Конспекты. Blackboard / Тема 3. Дифференцирование

Тема 3 §1 Численное дифференцирование

_

xi

a, h b a / n

Пусть дана h

: xi

x0 ih, i 0,..., n; x0

заданы значения

f xi

fi

Необходимо вычислить

f k x

и, в частности,

f k xi

Ln

x

f

xi Ln

xi

Найдем

k

и положим

k

k

Примеры. n=1

L x

f

x x1

f

x x0

1

0 x

x

1

x x

0

1

1

0

f0

f1

f1 f0

;

L1 x

x1

x1 x0

x0

x1 x0

n=2:

x x x x

x x0 x x2

x x

x x

L x f

f

f

1

2

0

1

x

x x x

x

x

x x

x x

x x

2

0

1

2

0

1

0

2

1

0

1

2

2

0

2

1

-h

-2h

h

-h

2h

h

L2 x f

x x

x x

x x

x x

x x

x x

2

f0

1

f1

2

f1

0

f2

1

f

0

0 2h2

2h2

h2

h2

2h2

2 2h2

f

2h

f

h

f

2h f

h

0 2h2

0 2h2

2 2h2

1 h2

L2 x0

1

3 f0 4 f1 f2

2h

x f0

x x2

f

x x1

f1

x x2

f1

x x0

f

x x1

f

x x0

L2

2h2

0 2h2

h2

h2

2 2h2

2 2h2

h

h

h

h

L2 x1 f0

f1 h2 f1

f2

2h2

h2

2h2

x1

1

f0 f2

f2 f0

L2

2h

2h

h

2h

h

2h

L2 x2

f0

f1

f

f

2h2

h2

2 2h2

2 2h2

1

f0 4 f1 3 f2

L2 x2

2h

				§2 Оценка погрешности
	формул численного дифференцирования
Rn x f x Ln x f x, x0 , x1,...,						xn n 1 x
R	x	f k x L k x
nk	k			n	xn	n 1	x
Ck				f x, x0 , x1,...,
		m			m	k m
	m 0
j		f x, x0 ,..., xn
	1:
	lim			f x , x0 ,...,xn f x, x0 ,...,xn
		0		x

lim		f x , x, x0 ,...,xn f x, x, x0 ,...,xn
0
j 2 :
			f x, x0 ,..., xn
				f
lim		f x , x0 ,...,xn			x, x0 ,...,xn
			x
0					f x , x, x0 ,..., xn
lim		f x , x , x0 ,...,xn f x, x, x0 ,...,xn
				x
0

2 f x, x, x, x0 ,..., xn

Предположение индукции

f m1 x, x ,..., x

n

m 1 ! f x, x,..., x, x ,..., x

n

j m :

0

0

m

f m x, x ,..., x

n

0

lim

f m 1 x , x ,...,

x

n

f

m 1 x, x ,...,

x

n

0

0

0

(m-1) пара

f x ,...,

x , x, x0 ,..., xn ... f x , x,..., x, x0 ,..., xn

m

m

m 1 !lim

f x ,...,x , x0 ,...,xn f x,...,x, x0 ,...,xn

0

x

n 2

итого m пар – разностей, тогда получаем:

f

m x, x ,..., x

n

m ! f x, x,..., x, x ,..., x

n

0

0

m+1

k

k!

k m

x

Rnk

f x,..., x, x0

, x1,..., xn

n 1

x

k m !

m 0

m+1

частные случаи

k=1:
Rn1	x	f n 1				x
		1
		n 1 !

1 , 2 , x a, b

f 2 n 1 x ,

n 2 !

если x xi , i 0,..., n,

тогда

f

n 1

1

xi , 1

, xi a, b ;

Rn1 xi

n

1 !

n 1

k=2

f n 1

f n 2

f n 3

2

1

3

Rn2 x

x 2

x

n 1 x ,

n 1 !

n 1

n 2 !

n 1

n 3 !

1, 2 , 3 , x a,b

если x x , i 0,..., n,

i

f

n 1

f n 2

2

1

Rn2 xi

2

n 1 !

n 1 xi

n

2 !

n 1 xi ,

1, 2 , xi a, b

§ 3 О вычислительной погрешности формул численного дифференцирования

• определение1.

Задача называется корректной(или корректно поставленной), если:

1.решение задачи существует и единственно при любом наборе данных из некоторого класса,

2.решение устойчиво по входным данным.

• определение 2.

Решение задачи называется устойчивым, если оно непрерывно зависит от входных данных, причем эта зависимость

равномерна по h:	y
y - входные данные, приближенная формула - Fh

для 0, , h0 , такие, что, дляh h0и

~				,		~
y y						Fh y Fh y

Пример

f x1 f x0

f1 f0

f x0 L1 x

;

x1

x0

h

f

f

R11 x

h; 1, x a, b ;

2

n 1 x

2

f

x

M, x a,b ;

Пусть

следовательно

R x

M

h; x a, b ;

11

2

f x0 0 , f x1 1, max 0

,

1

E

r 1 0

,

r

2E

;

2

h

2

h