Metodichki / прямая на плоскости2

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

(ДВПИ ИМ. В.В. КУЙБЫШЕВА)

УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ Практикум

Методические указания по проведению практических занятий для студентов технических специальностей

Владивосток 2011

Одобрено методическим советом университета УДК 519

Уравнения прямой на плоскости.: метод. указания / Сост. Н.Е. Дегтярева. – Владивосток: Изд-во ДВГТУ, 2011. – 20с.

В краткой форме излагается основной теоретический материал, входящий в раздел аналитической геометрии: уравнения прямых на плоскости, взаимное расположение прямых, определение расстояния и угла между прямыми. Содержит 10 вариантов заданий для самостоятельной работы студентов. Приведены решения типовых заданий и список дополнительных задач.

Методические указания предназначены для студентов технических специальностей.

Методические указания печатаются с оригинал-макета, подготовленного автором

©Н.Е.Дегтярева

©Изд.-во ДВГТУ, 2011

2

1 Способы задания прямой на плоскости

1.Уравнение прямой проходящей через точку M0(x0; y0) и вектор

нормали n . Общее уравнение.

Всякий вектор n (A;B) ортогональный прямойL называют нормалью к этой прямой (рис.1.1).

	y
	M0
	M
	x
	Рис.1.1
Уравнение	A(x x0) B(y y0) 0	(1.1)

называют уравнением прямой проходящей через заданную точку M0(x0; y0) в направлении заданного вектора нормали n (A;B). Раскроем в уравнении

(1.1) скобки и введем обозначение C Ax0			By0 , тогда
Ax By C 0				(1.2)
общее уравнением прямой. Коэффициент C определяет расстояние от начала
координат до заданной	прямой.	Если	в уравнении	прямой (1.2)
A 0, B 0, C 0, то	уравнение	называется полным.		К неполным

уравнениям прямой относятся:

1)C 0, Ax By 0 - прямая проходит через начало координат;

2)B 0, Ax С 0 - прямая параллельна оси Oy;

3)A 0, By C 0 - прямая параллельно оси Ox.

2. Уравнение прямой в отрезках.

Пусть Ax By C 0

- полное

уравнение.

Преобразуем его к

виду

Ax By C и поделим

на коэффициент C 0. Получим уравнение в

отрезках :

x

y

1

(1.3)

C

C

a b

где a

,

b

отрезки,

которые

прямая отсекает

на

B

A

координатных осях Ох и Оу соответственно (рис.1.2).

3

y

b

a x

Рис. 1.2 3. Каноническое уравнение прямой

Всякий вектор r (l; m) параллельный заданной прямой называется ее направляющим вектором (рис.1.4). Из условия параллельности векторов r и

вектора M0M , лежащего на прямой (рис.1.3.) получим:

x x0

y y0

(1.4)

l

m

-каноническое уравнение прямой..

y

y

M0

r

M1

M

M

M2

x

x

Рис.1.3.

Рис.1.4.

4. Уравнение прямой через точки M1(x1; y1) и M2(x2; y2).

Пользуясь

условием параллельности векторов

и

(рис.1.4),

M1M

M1M2

получаем:

x x1

y y1

(1.5)

x2 x1

y2 y1

5. Параметрическое уравнение прямой.

Приравнивая уравнение (1.4.) к параметру t: x x0 y y0 t

l m

получим параметрическое уравнение прямой

x x0	tl
	(1.6)
y y0	tm

6. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

4

Выражая в уравнении (1.2) переменную y получим уравнение с заданным

угловым коэффициентом
y kx b	(1.7)

Где k

A

,

b

C

.

B

B

Аналогично, выражая из уравнения (1.4) y y0, получим уравнение

прямой

проходящей через точку M0(x0; y0)

с

заданным

угловым

коэффициентом k

m

:

y y0

k(x x0)

(1.8)

l

7.

Нормированное уравнение прямой.

п

1.

Пусть

п

- единичная нормаль к

данной прямой,

т.е.

Выразим

уравнение прямой

L через угол

Q (

n

,Ox)

и

радиус вектор точки

P:

(рис.1.5). Т.к.

п

1,

то

n

(cosQ,sinQ).

M L

OP

Точка

n

.

тогда и только тогда,

когда

пр

, т.е.

