МАТЕМАТИКА для экономистов / Булгаков Н.А. Основные законы и формулы по математике и физике
.pdfН. А. Булгаков
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И ФОРМУЛЫ ПО МАТЕМАТИКЕ И ФИЗИКЕ
ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ФИЗИКА
СПРАВОЧНИК
• ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ •
Министерство образования Российской Федерации
Тамбовский государственный технический университет
Н. А. Булгаков
ОСНОВНЫЕ
ЗАКОНЫ И ФОРМУЛЫ ПО МАТЕМАТИКЕ И ФИЗИКЕ
ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ФИЗИКА
СПРАВОЧНИК
Тамбов
• Издательство ТГТУ •
2002
УДК 531(075)
ББК В3я73
Б90
Р е ц е н з е н т ы:
Доктор технических наук, профессор кафедры "Приемные и передающие радиоустройства" ТВАИИ,
заслуженный работник высшей школы РФ
Д. Д. Дмитриев
Кандидат технических наук, профессор кафедры "Физика" ТВАИИ
В. С. Макаров
Булгаков Н. А.
Б90 Основные законы и формулы по математике и физике: Справочник. Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн.
ун-та, 2002. 72 с.
Представлены в сжатой форме основные законы и формулы по всему курсу физики, а также по школьной и высшей математике, знание которых необходимо для решения задач и осмысления физической сущности явлений.
Основное назначение — помочь быстро найти или восстановить в памяти необходимые законы и формулы. Используется современная терминология и обозначения.
Привлекателен в качестве справочного материала при подготовке к семинарским занятиям и экзаменам. Помимо студентов вузов может быть полезен инженерно-техническим работникам и учащимся колледжей и школ.
УДК 531(075)
ББК В3я73
Тамбовский государственный
технический университет (ТГТУ), 2002
Н. А. Булгаков, 2002
Справочное издание
БУЛГАКОВ Николай Александрович
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И ФОРМУЛЫ ПО МАТЕМАТИКЕ И ФИЗИКЕ
ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ФИЗИКА
Редактор З. Г. Чернова
Инженер по компьютерному макетированию М. Н. Рыжкова
ЛР № 020851 от 27.09.99 Плр № 020079 от 28.04.97
Подписано в печать 02.03.2002.
Гарнитура Times ET. Формат 60 × 84 / 16.
Бумага офсетная. Печать офсетная. Объем: 4,2 усл. печ. л.; 4,5 уч.-изд. л. Тираж 500 экз. С. 151М
Издательско-полиграфический центр Тамбовского государственного технического университета
392000, Тамбов, Советская, 106, к. 14
ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
nЧисловые неравенства: Если a > b , то b < a . Если a > b и b > c , то a > c . Если a > b , то a + c > b + c .
Если a > b и c > 0 , то ac > bc . Если a > b и c < 0 , то ac < bc .
Если a > b и c > d , то a + c > b + d .
Если a > 0 , b > 0 , c > 0 , d > 0 , причем a > b и c > d , то ac > bd . Если a > b > 0 и n — натуральное число, то an > bn .
nРазложение на множители:
a2 − b2 = (a − b)(a + b); |
|
|
a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2 ; |
||||||
a3 ± b3 = (a ± b)(a2 m ab + b2 ); |
|
a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 = (a ± b)3 ; |
|||||||
ax2 + bx + c = a (x − x1 )(x − x2 ), |
|
|
|
||||||
где x1 и x2 |
— корни уравнения ax2 |
|
+ bx + c = 0 . |
||||||
n Квадратное уравнение ax2 |
+ bx + c = 0 : |
||||||||
x1,2 = − b ± |
D = − b ± |
b2 − 4ac |
— формулакорнейквадратногоуравнения. |
||||||
2a |
|
2a |
|
|
|
|
|
||
Теорема Виета: x1 |
+ x2 = − |
b |
|
, |
x1 x2 = |
|
c |
. |
|
a |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
a |
n Арифметическая прогрессия:
a1 , a2 , ..., an , ... — члены арифметической прогрессии;
d — разность арифметической прогрессии;
an+1 = an + d — определение арифметической прогрессии; an = a1 + d (n − 1) — формула n-го члена;
an = |
an−1 + an+1 |
— характеристическое свойство; |
||||
|
2 |
|
2a1 + d (n −1) |
n — формула суммы n первых членов. |
||
Sn = |
a1 + an |
|
n = |
|||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
n Геометрическая прогрессия: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a1 , a2 , ..., an , ... — члены геометрической прогрессии; |
|
|
|
|
|||||||
q — знаменатель геометрической прогрессии; |
|
|
|
|
|
|
|||||
bn+1 = b q, |
|
b ≠ 0, q ≠ 0 — определение геометрической прогрессии; |
|
|
|
||||||
bn = b1qn−1 — формула n-го члена; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
bn2 = bn−1bn+1 |
— характеристическое свойство; |
|
|
|
|
|
|
||||
Sn = bnq − b1 |
= b1 (qn − 1) — формула суммы n первых членов; |
|
|
|
|
||||||
|
q − 1 |
q − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = |
b1 |
— формула суммы бесконечной геометрической прогрессии при |
q |
< 1 . |
|||||||
1 |
− q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ТРИГОНОМЕТРИЯ |
|
|
|
|
||
n Свойства тригонометрических функций: |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
sin(−x) = −sin x ; |
|
sin(x + 2πk) = sin x ; |
|
|
|
|
||
|
|
|
cos(−x) = cos x ; |
|
cos(x + 2πk) = cos x ; |
|
|
|
|
||
|
|
|
tg (− x) = −tg x ; |
|
tg (x + πk) = tg x ; |
|
|
