Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
MatAn_ch_5.pdf
Скачиваний:
25
Добавлен:
21.04.2015
Размер:
893.34 Кб
Скачать

УДК 33:51(075.8) ББК 22.161

Г65

Рецензенты:

П.И. Кацыло, д.ф.-м.н., проф. (НИИСИ РАН) И.Г. Шандра, к.ф.-м.н., доц. (Финакадемия)

Г65 Гончаренко В.М., Свирщевский С.Р. Математический анализ.

Часть 5. Ряды. Часть 6. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие для подготовки бакалавров / Под ред. В.Б. Гисина и Е.Н. Орла. М.: Финакадемия, 2009. 104 с.

ISBN 978-5-7942-0657-9

Данное издание завершает серию учебных пособий по математическому анализу, предназначенных для подготовки бакалавров по экономическим специальностям. Часть 5 включает сведения о числовых и степенных рядах, разложении функций в ряды Тейлора (Маклорена). Часть 6 охватывает дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, линейные дифференциальные уравнения первого и второго порядков, системы линейных дифференциальных уравнений. Обсуждаются задачи с экономическим содержанием, приводящие к рядам и дифференциальным уравнениям.

Изложение сопровождается большим количеством примеров, упражнений, а также задач для самостоятельной работы. Все упражнения и задачи снабжены ответами, большая их часть – решениями.

Часть 5 написана В.М. Гончаренко, часть 6 – С.Р. Свирщевским.

УДК 33:51(075.8) ББК 22.161

ISBN 978-5-7942-0657-9

© Часть 5.

В.М. Гончаренко, 2009

 

© Часть 6.

С.Р. Свирщевский, 2009

 

© Финакадемия, 2009

0BМАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

1BЧ а с т ь 5

2BРЯДЫ

3

4

3BВ в е д е н и е

Пособие входит в серию изданий, написанных в качестве руководства к решению задач по курсу математического анализа, читаемого для подготовки бакалавров. Основная его цель – помочь студентам в освоении практической части темы «Ряды» курса математического анализа.

В пособии изложены методы решения задач по темам: числовые ряды, положительные и знакопеременные ряды, степенные ряды и их сходимость, ряды Тейлора и Маклорена, разложение функций в степенной ряд и их использование в приближенных вычислениях. Наряду с классическими задачами высшей математики обсуждаются задачи, связанные с экономическими приложениями.

Пособие предназначено для организации самостоятельной работы студентов по курсу математического анализа на первом курсе, для использования на практических занятиях и при подготовке к экзамену.

Для углубленного изучения теоретического материала рекомендуется учебник [1], а в качестве пособия для освоения практического мате-

риала – сборник задач [2].

5

4BГ л а в а 1

5BЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

16B1.1. Сходимость ряда и его частичная сумма

Пусть дана некоторая последовательность действительных чисел an . Тогда сумма бесконечного числа членов этой последовательности

(1)

a1 +a2 +K+an +K= ak

k =1

называется числовым рядом, а число an ( n =1,2,K) – членом ряда. Если

член ряда

an

представлен в виде функции натурального аргумента

an = f (n),

то

его

называют общим членом ряда. При этом сумму

Sn = a1 +a2 +... +an

первых n членов ряда называют его n -ой частичной

суммой. Таким образом, мы можем образовать новую последовательность – последовательность частичных сумм S1 = a1 , S2 = a1 +a2 ,

S3 = a1 +a2 +a3 , …, Sn = a1 +a2 +K+an , … Если эта последовательность

имеет конечный предел S = lim Sn , то числовой ряд (1) называется схо-

n→∞

дящимся, а число S суммой ряда. В противном случае ряд (1) называ-

ют расходящимся. К основным свойствам сходящихся рядов относятся следующие:

1. Если ряд (1) сходится, то сходится и любой ряд, полученный из

него отбрасыванием конечного числа членов.

Ряд an+1 +an+2 +an+3 +... = ak , полученный отбрасыванием первых

k=n+1

n членов суммы (1), называется n остатком ряда. Таким образом, ряд (1) и любой его остаток сходятся или расходятся одновременно.