OM

OM

n

Откуда получаем:

n

xcosQ ysinQ

(1.9)

- нормированное уравнение прямой.

у

L

п

Р

М

Q

х

О

Рис.1.5

2. Расстояние от точки до прямой

Имеем уравнение прямой L: Ax By C 0	и произвольную точку
М0(х0, у0). Прямую определяет вектор нормали	n	(A,B) и точка

5

М1(x1, y1) L. Расстояние от точки до прямой можно определить как

проекцию d прn M1M0 , т.е.

d	A(x0 x1) B(y0 y1)					(2.1)
		A2 B2
Если дано нормированное уравнение прямой, то
d cosQ x0 sinQ y p.						(2.2)
Совокупность лежащих на данной плоскости прямых, проходящих
через точку S , называют пучком прямых с центром в точке S.
Теорема. Если A1x B1y C1 0 и A2x B2 y C2					0 уравнения
двух различных прямых, пресекающихся в некоторой точке					S, а	и
произвольные неравные друг другу числа, то
( A1x B1y C1) (A2x B2 y C2) 0						(2.3)

-есть уравнение прямой, проходящей через точку S. Более того, какова бы ни была наперед заданная проходящая через точку S прямая, она определяется выше записанным уравнением при некоторых и .

3. Условия параллельности и ортогональности двух прямых. Угол между прямыми

Расположение прямых на плоскости определяется по взаимному расположению их направляющих векторов или отношением угловых коэффициентов.

Пусть прямые

L1: A1x B1y C1 0

и L2: A2x B2 y C2

0,

заданные своими векторами

нормали

n

1 (A1,B1) и

n

2 (A2,B2)

соответственно.

1) Если L1 || L2,

то

n1 ||

n

2

и

следовательно

A1

B1

(3.1)

B2

A2

2) Если L1 L2, то

n1

n

2, значит

n1

n

2

0 и

A1A2 B1B2 0

(3.2)

Если - угол между прямыми L1,L2, то он равен углу между векторами

нормали

n1,

n

2. И, следовательно:

cos

n1

n

2

A1A2 B1B2

n1

n

2

2

2

2

2

A1

B1

A2

B2

(3.3)

6

Пусть прямые L :

x x1

y y1

и L

:

x x2

y y2

,

заданы

1

l

m

2

l

2

m

2

1

1

направляющими векторами

r1 (l1, m1) и

r2 (l2, m2 ).

1) Если L1 || L2,

то

r1 ||

r2

и

m1

l1

.

(3.4)

m2

l2

2) Если L1 L2,

то

r1

r2

и

r1

r2 0,

l1l2 m1m2

0.

(3.5)

- угол между прямыми

L1,L2

равен углу между векторами

r1,

r2 и,

следовательно по аналогии с (3.3)

cos

l1l2

m1m2

.

(3.6)

l2

m

2 l

2

m

2

1

1

2

2

Пусть прямые

L1: у k1х b1

и

L2: у k2х b2

заданы своими

угловыми коэффициентами k1, k2.

Тогда 1 2 (рис.3.1)

и соответственно:

tg tg( 1 2)

tg 2

tg 1

(3.7)

tg 1

1 tg 2

y

1

2

x

Рис.3.1

Подставляя в формулу (3.7) значения k1 tg 1, k2 tg 2 получаем:

tg	k2 k1	(3.8)
1 k1k2

7

Если рассматриваемые прямые L1	и L2 параллельны, то они имеют
одинаковый угол наклона к оси Ox и их угловые коэффициенты равны
k1 k2.	(3.9)

Если же прямые ортогональны, т.е. 90 , то из условия, что определен следует 1 k2 k1 0 и

1 k1 k2

tg90 не

(3.10)

При решении задач полезно знать формулу, связывающую координаты нормального n (A;B) и направляющего r (l; m) векторов данной прямой, следующую из их ортогональности:

A m, B l (3.11)

Координаты могут отличаться знаками, но это всего лишь переориентация вектора.

4.Практикум

1.Даны три точки A, B, C, и уравнения прямых l1,l2,l3,l4,l5.