|
|
||
|
|
|
ctg (−x) = −ctg x ; |
|
ctg (x + πk) = ctg x , |
|
|
|
|
||
где k — любое целое число. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n Таблица значений тригонометрических функций некоторых углов |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Аргумент α |
|
|
|
|
|
|
|
Функция |
0 |
π |
π |
π |
π |
π |
|
3π |
|
|
|
6 |
4 |
3 |
2 |
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
sin α |
0 |
1 |
2 |
3 |
1 |
0 |
|
–1 |
|
|
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
2 |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
cos α |
1 |
3 |
2 |
1 |
0 |
–1 |
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
2 |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
tg α |
0 |
3 |
1 |
3 |
— |
0 |
|
— |
|
|
|
3 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctg α |
— |
3 |
1 |
3 |
0 |
— |
|
0 |
|
|
|
3 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примечание. Связь между градусной и радианной мерами измерении угла: |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
1° = |
π рад. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
180 |
|
|
|
|
n Формулы, связывающие тригонометрические функции одного и того же аргумента: |
sin2 α + cos2 α = 1; |
|
tg |
α = |
sin α |
; ctg α = |
cos α |
; |
|||
|
cos α |
sin α |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 + tg2 α = |
|
1 |
|
; |
1 + ctg2 α = |
1 |
. |
|
||
cos2 α |
sin2 α |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n Формулы двойного угла:
sin 2α = 2 sin αcos α = |
|
2tg α |
|
; |
|
|
|
||||||||||
|
|
+ tg2 |
α |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
cos 2α = cos |
2 |
α − sin |
2 |
α = 1 − 2 sin |
2 |
α = |
1 − tg2 |
α |
; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1 + tg2 |
α |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
tg 2α = |
|
|
2 tg α |
; |
ctg 2α = |
|
ctg2 |
α − 1 |
. |
|
|
||||||
1 − tg2α |
|
|
|
2 ctg α |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n Формулы тройного угла:
sin 3α = 3 sin α − 4 sin3 α; cos 3α = 4 cos3 α − 3 cos α.
n Формулы понижения степени:
sin2 α = |
1 − cos 2α |
; |
cos2 α = |
1 + cos 2α |
. |
|
2 |
2 |
|||||
|
|
|
|
n Формулы сложения и вычитания аргументов:
sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β ;
cos (α ± β) = cos αcos β m sin α sin β ;
tg (α ± β) = |
tg α ± tg β |
. |
|
||
|
1 m tg α tg β |
n Формулы сложения и вычитания тригонометрических функций:
sin α + sin β = 2 sin |
α + β cos |
α − β ; |
|
|||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
sin α − sin β = 2 sin |
α − β cos |
α + β ; |
|
|||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
cos α + cos β = 2 cos |
α + β cos |
|
α − β ; |
|||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
cos α − cos β = −2 sin α + β sin |
α − β |
; |
||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
tg α m tg β = |
sin (α ± β) |
. |
|
|||
|
|
|||||
|
cos α cos β |
|
|
|
n Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму и разность:
|
|
sin α sin β = |
1 |
|
(cos(α − β)− cos(α + β)); |
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
cos α cos β = |
|
1 |
|
(cos(α − β)+ cos(α + β)); |
|
||||
|
|
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
sin αcos β = |
|
1 |
|
(sin(α − β)+ sin(α + β)). |
|
||||
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n Знаки тригонометрических функций по четвертям |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция |
|
|
|
|
|
Четверть |
|
|||
|
|
|
I |
|
|
|
|
II |
III |
|
IV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
+ |
|
|
|
+ |
– |
|
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
+ |
|
|
|
|
– |
– |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
|
|
+ |
|
– |
|
|
+ |
|
|
|
– |
|
|
|||
|
|
|
ctg |
|
|
+ |
|
– |
|
|
+ |
|
|
|
– |
|
|
||||
n Формулы приведения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аргумент t |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
π |
− α |
|
π |
+ α |
π − α |
π + α |
|
3π |
− α |
|
3π |
|
+ α |
2π − α |
|||||
|
|
|
2 |
2 |
2 |
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
sin t |
cos α |
cos α |
sin α |
– sin α |
– cos α |
– cos α |
– sin α |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
cos t |
|
sin α |
– sin α |
– cos α |
– cos α |
– sin α |
|
sin α |
cos α |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
tg t |
ctg α |
– ctg α |
– tg α |
tg α |
|
ctg α |
– ctg α |
– tg α |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
ctg t |
|
tg α |
– tg α |
– ctg α |
ctg α |
|
tg α |
|
– tg α |
– ctg α |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n Решение простейших тригонометрических уравнений:
sin x = a, |
|
a |
|
|
≤ 1, |
x = (−1)n arcsin a + πn ; |
|||
|
|
||||||||
cos x = a, |
|
|
a |
|
|
≤ 1, |
x = ± arccos a + 2πn ; |
||
|
|
|
tg x = a, x = arctg a + πn ;
ctg x = a, x = arcctg a + πn , n — целое число.