6

2. Если каждый член сходящегося ряда (1), сумма которого равна S , умножить на некоторое число k , то полученный ряд

 

 

ka1 +ka2 +K+kan +K= kan также сходится, и его сумма равна kS .

 

n=1

 

 

 

 

3.

Если даны два

сходящихся

ряда a1 +a2 +K+an +K= ak и

 

 

 

k =1

 

 

 

b1 +b2 +K+bn +K= bk

с суммами

S и T соответственно, то новый

 

k =1

 

 

 

(a1 +b1 )+(a2 +b2 )

 

ряд

+K+(an +bn )+K= (ak +bk ), полученный

k =1

почленным сложением исходных рядов, также сходится, и его сумма равна S +T .

4. Если ряд (1) сходится, то сходится и любой ряд, полученный из него группировкой слагаемых, и суммы рядов одинаковы.

Пример 1. Найти сумму ряда 125 + 529 + 9 213 +... .

Решение. Заметим, что если общий член ряда разложить в сумму простейших дробей, то он записывается в виде

an

=

 

 

 

2

 

 

 

=

1

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. При этом n-я частичная сумма

 

(4n 3)(4n +1)

2

 

 

 

 

3

 

4n +

 

 

 

 

 

 

 

 

4n

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ряда имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sn =

1

 

1

 

 

 

1

1

 

1

 

 

1

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

+

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+... +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

5

 

2

9

 

9

 

 

 

 

 

2

 

4n 3

 

4n

+1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

5

 

 

 

2

 

 

 

 

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сгруппируем слагаемые из соседних дробей:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 1 1 1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sn = 2 1

5 + 5

9

+ 9

 

 

+

...

... +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

2

 

 

.

 

 

13

 

4n

3

 

4n +1

2

(4n +1)

 

 

 

 

 

14243 123 14243

14243

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=0

 

 

 

 

=0

 

 

 

 

 

=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда сумма ряда S = lim Sn

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2(4n

+1)

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n→∞

 

 

n→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Упражнение 1. Найти сумму ряда

 

 

 

 

2

 

+

2

 

+

 

2

+....

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 5

5 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Упражнение 2. Найти сумму ряда

 

 

 

 

4

 

 

 

 

+

 

 

 

 

5

 

 

 

+

 

 

6

 

 

 

+

7

+....

 

 

1 2 3

 

2 3 4

3

4

5

4 5 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

Пример 2. Найти сумму ряда

(

 

 

 

)

 

 

(

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

3

 

4

 

5

 

7

 

7

 

3n 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ln

 

 

 

+ln

 

 

 

 

+

... +ln

 

 

 

 

 

2n +1

+....

 

 

 

 

 

 

 

ln 4 1

7 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10 5

(3n +1) (

2n 1)

 

 

 

 

Решение.

Последовательно находим S = ln

1 3

, S

 

= S + ln

4 5

=

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

4 1

1

 

7 3

 

1 3 4 5

 

 

 

 

1 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7 7

 

 

 

 

1 7

 

 

 

 

 

 

= ln

= ln

,

 

 

S3 = S2 +ln

 

= ln

 

 

 

и

т.д.

Наконец,

4 1 7 3

7 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

 

2n

 

1

 

 

 

 

 

10 5

 

10 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

(

2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+1

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sn = ln

 

= ln

3n +1 .

Теперь, согласно определению,

находим

(3n +1) 1

сумму данного ряда S = lim ln 2n +1

 

= ln lim

2n +1

= ln 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n→∞

 

3n +1

 

n→∞

3n +1

 

 

3

 

 

 

 

 

17B1.2. Обобщенный гармонический ряд

и необходимый признак сходимости

Далее мы рассмотрим несколько примеров рядов, которые будут неоднократно встречаться в дальнейшем. Первым важным примером яв-

ляется гармонический ряд

1+

1

+

1

+... +

1

+....

(2)

 

2

 

3

 

n

 

 

Пример 3. Доказать, что гармонический ряд (2) расходится.