1)Какая из точек A, B, C принадлежит прямой l3,l4,l5 ;

2)Найти точку пересечения прямых l1,l2;

3)Уравнение прямой проходит через точки A и B, найти координаты вектора нормали и направляющего вектора;

4)записать общее уравнение прямой проходящей через точку A

параллельную l1 и точку Bортогональной l2;

5)Записать уравнение прямой проходящей через середину отрезка AC , ортогональной к нему. Найти ее угловой коэффициент:

6)Через точку пересечения прямых l1, l2 провести прямую параллельную

l4	и ортогональную l5.								x 5			y 2
1)	l :6x y 2 0		,			l2	:										l : y 3x 5		,
	1						6						1		,		3
	l4 :2x 4y 3 0,					l5 : x 2y 5 0;
	A( 1;4),	B(3;1),									С(0;2).
2)	l :x 4y 5 0		,	l2	:	x 1				y 2			,	l : y 2x 7				;
	1				3		4								3
	l4 :3x 7y 2 0,				l5 : x 4y 3 0;

8

A( 1;5), B(7;3) , С(2;10).

3)

l :2x 3y 7 0

,

l2

:

x 3

y 1

l : y 4x 1

;

1

5

4

,

3

l4 : x 2y 2 0,

l5 :4x 6y 3 0;

A(7;9),

B( 3;10),

С( 1; 3) .

4)

l :3x 4y 2 0

,

l2

:

x 2

y 7

l : y x 3

;

1

6

3

,

3

l4 :5x y 6 0,

l5 : x 3y 2 0;

A(1; 2),

B(2;1),

С(0; 6).

5)

l :4x 7y 5 0

,

l2

:

3x 1

y 4

l : y 7x 2

;

1

4

2

,

3

l4 :8x 2y 5 0,

l5 :4x 3y 1 0;

A(3;0),

B( 1;5),

С(3;1).

6)

l :5x 2y 1 0

,

l2

:

x 4

y 5

l : y 4x 2

;

1

2

3

,

3

l4 :4x 2y 3 0,

l5 : x 5y 6 0;

A( 1;5),

B(2; 6),

С(1; 3).

7)

l : x 2y 2 0

,

l2 :

x 1

y 2

,

l : y 2x 5

;

1

7

5

3

l4 :7x 2y 3 0,

l5 :3x 6y 1 0;

A(2; 2),

B(1;3),

С(6;7).

8)

l :2x 5y 11 0

,

l2 :

x 1

y 4

l : y 5x 6

;

1

2

3

,

3

l4 :9x 5y 2 0,

l5 :3x 2y 1 0;

A(2;1),

B(3; 1),

С(2;4).

9)

l :3x 4y 5 0

,

l2

:

x 2

y 1

l : y 2x 6

;

1

7

3

,

3

l4 : x 3y 7 0,

l5 :2x 5y 1 0;

A(4;4),

B(1;2),

С(3;0).

10)

l :4x 6y 2 0

,

l2

:

x 1

y 2

l : y 4x 3

;

1

5

4

,

3

9

l4 :4x 7y 5 0,		l5 :2x y 6 0;
A(2; 3),	B(1;1),		С(2;3).

2.Прямая отсекает на координатных осях Ox и Oy отрезки a и b соответственно. Найти ее направляющие вектора и угловой коэффициент.

1)	a 3, b 2;	6)	a 4, b 2;
2)	a 1, b 4;	7)	a 3, b 5;
3)	a 5, b 1;	8)	a 1, b 7;
4)	a 2, b 3;	9)	a 4, b 3;
5)	a 7, b 1;	10) a 9, b 1.

3.Чему равно расстояние от начала координат до прямых. Вычислить расстояние между прямыми.

1)		x 2											y 5		,
	3												6
2)		x 1										y 3			,
	2										3
3)		x 3											y 2		,
	5										15
		x 2											y 4
4)	3										9				,
5)		x 1										y 5			,
											6
		2
		x 4											y 2
6)	1										7				,
7)		x 5											y 4		,
											6
		3
8)		x 3											y 4		,
											6
	2
9)		x 5											y 6		,
													9
		3
		x 3											y 7
10)													8		,
	4

y 4 2x ; y 2x 4 ; y 3x 2; y 2 3x ;

y 9 3x;

y 2 7x ;

y 6 2x;

y 12 3x;

y 6 3x ;

y 4 2x ;

10