lec_2sem / lec12 / lec12

\documentclass[twoside]{article}
\usepackage{$HOME/sty/lec}
\usepackage{pifont}

%\newcommand{\vic}{{\large\ding{44}}.\medskip\par}

%\newcommand{\intt}{\int\nolimits}
\begin{document}
\pagestyle{empty}

\begin{center}
{\tsc{а.б.~лМЕЧЮЙИЙО}}\\[.3cm]
\rule{10cm}{.3pt}\\[-9pt] 
\rule{10cm}{1pt} 

\vskip .5cm


\LARGE{\tbf{йОФЕЗТБМШОПЕ ЙУЮЙУМЕОЙЕ}}\\[5mm]

\Large{\ttt{МЕЛГЙС 12 (22.03.2005)}}\\[5mm]
\Large{\ttt{рТЙЪОБЛЙ ХУМПЧОПК УИПДЙНПУФЙ\\ Й ОЕУПВУФЧЕООЩЕ
ЙОФЕЗТБМЩ\\ ЧФПТПЗП ТПДБ 
}}\\
%\scalebox{1.5}[1.6]{\ttt{}}\\

\vfil
 
\ovalbox{$\displaystyle\int$}
\vfil

\large чМБДЙЧПУФПЛ\\
2005
\end{center}
\pagebreak
\pagestyle{headings}
\markboth{\hrulefill
лМЕЧЮЙИЙО а.б
}{\hrulefill}

\section*{мЕЛГЙС 12}

\subsection*{рТЙЪОБЛЙ ХУМПЧОПК УИПДЙНПУФЙ}

нЩ ХЦЕ ЙЪХЮЙМЙ ОЕЛПФПТЩЕ РТЙЪОБЛЙ, У РПНПЭША ЛПФПТЩИ НПЦОП ЧЩСУОЙФШ
УИПДЙФУС ЙМЙ ТБУИПДЙФУС ЙОФЕЗТБМ ПФ НПДХМС ЖХОЛГЙЙ.  оП ХУМПЧОП УИПДСЭЙЕУС
ЙОФЕЗТБМЩ ЧУФТЕЮБАФУС Ч РТЙМПЦЕОЙСИ ОЕ ТЕЦЕ.  оБРТЙНЕТ, Ч ЖЙЪЙЛЕ (ПРФЙЛЕ)
ЧПЪОЙЛБАФ, ФБЛ ОБЪЩЧБЕНЩЕ, ЙОФЕЗТБМЩ жТЕОЕМС $\int_0^\infty\sin x^2\,dx$
Й $\int_0^\infty\cos x^2\,dx$.  нЩ ХЦЕ ЧУФТЕЮБМЙУШ У ЙОФЕЗТБМПН дЙТЙИМЕ
$\int_0^\infty\frac{\sin x}x\,dx$. дПУФБФПЮОЩЕ ХУМПЧЙС УИПДЙНПУФЙ
РПДПВОЩИ ЙОФЕЗТБМПЧ ДБАФ ДЧЕ ФЕПТЕНЩ: РТЙЪОБЛ дЙТЙИМЕ Й РТЙЪОБЛ бВЕМС.
пФНЕФЙН, ЮФП РТЙНЕОСФШ ЙИ ЙНЕЕФ УНЩУМ ФПМШЛП ФПЗДБ, ЛПЗДБ СУОП, ЮФП
ЙОФЕЗТБМ ПФ НПДХМС ЖХОЛГЙЙ ТБУИПДЙФУС.

