Линейная алгебра / problems2

I.

1) Вычислить:

10

144

2 + 3i

2

(2 + i) × (3 - 2i) - 3i10

f)

a)

b)

c)

d)

e)

- 24 -10i

+ 8i

12i

- i

- i

(2 - i)2 -1 + 2i

6

1

2) Представить в тригонометрической и показательной форме:

а)

3

+

1

i

b) 1 + i

c) 3 + 4i

22

3)Представить в виде a + bi следующие комплексные числа.

a) 15e iπ / 6

b) 0,5ei с) e3+ 2i

+ 3 − i sin

πx

4) Найдите

действительные значения x, при которых комплексные числа z = x 2

− 3

и

1

4

+ 1 − i sin 2

πx

являются сопряженными.

z2 =

x 2 + 5

4

5) Вычислите,

используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

1 - i 24

а)

; б) 6 1 .

3

+ i

6)

Решите уравнение:

а)

2z 2 - 3z ×

z

+

2 = 3; б)

z

+ z = 1 - i .

z

7)

Вычислите z1971+

1

, если

1

+ z = 1.

z1971

z

z -1

³ 3;

8) Изобразите на плоскости множество всех точек,

для которых

π

arg z =

.

4

9)Выразите ctg 7x через ctg x .

10)Для каких целых n (1 + i)n = (1 - i)n ?

II.

1) Вычислить:

10

144

2 + 3i

2

(2 + i) × (3 - 2i) - 3i10

f)

a)

b)

c)

d)

e)

- 24 -10i

+ 8i

12i

- i

- i

(2 - i)2 -1 + 2i

6

1

2) Представить в тригонометрической и показательной форме:

а)

3

+

1

i

b) 1 + i

c) 3 + 4i

22

3)Представить в виде a + bi следующие комплексные числа.

a)	15e iπ / 6 b)	0,5ei с) e3+ 2i
4)	Вычислите:
	3	23 + i + i37
а) ( 2 + 5i ) ;б)			.
		3 - i + i122

5)Решите уравнение: z 4 - 6z 2 + 25 = 0 .

6)Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

				13
		1 - i	3					4
а)						;	б)		4 .
		1 + i

7)

Решите уравнение:

а)

= −zi ;

б)

2

z

- 8z +1 + 2i = 0 .

z

8)

Пусть w =

z − 1

, где

z ¹ ±1. Докажите,

что w -

чисто мнимое тогда и только тогда, когда

z

= 1.

z +1

1 £

2i - z

< 3;

9)

Изобразите на плоскости множество всех точек,

π

для которых

arg z =

.

2

10) Выразите cos3 φ через тригонометрические функции кратных углов.

1) Вычислите:

		(2 - i) × (3 + i) + (2 + i) × (3 -i)			. c)	5	; d)	(3 - 4i) × (2 - i)	-	(3 + 4i) × (2 + i)	;
	a)		; b)	5 +12i
						- i		2 + i
		(5 + i) × (4 - i) - (5 - i) × (4 + i)								2 - i

2)

При

каких

действительных

x и y

числа

x + y 2 +1 + 4i

и ixy 2 + iy 2 - 3 будут комплексно

сопряженными ?

3)

Вычислите,

используя тригонометрическую форму записи

комплексного числа:

2 - 2i 27

+ 3i

26

3

a)

;

b)

4 - 4 . c)

d) 6

- 27 .

1 + i

3

2 - i 2

4)

Решите уравнение: а)

+1 + i

=

3 - z + 2i

б) z + 3

z +1

i = 0 .

z

1 <

2i - z

£ 3;

5)

π

Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых

arg z =

.

3

6)

Выразите ctg 4x через

ctg x .