0BМАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

1BЧ а с т ь 6

2BДИФФЕРЕНЦИАЛЬ-

НЫЕ

УРАВНЕНИЯ

62

63

3BВ в е д е н и е

Математические модели многих реальных процессов выражаются в виде дифференциальных уравнений, то есть уравнений, содержащих искомую функцию под знаком производной. Простейший пример дифференциального уравнения

y′ = ky ,

(1)

где k = const , возникает при изучении динамики популяций как результат предположения, что скорость роста популяции y′(x) прямо пропор-

циональна ее численности y(x) ( x здесь обозначает время).

Уравнение (1) называется уравнением естественного роста, а в демографии его еще называют уравнением Мальтуса. Примечательно, что тем же уравнением описывается, например, радиоактивный распад в физике и многие другие динамические процессы. В этом состоит универсальность математического аппарата и, в частности, теории дифференциальных уравнений: умение решать какой-либо класс уравнений позволяет исследовать явления в самых разных областях. О применении уравнения (1) в экономике будет рассказано ниже в главе 4.

Нетрудно проверить, что функция y = ekx является решением дифференциального уравнения (1). В самом деле, ее подстановка в уравнение обращает его в тождество: (ekx )′ ≡ kekx . Ясно, что и любая функция вида

y =Cekx ,

(2)

где C – произвольная постоянная, также является решением. Можно доказать, что других решений уравнение (1) не имеет, то есть формула (2) дает все решения или общее решение этого уравнения.

Чтобы из общего решения дифференциального уравнения выделить частное решение, нужно задать какое-либо дополнительное условие, например,

y(x0 ) = y0 ,

(3)

где x0 и y0 – некоторые постоянные. Условие (3) называется начальным

условием, а задача отыскания решения, удовлетворяющего этому условию, называется задачей Коши. Например, в применении к задаче о динамике популяций условие (3) означает, что в момент времени x0 чис-

ленность популяции равнялась y0 . Подстановка x = x0 в (2) дает

64

y0 =Cekx0 , откуда C = y0e−kx0 . Частное решение, соответствующее найденному значению C , имеет вид y(x) = y0ek ( x−x0 ) .

Наибольший порядок входящей в дифференциальное уравнение производной искомой функции называется порядком уравнения. Так, уравнение (1) содержит первую производную функции y и является

уравнением первого порядка. А, например, уравнение

y′′+ y′−2 y = 0

(4)

имеет второй порядок. При отыскании решений дифференциального уравнения приходится применять операцию интегрирования. Этим объясняется появление в общем решении произвольных постоянных, число которых равно порядку уравнения. Например, общее решение уравнения

(4) имеет вид y =C1ex +C2e−2 x и содержит две произвольные постоянные

C1 и C2 .

Отметим, что искомая функция и ее производные входят в уравнения (1) (с k = const ) и (4) в первой степени. Такие уравнения называются линейными. По мере уточнения математической модели и при учете новых факторов уравнение, как правило, усложняется и становится нелинейным. Так, учет ограниченности запасов питания, необходимых для роста популяции, приводит к рассмотрению убывающей зависимости k( y) . В простейшем случае, когда k =b −ay , уравнение (1) принимает

вид

y′= (b −ay) y

(5)

и называется логистическим уравнением. Появление в среде обитания другой популяции, «недружественной» по отношению к первой, приводит к необходимости рассмотрения систем уравнений, описывающих взаимодействие популяций.

Ниже мы познакомимся с методами решения некоторых типов уравнений первого порядка, к которым относятся уравнения (1), (5), рассмотрим линейные уравнения второго порядка (уравнение (4) – частный случай), а также простейшие линейные системы, состоящие из двух уравнений с постоянными коэффициентами, обсудим некоторые задачи с экономическим содержанием, приводящие к дифференциальным уравнениям. В пособии изложены методы решения задач по темам: числовые ряды, положительные и знакопеременные ряды, степенные ряды и их сходимость, ряды Тейлора и Маклорена, разложение функций в степенной ряд и их использование в приближенных вычислениях. Наряду с классическими задачами высшей математики обсуждаются задачи, связанные с экономическими приложениями.

