Metodichki / СЛАУ

Министерство образования и науки Российской Федерации

Дальневосточный федеральный университет

(ДВФУ)

Инженерная школа

Н.Е. Дегтярева

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ

УРАВНЕНИЙ

Методические указания по проведению практических занятий по курсу «Лине6йная алгебра» для студентов направлений

(220400, 230100, 140400, 211000)

Владивосток Издательский дом Дальневосточного

Федерального университета

2012

УДК 519

Рецензент: И.Л. Елисеенко, к.ф-м.н., доцент кафедры механики и математического моделирования. Дальневосточного федерального университета

Дегтярева, Н.Е.

Решение систем линейных алгебраических уравнений: метод.

указания / Сост. Н.Е. Дегтярева, – Владивосток: Изд-во ДВФУ, 2012. – 20с.

Содержание пособия составляет теория систем линейных уравнений с квадратной и прямоугольной матрицами. Изложен основной материал по решению систем линейных уравнений,

содержит 10 вариантов заданий для самостоятельной работы студентов. Приведены решения типовых заданий.

Методические указания предназначены для студентов технических специальностей.

© Дегтярева Н.Е. 2012

© Издательский дом Дальневосточного

Федерального университета, 2012

2

1. Системы линейных алгебраических уравнений

Основные понятия

Определение. Системой линейных алгебраических уравнений

размерности m n называется система вида:

a11x1 a12x2 ...						a1nxn b1,
						a2nxn b2,
a21x1 a22x2 ...
............................................
a	x a	m2	x	2	...	a	mn	x	n	b .
	m1 1									m

(СЛАУ)

(1.1)

В которой выделим:

	a11				a12 ...			a1n
					a22 ...
A a21								a2n ,		(1.2)
	...				... ...			...
					am2 ...
	am1							amn
a11		a12			...	a1n			b1
a	21	a		22	...	a	2n		b	(1.3)
A									2
...		...			... ...				...
a	m1	a	m2		...	a	mn		b
									m

соответственно основная и расширенная матрицы СЛАУ где m –количество

уравнений (количество строк), n - количество неизвестных (количество

столбцов основной матрицы), a11,a12,...,amn - коэффициенты системы, b1,b2,...,bm - свободные члены, образующие матрицу - столбец свободных

	b1
членов:	B b2		(1.4)
	...
	bm

3

x10,x20,...,xn0

x1,x2,...,xn

x1

Если ввести в рассмотрение матрицу – столбец неизвестных: X x2 , где

...

xn

- неизвестные подлежащие определению, то СЛАУ можно

записать в матричном виде: A X B.	(1.5)
СЛАУ называется однородной, если правые части всех уравнений
равны нулю, то есть b1,b2,...,bm 0:	A X 0

Если в СЛАУ хотя бы один из свободных членов отличен от нуля:

b1,b2,...,bm 0, то система называется неоднородной.

Система называется квадратной, если число уравнений равно числу

неизвестных: m n.

Определение. Решением СЛАУ называется такая совокупность n-чисел

которая при подстановке в систему вместо неизвестных

x1,x2,...,xn обращает все уравнения системы в тождества.

СЛАУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

СЛАУ называется несовместной, если у нее не существует ни одного

решения.

Определение: Рангом матрицы называется наивысший порядок отличного от нуля минора, или число линейно независимых строк

(столбцов) матрицы. Обозначается Rg A.

Линейные преобразования не меняют ранга матрицы.

Теорема. (Кронекера-Капелли) Для того чтобы СЛАУ являлась совместной (т.е. имела решение) необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу основной матрицы системы, т. е. RgA RgA r. Причем:

1) если r n система имеет единственное решение;

4

2) если r n система имеет бесконечное множество решений зависящих от n r свободных неизвестных.

Следствие. Если RgA RgA , то система несовместна (нет решений).

2.Решение СЛАУ размерности n n

1)Метод Крамера.

Теорема (формулы Крамера): Система из n уравнений с n

неизвестными

а11x1

a12x2

... a1nxn

b1,

a22x2

... a2nxn

b2,

a21x1

(2.1)

...

a

x

a

n2

x

2

... a

nn

x

n

b

n1 1

n

в случае,

когда определитель

системы отличен от нуля

det A 0, имеет

единственное решение определяемое формулами:

xj

j

(2.2)

(для всех

j 1, 2,..., n), где через

обозначен определитель основной

матрицы системы, а j - дополнительные определители, получаемые из

заменой j-го столбца столбцом свободных членов, т.е.

		a11 ...	a1 j 1	b1	a1 j 1	...	a1n
j		... ...	...	...	...	...	...	.	(2.3)
		an1 ...	an j 1	bn	an j 1	...	ann

2) Метод Гаусса.

Метод Гаусса относится к наиболее эффективным методам решения СЛАУ. Этим методом решаются как квадратные, так и прямоугольные системы линейных уравнений. В основе метода Гаусса лежат прямой и обратный ход. Прямым ходом расширенную матрицу системы

5

элементарными преобразованиями сводят к треугольному виду. Обратным

ходом находят неизвестные величины.

К элементарным преобразованиям относится:

1.Перестановка двух любых уравнений системы;

2.Умножение любого уравнения системы на произвольное, отличное от нуля, число;

3.Прибавление к произвольному уравнению системы любого другого уравнения, умноженного на произвольное число.