\teo{фЕПТЕНБ} (РТЙЪОБЛ дЙТЙИМЕ). \tit{рХУФШ $\forall A>a$ ЖХОЛГЙЙ 
$f,g\in\Rim[a; A]$. еУМЙ ЧЩРПМОЕОЩ ХУМПЧЙС}: 

1.  $\exists M\ \forall A\ \Big|\int_a^A g(x)\,dx\Big|\leq M$, 

2.  $f\downarrow [a;\infty)$ (Ф.~Е. $f$ ХВЩЧБЕФ ОБ $[a;\infty)$), 

3.  $\Lim_{x\to\infty} f(x)=0$, 

\noindent
\tit{ФП ЙОФЕЗТБМ $\int_a^\infty f(x)g(x)\,dx$ УИПДЙФУС.}  

д П Л Б Ъ Б Ф Е М Ш У Ф Ч П.  уОБЮБМБ ПФНЕФЙН, ЮФП ДМС МАВЩИ 
$A', A''>a$ ЙНЕЕН 
\begin{gather*}
\bigg|\int^{A''}_{A'} g(x)\,dx\bigg|=\bigg|\int^a_{A'} g(x)\,dx +
\int^{A''}_a g(x)\,dx\bigg|\leq\\ \leq 
\bigg|\int^{A'}_a g(x)\,dx\bigg|+\bigg|
\int^{A''}_a g(x)\,dx\bigg|\leq 2M. 
\end{gather*}

еУМЙ НЩ ФЕРЕТШ ДПЛБЦЕН, ЮФП ОБЫ ЙОФЕЗТБМ
ХДПЧМЕФЧПТСЕФ ХУМПЧЙА лПЫЙ 
\[
\forall\eps>0\ \exists A_0\ \forall A', A'' > A_0\Rightarrow 
\bigg|\int^{A''}_{A'} f(x)g(x)\,dx \bigg| < \eps, 
\]
ФП ПО УИПДЙФУС.  

дМС РТПЙЪЧПМШОПЗП $\eps>0$ ЧЩВЕТЕН $A_0$ ФБЛ, ЮФПВЩ РТЙ $A> A_0$ 
ЧЩРПМОСМПУШ ОЕТБЧЕОУФЧП  $|f(A)|<\frac{\eps}{4M}$ 
(ЬФП ЧПЪНПЦОП, ФБЛ ЛБЛ РП ХУМПЧЙА $f(x)\xrightarrow[x\to\infty]{}0$) 
Й УДЕМБЕН ПГЕОЛХ НПДХМС ЙОФЕЗТБМБ У РПНПЭША ЧФПТПК ФЕПТЕНЩ 
П УТЕДОЕН (ЕЈ ХУМПЧЙС ЧЩРПМОЕОЩ: $f$ --- НПОПФПООБ, $g\in\Rim[A',A'']$, 
$A'\leq\xi\leq A''$).  
\[
\bigg|\int^{A''}_{A'}f(x)g(x)\,dx\bigg|= 
\bigg|f(A')\int^{\xi}_{A'}g(x)\,dx+ f(A'')\int^{A''}_{\xi}g(x)\,dx\bigg|\leq 
\]
\[
\leq\bigg|f(A')\int^{\xi}_{A'} g(x)\,dx\bigg|+
\bigg|f(A'')\int^{A''}_{\xi} g(x)\,dx\bigg|\leq 
\overbrace{\big|f(A')\big|}^{<\frac{\eps}{4M}}2M +
\overbrace{\big|f(A'')\big|}^{<\frac{\eps}{4M}}2M<\eps. 
\]
юФП Й ФТЕВПЧБМПУШ ДПЛБЪБФШ \vic.  

\teo{фЕПТЕНБ} (РТЙЪОБЛ бВЕМС).  \tit{рХУФШ $\forall A > a$ ЖХОЛГЙЙ 
$f, g\in \Rim[a; A]$. еУМЙ ЧЩРПМОЕОЩ ХУМПЧЙС}: 