n Обратные тригонометрические функции:
− |
π |
|
≤ arcsin x ≤ |
|
π |
, |
0 ≤ arccos x ≤ π ; |
||
2 |
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||
− |
|
π |
< arctg x < |
π |
|
, |
0 < arcctg x < π ; |
||
2 |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
arcsin(−x) = −arcsin x; arccos(−x) = π − arccos x ;
arctg (−x) = −arctg x; arcctg (−x) = π − arcctg x .
МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ТРЕУГОЛЬНИКАХ
Обозначения: a, b, c — длины сторон ∆ ABC , h — высота, p = a+2b+c — полупериметр, S — площадь, R и r — радиусы описанной и вписанной окружностей.
n Теорема синусов. В любом треугольнике
sinaα = sinb β = sinc γ .
n Теорема косинусов. В любом треугольнике
a2 = b2 + c2 − 2bc cos α .
n Формулы площади любого треугольника:
S = |
aha |
= |
bhb |
= |
chc |
, |
S = |
1 |
ab sin γ, |
S = pr , S = |
abc , |
|
2 |
2 |
2 |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4R |
S = p (p − a)(p − b)(p − c) — формула Герона.
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
d = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 — расстояние между точками M1 (x1 ; y1 ) и M2 (x2 ; y2 ).
x = x11++λλx2 , y = y11++λλy2 — координаты точки, делящей отрезок с концами M1 (x1 ; y1 ) и M2 (x2 ; y2 ) в
отношении λ = M1M : MM2 .
Ax + By + C = 0 — общее уравнение прямой ( A, B, C — любые вещественные числа, A2 + B2 ≠ 0) .
y = kx + b — уравнение прямой с угловым коэффициентом k (b — величина отрезка, отсекаемого
прямой по оси Oy ). |
|
|||||||||||||||||
y − y1 |
|
|
= k (x − x1 ) |
— уравнение прямой с угловым коэффициентом k , проходящей через точку M1 (x1 ; y1 ). |
||||||||||||||
|
y − y1 |
= |
x − x1 |
— уравнение прямой, проходящей через точки M1 (x1 ; y1 ) и M2 (x2 ; y2 ). |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
− x |
||||||||||
|
y |
2 |
|
− y |
|
2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||
|
x |
|
+ |
y |
= 1 |
— уравнение прямой в отрезках (a, b — величины отрезков, отсекаемых прямой на осях Ox |
||||||||||||
a |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и Oy ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
d = |
Ax0 |
+ Bx0 |
+ C |
— расстояние от точки M0 (x0 ; y0 ) до прямой Ax + By + C = 0 . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
A2 + B2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
tg ϕ = |
|
|
k2 |
− k1 |
|
— формула вычисления одного из углов между прямыми y = k1x + b1 и y = k2 x + b2 . |
||||||||||||
|
1 + k k |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
|
+ |
y |
|
= 1 — каноническое уравнение эллипса (a , b — полуоси). |
||||||||||||
2 |
|
2 |
||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 − y2 = 1 — каноническое уравнение гиперболы.
a2 b2
y2 = 2px, y2 = −2px — каноническое уравнение параболы с осью симметрии Ox ( p > 0 — параметр). АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
X = x2 − x1 , Y = y2 − y1 , Z = z2 − z1 — выражение координат вектора AB через координаты точек A (x1 ; y1 ; z1 ) и
B (x2 ; y2 ; z2 ).
a = X2 +Y 2 + Z2 — выражение длины вектора a = {X ; Y ; Z} через его координаты.