Решение. Предположим противное. Пусть гармонический ряд

сходится и существует предел S = lim Sn его конечных сумм. Тогда рас-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

смотрим предел разности его частичных сумм S2n и Sn :

 

 

 

 

 

 

 

lim

(S2n Sn )

= lim S2n lim Sn = S S = 0 .

 

 

 

 

(3)

 

n→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n→∞

 

 

 

n→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С другой стороны, разность S2n Sn

можно оценить непосредственно:

S2n Sn = 1+

1 +...+

1 +

 

 

 

1

 

 

+K+

1

 

1+1

+...+

1

=

1

 

+

1

 

+K+

1

.

 

n+1

 

 

 

n +1

n +2

 

 

2

 

 

n

 

 

 

 

2n

2

 

 

n

 

 

2n

Оценивая слагаемые, входящие в последнюю сумму

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

>

 

1

 

 

,

1

 

 

>

1

,K,

 

1

 

 

>

 

1

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n +1

 

2n

n +2

2n

 

2n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n

 

 

 

 

 

 

получаем, что для любого натурального n имеет место неравенство

 

 

 

S

2n

S

n

>

 

 

1

+

1

 

+K+

1

 

= n

1

 

=

1 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

2n

2n

2n

 

2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

144424443

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

что противоречит условию (3).

8

Еще одним важным примером является обобщенный гармонический

ряд:

1+

1

+

1

+... +

1

+..., α > 0 .

(4)

α

α

α

 

2

 

3

 

n

 

 

При α >1 ряд (4) сходится, а при 0 <α 1расходится.

Ответ на вопрос о сходимости числового ряда иногда помогает получить следующая теорема.

Необходимый признак сходимости. Если числовой ряд (1)

сходится, то предел его общего члена равен нулю: lim an = 0 .

n→∞

Отметим, что этот признак не является достаточным, т.е. из выпол-

нения условия lim an = 0 нельзя делать вывод о том,

что ряд сходится.

n→∞

 

 

 

 

 

 

= 1 ,

Примером может служить гармонический ряд с общим членом an

 

 

 

 

 

 

 

n

для которого lim an = 0 , но ряд

(2), как было доказано выше, расходит-

n→∞

 

 

 

 

 

 

 

ся. Рассмотрим другой пример.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

1

 

Пример 4. Установить расходимость ряда ln 1

.

 

 

n=1

 

 

n

 

Решение. Общий член

ряда имеет вид

an

= ln

n +1

, поэтому

 

 

 

 

 

 

n

 

lim an = 0 . С другой стороны, n-я частичная сумма ряда равна

n→∞

и lim Sn

n→∞

Sn = ln

2

+ln

3

+... +ln

n +1

2

 

3

...

n +1

= ln (n +1),

1

2

n

= ln

1

2

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim(n +1)=∞. Поэтому ряд расходится.

n→∞

18B1.3. Геометрический ряд

Другим важным примером числового ряда является геометрический ряд, или сумма бесконечной геометрической прогрессии с первым чле-

ном b , знаменателем q 0 и общим членом ряда b = bqn1

:

 

n

 

(5)

b +bq +bq2 +K+bqn1 +K= bqn1 .

n=1

 

Как известно, n -я частичная сумма

 

Sn =b +bq +bq2 +... +bqn1 =b

1qn

.

(6)

 

 

1q

 

9

При

 

 

q

 

<1 получаем, что lim qn = 0 , и ряд сходится, причем его

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

q

 

n→∞

 

 

 

 

 

 

сумма S =

 

 

 

, а при

 

 

1расходится.

 

 

 

 

 

1q

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 5. Предположим, что в банк положена сумма R1 , на которую

ежегодно (в конце периода) выплачиваются проценты в виде

j % годо-

вых. В конце каждого года счет пополняется вкладчиком на сумму R2 .

Каковы будут накопления в конце n -го года?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

В

конце

первого года

сумма

на

 

счете

будет равна

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

S1 =

R1 1+

 

 

 

+ R2

, в конце второго года S2

= S1 1+

 

 

+ R2

, т.е.