65

4BГ л а в а 1

5BДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕ-

НИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

19B1.1. Простейшие уравнения

Простейшее дифференциальное уравнение y′ = f (x)

уже встречалось в курсе интегрального исчисления. Любая функция y(x),

удовлетворяющая этому уравнению, является первообразной функции f (x) , а совокупность всех его решений, то есть общее решение уравне-

ния, представляется с помощью неопределенного интеграла в виде y = ∫ f (x) dx .

Владение основными правилами и методами интегрирования оказывается необходимым при построении решений дифференциальных уравнений. Чтобы напомнить некоторые способы нахождения интегралов, рассмотрим следующие примеры.

Пример 1. Решить уравнение y′ = 2ex + x−3 .

Решение. Применив правила интегрирования и известные интегралы от элементарных функций, получим

y = ∫(2ex + x−3 )dx = 2∫ex dx + ∫x−3dx = 2ex − 12 x−2 +C ,

где C – произвольная постоянная.

Пример 2. Решить уравнение y′ = x sin x2 .

Решение. Имеем y = ∫x sin x2 dx . Для вычисления интеграла введем новуюпеременную t = x2 . Тогда dt = 2x dx , xdx =dt / 2 и, следовательно,

66

y = ∫x sin x2dx = 12 ∫sin tdt = −12 cos t +C = −12 cos x2 +C .

Переменную t можно не вводить явно, используя запись y = ∫x sin x2dx = 12 ∫sin x2 dx2 = −12 cos x2 +C .

Пример 3. Решить уравнение y′ = (4x −3)e2 x .

Решение. Применив формулу интегрирования по частям, получим

	y = ∫(4x −3)e2 x dx = 12 ∫(4x −3)de2 x = 12 ((4x −3)e2 x −∫e2 x d (4x −3))=
=	1 ((4x −3)e2 x −4∫e2 x dx)= 1 ((4x −3)e2 x −2e2 x )+C =							1 (4x −5)e2 x +C .
	2	2						2
	Пример 4. Решить уравнение			y′=		1	.
					x2 −4x
	Решение.	Имеем y = ∫		dx		. Разложим подынтегральную
				x(x −4)

функцию на элементарные дроби, используя метод неопределенных коэффициентов:

	1	=	A	+	B	.
	x(x −4)		x		x −4

Освободившись от знаменателя, получим

1 = ( A + B)x −4A.

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях этого тождества, получим систему

	A + B = 0 , −4A =1,
решение которой имеет вид A = −B = −						1 . Следовательно,
						4
1			1			1	−	1
		=							.
	x(x −4)		4					x
				x −4

Интегрируя полученное выражение, найдем

1

∫

1

1

1

(ln

)+C =

1

x −4

y =

−

dx =

x −4

−ln

x

ln

+C .

4

x −4

x

4

4

x

67

20B1.2. Уравнения с разделяющимися переменными

Уравнение, приводимое к виду

y′= f (x)g( y) ,

(6)

где f (x) и g( y) – заданные функции, называется уравнением с разде-

ляющимися переменными.

Заметим, что все постоянные решения уравнения (6) находятся из уравнения g( y) = 0 : любому корню y0 этого уравнения отвечает реше-

ние y = y0 уравнения (6).

Рассмотрим случай g( y) ≠ 0. Выполнив преобразование dydx = f (x)g( y) ==> gdy( y) = f (x)dx

и проинтегрировав обе части, получим

∫gdy( y) = ∫ f (x) dx .

Видно, что переменные разделяются: y входит только в левую

часть, а x – только в правую. Вычислив интегралы в левой и правой части, то есть, найдя соответствующие первообразные G( y) и F (x) , полу-

чим множество решений, заданное в неявной форме:

G( y) = F (x) +C ,

где C – произвольная постоянная. Выразив отсюда y , получим явное представление решений.

Пример 5. Решить уравнение y′=3y .

Решение. Приравняв нулю правую часть, найдем постоянное решение y = 0 . Рассмотрим случай y ≠ 0 . Представим уравнение в виде

dydx =3y , или dyy =3dx .