1.  $\int_a^\infty g(x)\,dx$ --- \tit{УИПДЙФУС}, 

2.  $f$ --- \tit{НПОПФПООБ ОБ} $[a;\infty)$, 

3.  $f$ --- ПЗТБОЙЮЕОБ ОБ $[a;\infty)$, 

\noindent
\tit{ФП ЙОФЕЗТБМ $\int_a^\infty f(x)g(x)\,dx$ УИПДЙФУС.}

д П Л Б Ъ Б Ф Е М Ш У Ф Ч П.  уПЗМБУОП ЛТЙФЕТЙА лПЫЙ ОБДП ДПЛБЪБФШ, ЮФП
\[
\forall\eps>0 \exists A_0\ \forall A',A''>A_0\Rightarrow 
\bigg|\int^{A''}_{A'} f(x)g(x)\,dx\bigg|<\eps. 
\]

рХУФШ $|f(x)|\leq M$ (РП ХУМПЧЙА 3).  рП РТПЙЪЧПМШОПНХ $\eps>0$ ЧЩВЕТЕН 
$A_0$ ФБЛ,  ЮФПВЩ РТЙ МАВЩИ $A',A''>A_0$ ЧЩРПМОСМПУШ ОЕТБЧЕОУФЧП
$\Big|\int^{A''}_{A'} g(x)\,dx\Big|<\frac{\eps}{2M}$ 
(НПЦОП УДЕМБФШ РП ХУМПЧЙА~1) 
Й УДЕМБЕН ПГЕОЛХ (ПРСФШ РТЙНЕОСЕН ЧФПТХА ФЕПТЕНХ П УТЕДОЕН) 
\begin{gather*}
\bigg|\int^{A''}_{A'}f(x)g(x)\,dx\bigg|=\bigg|f(A') 
\int^{\xi}_{A'} g(x)\,dx + f(A'')\int^{A''}_{\xi} g(x)\,dx\bigg|\leq\\
\leq\big|\overbrace{\vphantom{\int^{\xi}_{A'}}f(A')}^{\leq M}\big|\bigg|
\overbrace{\int^{\xi}_{A'}g(x)\,dx}^{<\frac{\eps}{2M}}\bigg| + 
\big|\overbrace{\vphantom{\int^{\xi}_{A'}}f(A'')}^{\leq M}\big|\bigg|
\overbrace{\int^{A''}_{\xi}g(x)\,dx}^{<\frac{\eps}{2M}}\bigg|<\eps. 
\end{gather*}
юФП Й ФТЕВПЧБМПУШ ДПЛБЪБФШ \vic. 

\teo{ъБНЕЮБОЙЕ.}  рТЙЪОБЛ бВЕМС НПЦОП ДПЛБЪБФШ Й ЛБЛ УМЕДУФЧЙЕ РТЙЪОБЛБ 
дЙТЙИМЕ.  оБДП ФПМШЛП РТЙ ХУМПЧЙСИ РТЙЪОБЛБ бВЕМС РТПЧЕТЙФШ, ЮФП ЖХОЛГЙЙ 
$g(x)$ Й\footnote{ч УМХЮБЕ, ЕУМЙ $f$ ХВЩЧБЕФ.  еУМЙ ЧПЪТБУФБЕФ, ФП ОБДП 
ЧЪСФШ $F(x)=f(\infty)-f(x)$.} $F(x)=f(x)-f(\infty)$, ЗДЕ 
$f(\infty)=\Lim_{x\to+\infty} f(x)$, 
ХДПЧМЕФЧПТСАФ ХУМПЧЙСН  РТЙЪОБЛБ дЙТЙИМЕ Й РТЙНЕОЙФШ ЕЗП Л ОЙН.  
тЕЛПНЕОДХЕФУС РТПДЕМБФШ ЬФП Ч ЛБЮЕУФЧЕ ХРТБЦОЕОЙС.  

\teo{ъБДБЮЙ.}  1. йУУМЕДПЧБФШ ОБ УИПДЙНПУФШ ЙОФЕЗТБМ 
$\int_0^\infty\sin x^2\,dx$.  