d = (x2 |
− x1 )2 + (y2 |
− y1 )2 |
|
+ (z2 − z1 ) |
— расстояние между точками M1 (x1 ; y1 ; z1 ) |
и M2 (x2 ; y2 ; z2 ). |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— определение |
скалярного |
произведения |
векторов |
|
|
|
|
и |
|
|
(ϕ — угол |
между |
|||||||||||||||
a |
|
b |
= |
|
a |
|
|
b |
|
cos ϕ |
a |
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
векторами). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2 |
— выражение |
скалярного |
произведения |
векторов |
|
= {X1 ; Y1 ; |
Z1} и |
|
= {X2 ; Y2 ; Z2 } |
|||||||||||||||||||||||||||||||
a |
b |
|
|
a |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
через их координаты. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
cos ϕ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2 |
|
— выражение угла между векторами. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
X 2 + Y 2 + Z2 X 2 |
+ Y 2 |
+ Z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ax + By + Cz + D = 0 |
— |
общее |
уравнение плоскости |
( A, B, C |
— |
любые |
вещественные |
числа, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A2 + B2 + C2 ≠ 0 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
d = |
|
|
|
Ax0 + By0 + Cz0 + D |
|
|
|
— расстояние от точки M0 (x0 ; y0 ; |
z0 ) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
A2 + B2 + C |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x − x0 |
= |
y − y0 |
= |
z − z0 |
|
|
— каноническое уравнение прямой с |
направляющим |
вектором |
|
= {l ; m; n}, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
l |
|
n |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
проходящей через точку M0 (x0 ; |
y0 ; z0 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = x0 + lt, y = y0 + mt, z = z0 + nt — параметрические уравнения прямой.
x2 + y2 + z2 = 1 — каноническое уравнение эллипсоида (a, b, c — полуоси).
a2 b2 c2
x2 + y2 − z2 = 1 — каноническое уравнение однополосного гиперболоида.
a2 b2 c2
x2 + y2 − z2 = −1 — каноническое уравнение двуполосного гиперболоида.
a2 b2 c2
x2 + y2 = z — каноническое уравнение эллиптического параболоида (p>0, q>0 — параметры).
2p 2q
x2 − y2 = z — каноническое уравнение гиперболического параболоида.
2p 2q
x2 + y2 − z2 = 0 — каноническое уравнение конуса второго порядка
a2 b2 c2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
lim sin x = 1 — первый замечательный предел.
x→0 x
lim 1 + 1 x = e — второй замечательный предел.
→∞ xx
f ′(x0 ) = |
lim |
f (x0 + ∆x)− f (x0 ) |
|
— определение производной функции y = f (x) в точке |
x0 . |
|
∆x |
||||||
|
∆x→0 |
|
|
dy = f ′(x0 )dx — дифференциал функции f (x) в точке x0 .
Производные простейших элементарных функций:
♦ Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного
|
′ |
|
′ |
± v |
′ |
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
′ |
|
′ |
; 3) |
u ′ |
u′v − uv′ |
, v ≠ 0 . |
||||||||||||||
1) (u ± v) = u |
|
|
; 2) (uv) = u v + uv |
|
|
= |
|
|
v2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
||||||
♦ Производная постоянной функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = f (x)= C y′ = 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Cu)′ |
= Cu′ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
♦ Производная степенной функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n ′ |
|
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
′ |
|
|
−1 |
′ |
1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
(x |
) = nx |
|
|
; |
|
|
|
( x ) |
= |
x |
|
|
|
= |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
= |
(x |
|
) = − |
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
x2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
♦ Производная показательной функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ax )′ = ax ln a ; |
(ex )′ = ex . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
♦ Производная логарифмической функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(loga x)′ = |
1 |
|
|
; |
(ln x)′ = |
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ln a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Производные тригонометрических функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
(sin x)′ = cos x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
(arcsin x)′ = |
|
|
|
|
1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
(cos x)′ = − sin x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
(arccos x)′ = − |
|
|
1 |
|
; |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − x2 |
|
|
|
|
|
|||
|
′ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
x ; |
|
|
|
|
|
|
(arctg x)′ = |
|
|
1 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
(tg x) |
= |
|
|
|
|
|
|
= sec |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
cos |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(arcctg x)′ = − |
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
(ctg x)′ = − |
|
|
|
1 |
|
= −cosec2x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + x2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
sin |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y′(t0 )= f ′(x0 ) ϕ′(t0 ) — правило |
дифференцирования сложной |
|
функции |
y = f[ϕ(t)] в точке t0 ; здесь |
|||||||||||||||||||||||||||||||
x0 = ϕ(t0 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ′(y0 ) = (1 ) — правило дифференцирования обратной функции x = ϕ(y) в точке y0 = f (x0 ).
f ′ x0