Следовательно, ∫dyy =3∫dx , ln y =3x +C1 ,

где C1 – произвольная постоянная.

Отсюда найдем семейство решений y = ±eC1 e3x . Все найденные решения можно представить одной формулой

y = Ce3x ,

где C – произвольная постоянная.

68

Пример 6. Решить уравнение y′= (4 − y) y .

Решение. Приравняв нулю правую часть, найдем постоянные реше-

ния	y = 0 и y = 4 . Предположив, что y ≠ 0 и y ≠ 4 , выполним разделе-
ние переменных:

	dy	= (4 − y) y ==>	dy	= dx ==> ∫		dy	= ∫dx .
	dx		(4 − y) y		(4	− y) y

Интеграл в левой части аналогичен интегралу из примера 4. Воспользовавшись полученным там результатом, найдем

1

y

1

%

y

4 x

4Ce4 x

4 ln

4 − y

= x +

4 C ,

4 − y

=Ce

, y =

1+Ce4 x

,

где C – произвольная постоянная. Заметим, что решение y = 0 входит в

это семейство при C = 0 . Следовательно, все решения рассматриваемого уравнения даются формулами

	y =		4Ce4 x		,	y = 4 .
		1		+Ce4 x

Пример 7. Для уравнения из примера 6 найти решение, удовлетворяющее начальному условию y(0) =3.

		Решение. Решение y = 4					не удовлетворяет данному условию.
	Рассмотрим семейство решений						y =		4Ce4 x		. При x = 0 , y =3 получим
								1		+Ce4 x
		4C
	3 =			, откуда найдем		C = 3. Следовательно, искомое решение имеет
		1+C
				12e4 x
	вид	y =			.
			1+3e4 x

21B1.3. Линейные уравнения первого порядка

Линейное уравнение первого порядка приводится к виду

y′+ p(x) y = f (x) ,

(7)

где p(x) и q(x) – заданные функции. Чтобы решить это уравнение,

применяют метод вариации постоянной, который сводится к выполнению следующих двух шагов.

Шаг 1. Рассматриваем соответствующее однородное уравнение

y′+ p(x) y = 0 .

(8)

69

Оно получается из уравнения (7), если правую часть в нем заменить нулем. Это уравнение с разделяющимися переменными, его решения отыскиваются по схеме

dy = −p(x) y ==>	dy	= −p(x)dx ==> ∫dy	= −∫p(x) dx .
dx	y	y
Вычислив интегралы, найдем
		y =Ce−P( x) ,	(9)
где P(x) – произвольная первообразная функции			p(x) , C – произволь-

ная постоянная. Решение y = 0 входит в это семейство при C = 0 . Шаг 2. Исходя из выражения (9), ищем решение уравнения (7) в виде

y =C(x)e−P( x) ,

(10)

где вместо произвольной постоянной, подставлена некоторая неизвестная функция C(x) . Найдем эту функцию. Подставив (10) в (7), получим

′		−P( x)	+C(x)(e		−P( x)		′	−P( x)	= f (x) .	(11)
C (x)e							) + p(x)C(x)e
Поскольку	P′(x) = p(x) ,			то		(e−P( x) )′ = −P′(x)e−P( x) = −p(x)e−P( x) , и,

следовательно, два последних слагаемых в левой части (11) взаимно уничтожаются. После умножения на eP ( x) получаем

C′(x) = f (x)eP( x) .

Отсюда, интегрируя, находим C(x) и после подстановки в (10) получаем общее решение уравнения (8) в виде

y = e−P( x) ∫ f (x)eP( x) dx .

Пример 8. Решить уравнение y′+5y =10x −9.
Решение.	1) Рассмотрим соответствующее однородное уравнение
			y′+5y = 0 .
Имеем
dy = −5y	==>	dy	= −5dx ==> ∫dy = −5∫dx ==> y =Ce−5 x .
dx		y	y
2) Ищем решение исходного уравнения в виде y =C(x)e−5 x . Подста-
новка в уравнение дает
	′	−5 x	′	5 x	.
C (x)e			=10x −9 ==> C (x) = (10x −9)e

70