т Е Ы Е О Й Е. йНЕЕН 
\[
\int^{\infty}_0\sin x^2\,dx=\lim_{A\to\infty}\int^A_0\sin x^2\,dx 
\overset{\substack{\text{ЪБНЕОБ}\\ x=\sqrt t\\ dx=\frac{dt}{2\sqrt t}}}= 
\lim_{A\to\infty}\int_0^{\sqrt{A'}}\frac{\sin t}{2\sqrt t}\,dx = 
\int^{\infty}_0\frac{\sin t}{2\sqrt t}\,dx. 
\]

рТПЧЕТЙН, ЮФП РПУМЕДОЙК ЙОФЕЗТБМ ХДПЧМЕФЧПТСЕФ ЧУЕН ХУМПЧЙСН 
РТЙЪОБЛБ дЙТЙИМЕ (ДПУФБФПЮОП ЙИ ЧЩРПМОЕОЙС, ОБРТЙНЕТ, РТЙ $x\geq 1$): 

1) $\big|\int^A_0\sin t\, dt\big|=\big|-\cos t\Big|^A_0\big| = 
\big|1-\cos A\big|\leq 2$; 

2) $\frac1{2\sqrt t}\downarrow [1;+\infty)$ --- ПЮЕЧЙДОП;

3) $\Lim_{t\to\infty}\frac 1{2\sqrt t}=0$ --- ПЮЕЧЙДОП.  

\noindent
ъОБЮЙФ, ЙОФЕЗТБМ $\int_0^\infty\sin x^2\,dx$ УИПДЙФУС.

2. дПЛБЦЙФЕ, ЮФП ЙОФЕЗТБМ $\int_0^\infty\big|\sin x^2\big|\,dx$ ТБУИПДЙФУС
(УН. ДПЛБЪБФЕМШУФЧП ТБУИПДЙНПУФЙ ЙОФЕЗТБМБ 
$\int_0^\infty\frac{|\sin x|}x\,dx$ Ч РТЕДЩДХЭЕК МЕЛГЙЙ).

йЪ РПУМЕДОЕК Й РТЕДЩДХЭЕК ЪБДБЮ ЧЩФЕЛБЕФ, ЮФП ЙОФЕЗТБМ 
$\int_0^\infty\sin x^2\,dx$ УИПДЙФУС \tit{ХУМПЧОП}. 

3.  дПЛБЦЙФЕ, ЮФП УИПДЙФУС ЙОФЕЗТБМ $\int_0^\infty\cos x^2\,dx$; 

т Е Ы Е О Й Е\quad ПУФБЈФУС Ч ЛБЮЕУФЧЕ ХРТБЦОЕОЙС ДМС УБНПУФПСФЕМШОПК ТБВПФЩ.  

4. йУУМЕДПЧБФШ ОБ УИПДЙНПУФШ ЙОФЕЗТБМ 
$\int\limits_1^\infty\frac{\cos(x+\frac 1x)}x\,dx$.  

т Е Ы Е О Й Е.  йНЕЕН 
\begin{multline*}
\int^{\infty}_1\frac{\cos\big(x+\frac1x\big)}x\,dx = 
\int^{\infty}_1\frac{\cos x\cos\frac 1x-\sin x\sin\frac 1x}x\,dx =\\ 
\text{\parbox{7cm}{\footnotesize(ТБЧЕОУФЧП ЕУФШ, ФПМШЛП ЕУМЙ НЩ ДПЛБЦЕН, ЮФП\\ 
ЙОФЕЗТБМЩ ПФ ПФДЕМШОЩИ УМБЗБЕНЩИ УИПДСФУС!)}} \\ 
= \int^{\infty}_1\frac{\cos x\cos\frac 1x}x\,dx- 
\int^{\infty}_1\frac{\sin x\sin\frac 1x}x\,dx 
\end{multline*}
рП РТЙЪОБЛХ бВЕМС РПУМЕДОЙЕ ДЧБ ЙОФЕЗТБМБ ДЕКУФЧЙФЕМШОП УИПДСФУС.
оБРТЙНЕТ, РЕТЧЩК: 

1) $\int^{\infty}_1\frac{\cos x}x\,dx$ --- УИПДЙФУС (РП РТЙЪОБЛХ дЙТЙИМЕ);

2) $\cos\frac 1 x$ ЧПЪТБУФБЕФ ОБ РТПНЕЦХФЛЕ $[1;+\infty)$, 
$\big(\cos\frac 1x\big)'=\frac 1{x^2}\sin\frac 1x>0$; 

3) $\big|\cos\frac 1x\big|\leq 1 $ --- ПЗТБОЙЮЕООБС ЖХОЛГЙС.  

