижние волокна растягиваются силой F и сжимаются изгибающим моментом Fе. При этом в одной и той же плоскости возникают нормальные напряжения и, следовательно, суммарные напряжения будут равны алгебраической сумме напряжений (_р + _и), тогда

.

Таким образом, в верхних волокнах возникают максимальные напряжения, в нижних – минимальные:

; .

Однако бывают случаи, когда плоскость действия изгибающих моментов не совпадает ни с одной из главных плоскостей балки. Такой изгиб называется косым изгибом.

Рассмотрим пример косого изгиба. Пусть балка прямоугольного сечения, защемленная одним концом (рис. 3.2.35, а, б) изгибается силой F, действующей перпендикулярно к оси балки на свободном конце и составляющей угол с главной плоскостью ху.

Так как плоскость действия изгибающего момента в данном случае не совпадает ни с одной из главных плоскостей балки, то это будет случай косого изгиба. Абсолютное значение изгибающего момента в каком-либо сечении, отстоящем на расстоянии х от защемления, будет равна

М = F(l – х).

Разложим силу F на две составляющие F_z и F_y, действующие по главным осям сечения у и z. Тогда абсолютные значения составляющих моментов будут равны;

М_z = F_y(l – x) = F(l – x)cos,M_y = F_z (l – x) = F(l – x)sin.

Моменты M_y и М_z действуют в главных плоскостях балки. Напряжения от каждого из этих моментов, взятых в отдельности, мы определять умеем. Пользуясь законом независимости действия сил, можно найти напряжения, получающиеся при одновременном действии моментов M_y и М_z.Таким образом, случай косого изгиба можно всегда свести к двум плоским, или, как иногда говорят, к простым изгибам.

При действии только одного момента М_z нейтральной осью будет ось z (рис. 3.2.35, в), и нормальное напряжение для какой-либо точки N с координатами z, у, взятой в первом квадранте сечения mn, определяется по формуле

₁ = .

Напряжение в той же точке от действия только момента М_y (рис. 3.2.35, г) равно:

₂ = .

Рис. 3.2.35

При одновременном действии двух моментов М_y и M_z напряжение в любой точке сечения будет равно алгебраической сумме напряжений ₁ и ₂ т.е.

 = ₁ + ₂=. (3.2.28)

В эту формулу координаты у, z точек сечения и изгибающие моменты подставляются со своими знаками. Координаты z и у положительны в первой четверти, отрицательны в третьей четверти, во второй четверти у положительна z отрицательна, а в четвертой четверти у отрицательна, z положительна. Если момент действует так, что в рассматриваемой четверти он вызывает растяжение, то ему приписывается знак плюс, а если сжатие, то минус. Наибольшее суммарное напряжение будет в точках В и С. Абсолютные значения этих напряжений будут одинаковы. Уравнение нейтральной линии получим, приравнивая нулю правую часть формулы (3.2.28):

= 0 или .

Этому уравнению прямой линии удовлетворяют значения у = 0 и z = 0; сле-довательно, нейтральная линия проходит через центр тяжести поперечного сечения. Определив из последнего выражения отношение у/z, найдем тангенс угла, составляемого нейтральной линией с положительным направлением оси z (рис. 3.2.35, д):

tg= = – tg .

Из формулы видно, что для таких сечений, у которых J_y = J_z (квадрат, круг и др.), нейтральная линия всегда будет перпендикулярна к плоскости действия изгибающего момента, в которой и будет происходить деформация изгиба, не может быть косого изгиба.