100

100

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

j

 

 

 

 

j

 

2

 

 

 

 

 

 

j

 

S2

= R1

1+

 

 

+ R2 1

+

 

 

+ R2 = R1

1

+

 

 

 

 

+ R2 1

+

 

 

 

+ R2

100

100

 

 

 

100

 

 

 

 

 

 

 

 

 

100

 

 

 

 

 

и т.д. Соответственно, в конце n -го года сбережения клиента составят

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

n

 

 

 

 

 

 

j

n1

 

 

 

 

 

 

j

 

n2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sn

=

R1 1+

 

 

 

 

+ R2 1+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ R2 1

+

 

 

 

 

 

+K+ R2 =

 

 

 

100

 

100

 

 

 

100

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

n

 

 

 

 

 

 

 

j

 

n1

 

 

 

 

 

j

 

 

n2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

R1 1+

 

 

 

 

+ R2 1

+

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 1+

 

 

 

 

 

 

 

+K+1 .

 

 

 

 

 

 

 

100

100

 

 

100

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В квадратных скобках стоит сумма n членов геометрической про-

грессии с первым членом

b =1 и знаменателем q =1+

 

 

j

. Используя

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

100

 

 

 

 

 

формулу (6), получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

n

 

 

 

 

1+

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

j

n

 

100R

 

 

 

 

 

j

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

n

= R

 

1+

 

 

 

+R

 

 

 

100

 

 

 

 

= R

 

1

+

 

 

 

 

+

 

 

 

 

2

 

 

1+

 

 

 

1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

100

2

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

100

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

100

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

100

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Упражнение 3. В банк частным лицом положена сумма 5000 руб. с ежегодным начислением 12 % годовых. В конце каждого года счет пополняется на сумму 6000 руб. Каковы будут накопления вкладчика за 5 полных лет?

Пример 6. Предположим, что в банк m раз в течение года через равные интервалы времени (в конце интервала) вносят равные суммы mR

(т.е. всего за год вносится сумма R ). Найти накопленную к концу года сумму и предельный коэффициент наращения, считая, что проценты начисляются по номинальной ставке j также m раз в год.

10

Решение. Ясно, что с учетом нарастающих процентов сумма вклада станет больше, чем R. Поскольку проценты начисляются по номинальной ставке j с частотой m раз в год, то на первую внесенную

сумму

 

R

проценты начисляются (m 1)

раз и к концу года она станет

 

m

 

 

 

 

 

 

 

j m1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bm

=

 

R

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

равна

 

 

1

 

 

. Вторая внесенная на счет сумма к концу года

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bm1

 

R

 

j m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

преобразуется в

=

 

1+

 

 

 

 

и т.д. Общая

накопленная сумма

 

 

 

равна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sm

 

R

j m1

R

j m2

 

R

 

j

 

R

 

 

 

 

=

 

1+

 

 

+

 

 

1+

 

 

+K+

 

1

+

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

m

m

 

m

m

 

m

 

m

 

и представляет собой сумму m членов геометрической прогрессии с первым членом b1 = mR и знаменателем q =1+ mj . Согласно (6)

 

 

 

 

 

+

 

j m

1

 

 

R

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Sm

=

 

 

 

 

m

 

m

 

 

+

j

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

+

j m

1

 

1

 

 

 

= R

 

 

m

 

= R km, j ,

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

j

m

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

где

km, j

=

 

 

 

 

 

 

коэффициент наращения. Так как

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

m

 

 

 

 

j mj

j

 

j

 

lim 1

+

 

 

= lim 1

+

 

 

 

 

= e

 

, то предельный коэффициент нара-

m

 

 

 

m→∞

 

 

 

m→∞

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

щения равен k, j = e j j1 , что соответствует предельному (при m → ∞)

случаю непрерывного поступления взносов и непрерывного начисления процентов.

Иногда сумму числового ряда удается найти, представив его в виде суммы более простых рядов.

Пример 7. Найти сумму ряда

2 + 23 34 + 52 92 +163 + 54 + 272 643 + 85 812 + 2563 +165 +...

11

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]