- •Замечательные точки в треугольнике .
- •Средняя линия в треугольнике и ее свойства. Теорема Вариньона. Площади. [7,8,9].
- •Подсчет углов. Вписанный угол. Угол между хордами и секущими к окружности. Угол между касательной и хордой. [7,8,9].
- •Вписанный четырехугольник. Критерии вписанного четырехугольника (5 признаков). [7,8,9]
- •Теорема о касательной и секущей. [7,8,9]
- •Теорема Фалеса с доказательством. Теорема о пропорциональных отрезках. [7,8,9]
- •Лемма Мансиона и ее обобщение. [7,8,9]
- •Окружность Эйлера 9 точек. [7,8,9]
- •Прямая Симпсона. [7,8,9]
- •Теорема Птолемея. [7,8,9,10]
- •Теорема Чевы и ее обобщение. Обратная теорема Чевы. [7,8,9]
- •Теорема Менелая и ее обобщение. Обратная теорема Менелая. [7,8,9]
- •Тригонометрическая форма теоремы Чевы. Изотомическое и изогональное сопряжение. Доказать, что точки и изогонально сопряжены. Точка Лемуана. [7,8,9,12]
- •Гомотетия, свойства гомотетии. Теорема Эйлера о том, что точки лежат на одной прямой, причем . [7,8,9]
- •Вневписанные окружности. Точка Нагеля . Свойства нагелиан. Доказать, что точки и изотомически сопряжены. [7,8,9]
- •Теорема Архимеда о двух касающихся окружностях. Задача Архимеда о ломаной.[5,12]
- •Теорема о прямой Эйлера-Нагеля. Доказать, что , .[5]
- •Степень точки относительно окружности. Радикальная ось двух окружностей. Радикальный центр трех окружностей.[4,5,7,8,9]
- •Формула Эйлера для вычисления расстояния между центрами вписанной и описанной окружности. [7,8,9]
- •Точка Торричелли и ее свойства.[3,4,5]
- •Треугольник наименьшего периметра, вписанный в данный треугольник. [3,4,5]
- •Теорема Брианшона. [3,4,5,7,8]
- •Окружность, вписанная в сегмент и ее свойства.[5]
- •Лемма о бабочке.[10, задача 122]
- •Понятие центра масс системы материальных точек. Существование, единственность, группировка с доказательством. Теорема о центроиде четырехугольника.[1,2,5,12]
- •Доказать с помощью понятия центра масс, что медианы (биссектрисы, высоты) пересекаются в одной точке и найти пропорцию, в которой точка пересечения делит соответствующую линию. [1,2,5,12]
- •Понятие барицентрических координат точки относительно треугольника . Найти барицентрические координаты точек: середины , центров вневписанных окружностей. [1,2,5,12]
- •Условие принадлежности одной прямой трех точек с заданными барицентрическими координатами. Уравнение прямой линии в барицентрических координатах. [1,2,5,12]
- •Признак ромба: если радиусы окружностей, вписанных в треугольники, образуемые сторонами и диагоналями четырехугольника, равны, то этот четырехугольник – ромб.
- •Теорема о биссектрисах внешних углов полного четырехугольника.
- •Теорема о трех центрах гомотетий (о трех колпаках).[7]
- •Инверсия относительно окружности. Деление отрезка пополам с помощью одного циркуля. Стереографическая проекция.[7]
- •Полярное соответствие. Свойство взаимности поляр. Двойственность в геометрии. Теорема Паскаля. [7]
- •Векторы и комплексные числа.
- •Разное.
- •Литература по курсу элементарная математика (геометрия)
Учебное пособие
Элементарная математика (дополнительные главы)
Исаев И.М.
Вопросы к экзамену по элементарной математике (4 курс, геометрия)
-
Замечательные точки в треугольнике .
Доказать, что медианы (биссектрисы, высоты, серединные перпендикуляры) пересекаются в одной точке. [7,8,9]
-
Доказать, что медианы треугольника делят площадь треугольника на 6 треугольников равной площади.
-
Доказать, что из медиан треугольника можно составить треугольник. Найти отношение площади этого треугольника к площади исходного треугольника.
-
Доказать, что медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины.
-
Найти множество точек равноудаленных от концов отрезка.
-
Найти множество точек равноудаленных от сторон угла.
-
Доказать, что вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.
-
Доказать, что медианы (биссектрисы, высоты, серединные перпендикуляры) пересекаются в одной точке. Эти точки обозначаются буквами , соответственно, и называются центром тяжести (центроидом), центром вписанной окружности (инцентром), ортоцентром и центром описанной окружности треугольника.
-
Доказать, что биссектриса треугольника делит противолежащую сторону в отношении равном отношению соответствующих боковых сторон. Это свойство называется основным свойством биссектрисы.
-
Доказать, что биссектриса внешнего угла треугольника делит противолежащую сторону в отношении равном отношению соответствующих боковых сторон. Это свойство называется основным свойством биссектрисы внешнего угла треугольника.
-
В треугольнике проведены биссектрисы внутренних углов ( - на сторонах треугольника). Известно, что . Найдите .
-
Доказать, что для треугольника существуют четыре окружности, касающиеся прямых . Что это за окружности? Где находятся центры этих окружностей?
-
Средняя линия в треугольнике и ее свойства. Теорема Вариньона. Площади. [7,8,9].
-
Доказать, что средняя линия треугольника параллельна основанию и равна половине этого основания.
-
Доказать, что средние линии треугольника делят его на четыре равных треугольника.
-
Докажите, что средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований.
-
Пусть - медиана треугольника . Докажите, что .
-
В четырехугольнике точка - середина стороны , точка - середина стороны . Докажите, что .
-
Доказать, что четырехугольник, образованный последовательными серединами сторон данного четырехугольника, является параллелограммом. Найти отношение площади этого параллелограмма к площади исходного четырехугольника. Не забудьте рассмотреть случай невыпуклого четырехугольника.
-
Доказать, что средние линии четырехугольника точкой пересечения делятся пополам.
-
Докажите, что прямые, содержащие диагонали четырехугольника, взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда отрезки соединяющие середины его противоположных сторон, равны.
-
Найдите площадь выпуклого четырехугольника , если прямая перпендикулярна прямой и
-
Дан треугольник . Точка лежит на продолжении стороны за точку , причем . Аналогично строятся точки и . Найти отношение площадей треугольников и .
-
Точка лежит внутри треугольника . Докажите, что площади треугольников и равны тогда и только тогда, когда лежит на медиане .
-
Диагонали трапеции пересекаются в точке . Докажите, что площади треугольников и равны.
-
В два противоположных угла четырехугольника вписываются два параллелограмма. Три вершины каждого из этих параллелограммов – середины смежных сторон и вершина исходного четырехугольника . Доказать, что четвертая вершина этих параллелограммов является общей.
-
Четырехугольник разрезан диагоналями на четыре треугольника. Докажите, что точки пересечения медиан этих треугольников образуют параллелограмм.
-
Четырехугольник составлен из двух равнобедренных прямоугольных треугольников и . Пусть - четырехугольник, образованный последовательными серединами сторон . Доказать, что - квадрат.