Министерство образования и науки Российской Федерации

Дальневосточный федеральный университет

(ДВФУ)

Инженерная школа

Н.Е. Дегтярева

Решение Систем линейных алгебраических уравнений

Методические указания по проведению практических занятий по курсу «Лине6йная алгебра» для студентов направлений

(220400, 230100, 140400, 211000)

Владивосток

Издательский дом Дальневосточного

Федерального университета

2012

УДК 519

Рецензент: И.Л. Елисеенко, к.ф-м.н., доцент кафедры механики и математического моделирования. Дальневосточного федерального университета

Дегтярева, Н.Е.

Решение систем линейных алгебраических уравнений: метод. указания / Сост. Н.Е. Дегтярева, – Владивосток: Изд-во ДВФУ, 2012. – 20с.

Содержание пособия составляет теория систем линейных уравнений с квадратной и прямоугольной матрицами. Изложен основной материал по решению систем линейных уравнений, содержит 10 вариантов заданий для самостоятельной работы студентов. Приведены решения типовых заданий.

Методические указания предназначены для студентов технических специальностей.

© Дегтярева Н.Е. 2012

© Издательский дом Дальневосточного

Федерального университета, 2012

1. Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия

Определение. Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) размерности называется система вида:

(1.1)

В которой выделим:

, (1.2)

(1.3)

соответственно основная и расширенная матрицы СЛАУ где –количество уравнений (количество строк),- количество неизвестных (количество столбцов основной матрицы),-коэффициенты системы, -свободные члены, образующие матрицу - столбец свободных членов: (1.4)

Если ввести в рассмотрение матрицу – столбец неизвестных: , где -неизвестные подлежащие определению, то СЛАУ можно записать в матричном виде: . (1.5)

СЛАУ называется однородной, если правые части всех уравнений равны нулю, то есть :

Если в СЛАУ хотя бы один из свободных членов отличен от нуля: , то система называетсянеоднородной.

Система называется квадратной, если число уравнений равно числу неизвестных: .

Определение. Решением СЛАУ называется такая совокупность -чиселкоторая при подстановке в систему вместо неизвестныхобращает все уравнения системы в тождества.

СЛАУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

СЛАУ называется несовместной, если у нее не существует ни одного решения.

Определение: Рангом матрицы называется наивысший порядок отличного от нуля минора, или число линейно независимых строк (столбцов) матрицы. Обозначается .

Линейные преобразования не меняют ранга матрицы.

Теорема. (Кронекера-Капелли) Для того чтобы СЛАУ являлась совместной (т.е. имела решение) необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу основной матрицы системы, т. е. . Причем:

1) если система имеет единственное решение;

2) если система имеет бесконечное множество решений зависящих отсвободных неизвестных.

Следствие. Если , то система несовместна (нет решений).

2. Решение слау размерности

1) Метод Крамера.

Теорема (формулы Крамера):Система изnуравнений сnнеизвестными

(2.1)

в случае, когда определитель системы отличен от нуля , имеет единственное решение определяемое формулами:

(2.2)

(для всех ), где через Δ обозначен определитель основной матрицы системы, а- дополнительные определители, получаемые из Δ заменой-го столбца столбцом свободных членов, т.е.

. (2.3)

2) Метод Гаусса.

Метод Гаусса относится к наиболее эффективным методам решения СЛАУ. Этим методом решаются как квадратные, так и прямоугольные системы линейных уравнений. В основе метода Гаусса лежат прямой и обратный ход. Прямым ходом расширенную матрицу системы элементарными преобразованиями сводят к треугольному виду. Обратным ходом находят неизвестные величины.

К элементарным преобразованиям относится:

1. Перестановка двух любых уравнений системы;

2. Умножение любого уравнения системы на произвольное, отличное от нуля, число;

3. Прибавление к произвольному уравнению системы любого другого уравнения, умноженного на произвольное число.

3) Матричный метод.

Если определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то ее решение определяется формулой:

(2.4)

Где - обратная к основной матрице системы, вычисляемая по формуле, в которой-присоединенная матрица состоящая из алгебраических дополнений основной транспонированной матрицы.- столбец свободных членов системы.