\subsection*{оЕУПВУФЧЕООЩЕ ЙОФЕЗТБМЩ ЧФПТПЗП ТПДБ} 

\teo{пРТЕДЕМЕОЙЕ.}  рХУФШ $f$ ПРТЕДЕМЕОБ ОБ РТПНЕЦХФЛЕ
$[a; b)$ Й ДМС МАВПЗП $\eps>0$ ЙОФЕЗТЙТХЕНБ РП тЙНБОХ ОБ $[a;b-\eps]$, ОП $f$
ОЕПЗТБОЙЮЕООБ ОБ МАВПН ЙОФЕТЧБМЕ $(b-\eps;b)$.  ч ЬФПН УМХЮБЕ ПДОЙН Й ФЕН
ЦЕ УЙНЧПМПН $\int^b_a f(x)\,dx$ ПВПЪОБЮБАФ ПДЙО ЙЪ ДЧХИ ПВЯЕЛФПЧ: 
\begin{itemize}
\item ЖХОЛГЙА $\eps\mapsto\int^{b-\eps}_a f(x)\,dx$ $(0<\eps<b-a)$; 
\item РТЕДЕМ ЬФПК ЖХОЛГЙЙ $\Lim_{\eps\to+0}\int^{b-\eps}_a f(x)\,dx$ 
(ЕУМЙ ПО УХЭЕУФЧХЕФ); 
\end{itemize}
Й ОБЪЩЧБАФ ОЕУПВУФЧЕООЩН ЙОФЕЗТБМПН (ЧФПТПЗП ТПДБ ПФ ЖХОЛГЙЙ $f$ 
РП РТПНЕЦХФЛХ $[a;b]$).  фПЮЛХ $b$ ОБЪЩЧБАФ \tit{ПУПВПК}
ФПЮЛПК ОЕУПВУФЧЕООПЗП ЙОФЕЗТБМБ.  

пФНЕФЙН, ЮФП ПВПЪОБЮЕОЙЕ ОЕУПВУФЧЕООПЗП ЙОФЕЗТБМБ ЧФПТПЗП ТПДБ ОЕ
ПФМЙЮБЕФУС ПФ ПВПЪОБЮЕОЙС ПВЩЮОПЗП (ЗПЧПТСФ, \tit{УПВУФЧЕООПЗП})
ЙОФЕЗТБМБ тЙНБОБ.  пВЩЮОП ОЕДПТБЪХНЕОЙК РТЙ ЬФПН ОЕ ЧПЪОЙЛБЕФ, ОП РТЙ
ПВОБТХЦЕОЙЙ, ЮФП РЕТЕД чБНЙ ОЕУПВУФЧЕООЩК ЙОФЕЗТБМ, Б ОЕ ПВЩЮОЩК ТЙНБОПЧ,
ТЕЛПНЕОДХЕФУС ЛБЛ-ОЙВХДШ ПФНЕФЙФШ ЬФПФ ЖБЛФ, ОБРТЙНЕТ, ХЛБЪБЧ ПУПВХА
ФПЮЛХ ФБЛ: $\int\limits^{\rightarrow b}_a f(x)\,dx$ (УФТЕМЛБ УМЕЧБ, ФБЛ ЛБЛ 
РТЕДЕМ ЧЩЮЙУМСЕФУС РТЙ УФТЕНМЕОЙЙ Л $b$ УМЕЧБ).

