Metodichki / Плоскость и прямая в пространстве2

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

(ДВПИ ИМ. В.В. КУЙБЫШЕВА)

ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ Практикум

Методические указания по проведению практических занятий для студентов технических специальностей

Владивосток 2010

Одобрено методическим советом университета УДК 519

Прямая и плоскость в пространстве.: метод. указания / Сост. Н.Е. Дегтярева, Е.В. Агеева – Владивосток: Изд-во ДВГТУ, 2011. – 24с.

В краткой форме излагается основной теоретический материал, входящий в раздел аналитической геометрии: понятие прямой и плоскости, определение расположения прямой и плоскости в пространстве, углы между прямыми и плоскостями, определение расстояний. Содержит 10 вариантов заданий для самостоятельной работы студентов, дополнительные задания. В решении типового варианта рассмотрены различные методы решения задач.

Методические указания предназначены для студентов технических специальностей.

Методические указания печатаются с оригинал-макета, подготовленного авторами

©Н.Е.Дегтярева

©Изд.-во ДВГТУ, 2011

2

1. Уравнения плоскости в пространстве.

Произвольный вектор n ортогональный к плоскости (рис.1.1)

называется её нормальным вектором или нормалью к плоскости.

n(A,B,C)

M(x, y,z)

M0(x0,y0,z0)

		Рис.1.1
Пусть	n	(A, B,C), и M0(x0, y0, z0)	заданная точка плоскости,
			n	,
тогда из условия ортогональности векторов					M0M	(здесь и далее
M(x; y; z) произвольная точка плоскости), получим:
		A(x x0) B(y y0) C(z z0) 0				(1.1)

- уравнение плоскости проходящей через данную точку в направлении данного вектора нормали.

Раскрывая скобки, и вводя новую константу	D ( Ax0 By0 Cz0),
получим:
Ax By Cz D 0	(1.2)
– общее уравнение плоскости.

Преобразовав формулу (1.2) получим уравнение плоскости в отрезках:

x

y

z

1

(1.3)

a b

c

где a

D

,

b

D

,c

D

- отрезки,

отсекаемые плоскостью на

C

A

B

координатных осях Ох, Оу и Оz соответственно (рис.1.2).

3

z

с

b y

a

x

Рис.1.2

Три точки M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3) лежат в одной

плоскости (рис. 1.3) тогда и только тогда, когда векторы M1M , M1M2 ,

M1M3 компланарны: M1M M1M 2 M1M 3 0.

M1

M3

M

M2

Рис.1.3

Или в координатной форме:
	x x1	y y1	z z1
:	x2 x1	y2 y1	z2 z1	0	(1.4)
	x3 x1	y3 y1	z3 z1

уравнение плоскости проходящей через три точки.

Два неколлинеарных между собой вектора принадлежащих одной плоскости или параллельных ей, называются направляющими к этой плоскости.

Для того, чтобы записать уравнение плоскости, проходящей через заданную точку M0(x0, y0, z0) и два направляющих вектора плоскости

p, g, воспользуемся условием компланарности векторов p, g, M0M

(рис.1.4).

4

M0

g

M p

Рис.1.4

p g M0M 0 или в координатной форме:

	x x0	y y0	z z0
:	l1	m1	n1	0	(1.5)
	l2	m2	n2

2.Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и ортогональности плоскостей. Расстояние от точки до плоскости

Пусть даны две плоскости: 1 : A1x B1y C1z D1 0,

2 : A2x B2y C2z D2 0. Угол между плоскостями можно определить как угол между их направляющими векторами п1 и п2 (рис. 2.1).

п1

п2

Рис. 2.1

cos

n1

n

2

A1A2 B1B2 C1C2

(2.1)

n1

n

2

A12 B12 C12

A22 B22 C22

Если 1 || 2, то

n1 ||

n

2 и соответствующие координаты

векторов

пропорциональны:

5

	A1		B1		C1	(2.2)
	A2		B2		C2

Если 1 2, то 90 и скалярное произведение этих векторов равно нулю

A1A2 B1B2 C1C2 0

(2.3)

При решении задач используется формула определения расстояния от точки

M0(x0, y0, z0) до плоскости заданной общим уравнением

Ax By Cz D 0. Данное расстояние вычисляется по формуле:

d Ax0 By0 Cz0 D A2 B2 C2

3. Уравнения прямой в пространстве

Прямую можно задавать либо двумя уравнениями плоскостей:

L: A1x B1y C1z D1 0A2x B2 y C2z D2 0

Либо пучком плоскостей, проходящих через эту прямую:

A1x B1y C1z D1 A2x B2y C2z D2 0

(2.4)

(3.1)

(3.2)

Каждый ненулевой вектор r || L будем называть направляющим

вектором этой прямой. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку

M0(x0, y0,z0) и имеющей заданный направляющий вектор r (l, m, n)

получим из условия коллинеарности векторов r, M0M (рис.3.1):

r

M

M0

Рис.3.1

6

Векторы коллинеарны, следовательно их соответствующие координаты пропорциональны:

	x x0		y y0		z z0	(3.3)
	l		m		n

Уравнение (3.3) принято называть каноническим уравнением прямой.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

M1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2,z2) можно записать используя тоже свойство

коллинерности векторов M1M и M1M2 (рис. 3.2)

M

M2

M1

Рис.3.2

Получим уравнение прямой проходящей через две точки:

	L:	x x1		y y1		z z1	(3.4)
		x2 x1		y2 y1		z2 z1

Приравняем уравнение (3.3) произвольному параметру t:

x x0

y y0

z z0

t.

l

m

n

Получим систему равенств

x x0

t,

y y0

t,

z z0

t;

l

m

n

определяющих параметрическое уравнение прямой:

x lt x0

y mt y0

(3.5)

z nt z0

7

4.Угол между прямой и плоскостью. Условие параллельности и ортогональности двух прямых, прямой и плоскости.

