Конспекты. Blackboard / Тема 6. Среднеквадратичное приближение

Тема §1 Среднеквадратичное приближение

При интерполяции мы требовали выполнения f

x

g x

i

i

Пространство L

- множество функций

y x

,

определенных при p

x a, b

p

и интегрируемых по модулю с

-ой степенью,

если норма определена

b

y x

1 p

y

Lp

p dx

a

сходимость в такой норме называют сходимостью в среднем.

Например, L2 - гильбертово пространство, а сходимость среднеквадратичная.

Сформулируем задачи:

1. аппроксимация с заданной точностью: по заданному

найти такую x , чтобы

y x x

g x

2. нахождение такой

, наилучшей, чтобы

y x g x

inf

y x x

y x 1, x 1,1 ,

Пример

x сx, c числа,

x

2

1

2 c

2,

c

1

y x x

L1

1 cx

2

dx

c2 1

1

2,

c

1

c

Задание: Вычислить интеграл

	y
		2
y 1 cx
		1
1	0	1	x

Пусть в линейном пространстве функций выбрано множество,

x

n

,

Образованное функциями вида

ak k x

где k

k 1

x линейно-независимые функции.

y x ,

Рассмотрим пространство

- множество функций

определенных при x a, b L2

интегрируемых по модулю с квадратом,

и норма определена

b

y

2L

y, y x

y x

2 dx

2

a

выберем в качестве аппроксимирующей функции ,

n

2

y x

ak k x

k 1

n

n n

y, y

2 ak y, k

ak am k , m

min

k 1

k 1 m 1

		n		n n
y, y 2 ak			y,k	ak am k ,m min
		k 1		k 1 m 1
				n
		2 y, k 2 am			k , m	0
	ak
				m 1

		1 , 1	1 , 2
		2 , 1	2 , 2
		...
		n , 1	n , 2

...			,
	1			n
...	2		, n
...
...			,
		n		n

Но, если заданы функции y x	таблично, то имеем	y xi
конечномерное пространство сеточных функций
n	g xi
y, g i y xi

i 1

m

x ak k x

k1

x a bx

n

yi

i 1

		n
xi 2	yi a bxi 2 min
		i 1
		n
a		2 yi	a bxi 0
		i 1
		n
b		2 yi	a bxi xi	0
		i 1

1

n

1

n

y

yi

x

x

n

n i 1

i

i 1

1

n

1

n

xi yi

x2

xi2

xy

n i 1

n i 1

n

n

an b xi

yi

i 1

i 1

n

n

n

a xi

b xi2

yi xi

i 1

i 1

i 1

a bx y

b

x y

xy

x 2

x 2

ax bx

2

xy

a y bx

y

x