19.Равномерное распределение,числовые хар-ки.

Равномерное-если на интервале,которому принадлежит все возможные значения случ величины,плотность распределения сохраняет постоянное значение.

.f(x)

c

a b x

.c(b-a) = 1

пусть x≤a

пусть a<x≤b

пусть x˃b

.F(x)

1

abx

20.показательно распределение, его числовые характеристики. Функция надежности.

f(x)=f(x)

(ƛ˃0 x

пусть х≤0

пусть х˃0

.F(x)

1

M(x)=

.

=

M(x)==˃ ƛ=

D(x)= M(

σ(x)==

M(x)=σ(x)=

Длительность безотказной работы элементов/элементов/аппаратов и т.д. обычно имеет показательное распределение. Вероятность отказа за время t вычисляется по формуле

F(t)=1-,t˃0, а вероятность отказа или функция надежность по:

R(t)=1 – F(t) = 1- (1

21. Нормальное распределение, его числовые характеристики. Нормальная кривая.

Непрерывная случайная величина Х называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения равна:

f(x)=(1/(o*под корнем2п)*e^(x-a)^2/2о^2, >0

мы видим,что нормальное распределения определяется 2мя параметрами:a-мат ожидание и о-кв отклонение.Достатачно знать,эти параметры,чтобы задать нормальное распределение.

а)по опеределнию мат ожидания непрерывной случайной величины

M(x)=a

б)Среднее кв отклоненик номрального распределения равно параметру o

Нормальная кривая.

График плотности нормального распределения-нормальная кривая(кривая Гаусса)

22.Функция Лапласа и ее св-ва.Вычисление вероятности попадания в интервал нормально распределенной случайной велечины.Правило трех сигм.

Известно,что если случайная велечина Х задана плотностью распределения f(x),то вероятность того,что Х примет значение,принадлежащее интервалу(альфа,бетта) такова:

Р(альфа<X<бетта)= интеграл f(x)dx

пусть случайная велечина Х распределена по нормальному закону,тогда вероятность того,что Х примет значение,принадлежащее интервалу(альфа;бетта) равна

Р(альфа<X<бетта)=

Используя форумул Лапласа окончательно получим Р(альфа<X<бетта) =Ф(бетта-a/o)-Ф(альфа-a/o)

Правило трех сигм.

Преобразуем формулу Р(|X-a|< сигмы)=2Ф(сигма/среднее кв.откл.)я обозначу его - o

положив сигму=to,получаем

Р(|Х-а|<ot)=2Ф(t)

если t=3 и,следовательно,ot=3o,то

Р(|Х-а|<3o)=2Ф(3)=2*0,49865=0,9973

т.е вероятность того,что отклонение по абсолютной велечине будет меньше утроенного значения сред кв значения=0,9973

На практике правило 3 сигм применяют так:если распределение изучаемой случайной величины неизвестно,но условие,указ. в правиле,выполняется,то есть основание предполагать,что изучаемая величина распределена нормально:в противнмо случае не рапределена номрально.

23. Понятие о центральной предельной теореме (теорема Ляпунова).

Центральная предельная теорема. Если случайная величина X представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то X имеет распределение, близкое к нормальному распределению.(Пусть производится измерение некоторой физ величины,любое знаечнеи дает лишь приближенное значение,т.к на результат влияют независимые случайные факторы(t,колебания прибора).Каждый фактор порождает "ошибку",однако поскольку это число велико,их совокупное действие порождает уже "суммарную ошибку".Р/м суммарную ошибку как сумму большого числа взаимно независимых частных ошибок,мы в праве заключить,что суммарная ошибка имеет распределение,близкое к нормальному

Центральная предельная теорема (для разнораспределенных слагаемых) – теорема Ляпунова. Пусть X1, X2,…Хn, …– независимые случайные величины с математическими ожиданиями М(Хk)=аk D(Xk)=b 2/n i = 1, 2,…, n.

Введем обозначения:

Sn=X1+X2...+Xn

An=суммаK

Cущность Ляпунова состоит в том,чтобы каждое слогаемое суммы(Sn-An)/Bn оказывало на сумму ничтожное влияние