Рассмотрим

пару

прямых

L

:

x x1

y y1

z z1

и

m

n

1

l

1

1

1

L2 :

x x2

y y2

z z2

. Расположение

прямых

в пространстве

l2

m2

n2

можно рассмотреть

по расположению

их

направляющих векторов

a1 (l1; m1; n1) и a2 (l2; m2; n2).

Если прямые параллельны, то координаты их направляющих векторов пропорциональны:

l1 m1 n1 l2 m2 n2

Если прямые ортогональны, то направляющих векторов равно нулю:

(4.1)

скалярное произведение их

l1 l2 m1 m2 n1 n2

0

(4.2)

Рассмотрим плоскость : Ax By Cz D 0, и прямую l имеющую

направляющий вектор	a	(l, m, n)	l :	x x1		y y1		z z1	. Пусть φ –
				l		m
								n

угол между прямой l и плоскостью (рис. 4.1).

L

n

a

Рис.4.1

8

Так как 90 90 ,	cos(90 ) sin		a					n			, тогда
				a			n

sin		A l B m C n
						(4.3)
		A2 B2 C2		l2 m2 n2

Условие коллинеарности и ортогональности прямой и плоскости выводится из взаимного расположения их направляющих векторов:

1)

если l || , то

n

a

и следовательно

n

a

0,

A l B m C n 0

(4.4)

2)

если l , то n||

a

и их координаты пропорциональны

A

B

C

(4.5)

l m n

5.Практикум

1.Прямая проходит через точку M0 в направлении вектор нормали n: а) записать общее уравнение плоскости в пространстве; б) найти отрезки отсекаемые плоскостью на соответствующих осях; в) найти расстояние от прямой до начала координат.

1.

M0( 1; 4;2),

n

(2; 3;1);

2.

M0(1; 2;5),

n

(4; 2;3);

3.

M0

(2; 3;4),

n

( 1;3;1);

4.

M0

(3; 2;0),

n

( 2;1; 1);

5.

M0

( 2;1;6),

n

(2; 5; 2);

6.

M0(4; 3;1),

n

(2; 3;1);

7.

M0(2; 1; 1),

n

(5; 2; 1);

8.

M0

( 4; 2;2),

n

( 1;3; 2);

9.

M0

( 2; 3;1),

n

(1; 3;7);

10. M0(1; 2;1),

n

(5; 4;3).

2.Записать уравнение плоскости, проходящей через прямую L, ортогонально плоскости .

1.L: x 1 y 2 z 3

3 1 2

2.L: x 2 y 3 z 1

	1		4		3
3.	L:	x 1		y 2		z 3
	2		3		1

,	:6x y z 1 0;

,:2x y 3z 2 0;

,:5x y 2z 1 0;

9

4.	L:			x 1								y 2											z 3						,				:6x y z 1 0;
											1
	3																		2
5.	L:			x 4												y 1									z 2						,		: x 3y 4z 5 0;
	2										3								4
6.	L:		x 2												y 3													z 4				,	: x 2y 3z 1 0;
	4															1			2
7.	L:			x 3											y 2													z 1		,			:3x y 2z 2 0;
	2										3																	1
8.	L:			x 2												y 4												z 1			,		: 2x 4y z 7 0;
	1										5								3
9.	L:			x 4											y 1									z 4							,		:3x 2y z 6 0;
	3										2																	1
10.	L:			x 1									y 2											z 2							,		: x 4y 2z 5 0.
																1
	3																		1

3.Найти проекцию точки A на плоскость .

1.A(1; 1; 4), : x y 2z 4 0;

2.A( 2; 3;1), : 2x y z 3 0;

3.A(2; 1; 5), : x 2y z 2 0;

4.A(6;1; 2), : x y 3z 2 0;

5.A( 3; 2; 5), : 2x 3y z 4 0;

6.A(1; 5; 4), : x 2y 3z 5 0;

7.A( 1; 3; 5), :3x y z 2 0;

8.A(3; 2; 6), : x y 3z 3 0;

9.A(1; 5; 4), : 2x 3y z 1 0;

10.A(2; 3; 1), : x 3y 2z 2 0.

4.Проверить, пересекаются ли прямые L1 и L2. Если нет, найти расстояние между ними.

1.	L :	x			y 3					z 5		,	L	:		x 4				y 2				z 1	;
		2			1											1
	1							2					2					3			2
2.	L :	x 1				y			z 1		,		L	:		x 2			y 2					z 4		;
		3
	1			2						1			2		3			2			1

10