3) Матричный метод.

Если определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то ее решение определяется формулой:

X A 1 B

(2.4)

Где A 1- обратная к основной матрице системы, вычисляемая по формуле

	1		1 ~		~
A				A, в которой	A	- присоединенная матрица состоящая из

алгебраических дополнений основной транспонированной матрицы. B-

столбец свободных членов системы.

6

3. Варианты заданий

Проверить систему на совместность и в случае совмесности решить ее:

1)по формулам Крамера;

2)Методом Гаусса;

3)Матричным методом.

2x1 x2 x3 4 1. x1 3x2 x3 3,

x1 5x2 2x3 4

1 3x2 5x3 4

3.2x1 2x2 x3 5,3x1 x2 x3 4x

1 4x2 2x3 3

5.x1 x2 x3 1 ,2x1 x2 x3 23x

2x1 3x2 x3 2 7. x1 x2 x3 0 ,

x1 3x2 4x3 9

4x 5x		2	x	3	1
	1				7
9.	x1 3x2 x3					,
	2x x	2	x	3	7
	1

3x1 2x2 x3 8 2. x1 5x2 x3 10 ;

4x1 3x2 2x3 4

1 4x2 3x3 6

4.2x1 3x2 x3 1 ;7x1 x2 4x3 5x

1 3x2 x3 2

6.3x1 x2 x3 8 ;x1 2x2 3x3 3x

	3x x			2	2x			3	2
		1
8.		x1 2x2 x3 0 ;
		x	x		2	x	3		1
		1

1 2x2 x3 3

10.x1 x2 3x3 7.4x1 x2 x3 7x

7

4.Решение типового варианта

1.Проверить систему на совместность и в случае совмесности решить ее:

1)по формулам Крамера;

2)Методом Гаусса;

3)Матричным методом.

2x1 4x2 x3 3x1 5x2 3x3 1

	x x	2	x	3	1
	1

Решение: Нам задана СЛАУ размерности 3 3. В случае квадратной системы ее совместность можно проверить, не прибегая к вычислению рангов основной и расширенной матрицы. Достаточно вычислить определитель основной матрицы системы. Если последний отличен от нуля,

то система совместна и имеет единственное решение.

Выпишем определитель основной матрицы системы и вычислим его:

2 4 1

1

5

3 8 0

11 1

1)Для нахождения решения системы по формулам Крамера, вычислим дополнительные определители 1, 2, 3 по формулам (2.3). Для этого в основном определителе системы j-ый столбец заменяем столбцом свободных членов.

	3	4 1				2	3	1			2	4	3
1	1	5	3	16,	2	1	1 3		0,	3	1	5	1	8.
	1	1 1				1	1	1			1	1	1

Теперь, пользуясь формулами Крамера (2.2), найдем:

x	1		16	2;	x			2		0	0;	x			3		8	1.
1			8			2				8			3				8

8

Убеждаемся в правильности решения. Подставим найденные значения в исходную систему:

2 2 4 0 ( 1) 3

2 5 0 3 ( 1) 1

	2 0 ( 1) 1

2

Получили три тождества, значит решение найдено верно. Ответ: X 0 .

1

2) Для решения системы методом Гаусса выпишем расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду (прямой ход метода Гаусса), используя элементарные преобразования строк.

			2	4	1	3
Расширенная матрица системы имеет вид: A				5	3
			1			1
				1	1	1
			1

Для наглядности, мы отделили столбец свободных членов от основной матрицы вертикальной чертой. Приведем матрицу к нижнему треугольному виду. Для удобства поменяем местами первую и вторую строки, это не изменит решения системы:

			1	5	3	1
A				4	1	3
			2
				1	1	1
			1

Обнулим элементы первого столбца. Для этого:

1)первую строку умножим на ( 2) и сложим ее со второй строкой;

2)первую строку умножим на ( 1) и сложим ее с третьей строкой.

	2 10			6	2		1 5			3 1
1)	2		4 1		3,		2) 1		1 1 1 .
		0	6	5	5		0		4	2 2

9

Запишем результаты вычислений в матрицу, при этом первую строку

оставляем без изменения:

			1	5	3	1			1	5	3	1
A				4	1	3					5	5
			2					~	0 6
				1	1	1				4	2	2
			1						0

Обнулим элементы второго столбца. Для этого:

								3
	1) третью строку умножим на									и прибавим к ней вторую строку.
								2
	0		6	5	5
	0		6	3	3
		0	0	2	2

Получили приведенную матрицу, эквивалентную исходной расширенной:

			1	5	3	1
A				6	5	5
			0				.
				0	2	2
			0

Найдем решение системы обратным ходом. Для этого по полученной приведенной матрице запишем систему эквивалентную начальной:

x 5x				3x		1
	1		2		3	5
		6x2		5x3
				2x3 2
Из последнего уравнения получаем: x3							2	1.
							2

Подставляем найденное значение во второе уравнение и определяем x2:

6x2 ( 5) ( 1) 5,

6x2 0,

x2 0

И, наконец, из первого уравнения находим переменную x1:

x1 5 0 3 ( 1) 1,

x1 3 1,

x1 2.

Ответ полностью совпал с первым решение по методу Камера.

3) Матричный метод.

10