пУПВПК ФПЮЛПК ОЕУПВУФЧЕООПЗП ЙОФЕЗТБМБ ЧФПТПЗП ТПДБ ОЕ ПВСЪБФЕМШОП 
ДПМЦЕО ВЩФШ ЧЕТИОЙК РТЕДЕМ ЙОФЕЗТБМБ. бОБМПЗЙЮОП ПРТЕДЕМСЕФУС Й 
ОЕУПВУФЧЕООЩК ЙОФЕЗТБМ, Х ЛПФПТПЗП ПУПВПК ФПЮЛПК СЧМСЕФУС ОЙЦОЙК 
РТЕДЕМ ЙОФЕЗТЙТПЧБОЙС: 
\[
\int^b_{a\leftarrow} f(x)\,dx\bydef\begin{cases}
\eps\mapsto\int\limits_{a+\eps}^b f(x)\,dx,& 0<\eps<b-a, \text{ЙМЙ}\\
\Lim_{\eps\to+0}\int\limits_{a+\eps}^bf(x)\,dx&
\text{(ЕУМЙ УХЭЕУФЧХЕФ).}\end{cases}  
\]

\teo{пРТЕДЕМЕОЙЕ.}  зПЧПТСФ, ЮФП ЙОФЕЗТБМ 
$\int\limits_a^{\rightarrow b} f(x)\,dx$ \tit{УИПДЙФУС}, ЕУМЙ 
УХЭЕУФЧХЕФ ЛПОЕЮОЩК РТЕДЕМ $\Lim_{\eps\to+0}\int^{b-\eps}_a f(x)\,dx$.  

\teo{ъБДБЮЙ.}  1.  чЩЮЙУМЙФШ ЙОФЕЗТБМ $\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$.  

т Е Ы Е О Й Е.  рПДЩОФЕЗТБМШОБС ЖХОЛГЙС $\frac1{\sqrt{1-x^2}}$ 
ОЕПЗТБОЙЮЕООБ ОБ $[0; 1]$, РПЬФПНХ Ч ПВЩЮОПН (ТЙНБОПЧПН) УНЩУМЕ ПОБ 
ОЕ ЙОФЕЗТЙТХЕНБ.  ч УНЩУМЕ ЦЕ ОЕУПВУФЧЕООЩИ ЙОФЕЗТБМПЧ, ЙНЕЕН 
\[
\int^{\rightarrow 1}_0\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}{=}
\lim_{\eps\to+0}\int^{1-\eps}_0\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}{=}
\lim_{\eps\to+0} \arcsin x\Big|_0^{1-\eps}{=}
\lim_{\eps\to+0} \arcsin(1-\eps)=\tfrac{\pi}2. 
\]

2. йУУМЕДПЧБФШ ОБ УИПДЙНПУФШ ЙОФЕЗТБМ 
$\int\limits^{\rightarrow b}_a\frac{dx}{(b-x)^\alpha}$.  

т Е Ы Е О Й Е. 
\begin{multline*}
\int^{\rightarrow b}_a\frac{dx}{(b-x)^\alpha}=
\lim_{\eps\to+0}\int^{b-\eps}_a\frac{dx}{(b-x)^\alpha}=
\begin{cases}
\Lim_{\eps\to+0}\frac{(b-x)^{1-\alpha}}{(1-\alpha)}\Big|_a^{b-\eps},&
\alpha\ne 1\\ \Lim_{\eps\to+0} -\ln|b-x|\Big|^{b-\eps}_a,&\alpha=1
\end{cases}=\\
=\begin{cases}
 \Lim_{\eps\to+0}\big(\frac{\eps^{1-\alpha}}{1-\alpha}-
 \frac{(b-a)^{1-\alpha}}{1-\alpha}\big) &\\
\Lim_{\eps\to+0}\big(\ln|b-a|-\ln\eps\big)&\end{cases}
=\begin{cases}\frac{(b-a)^{\alpha-1}}{\alpha-1},&\alpha<1\\
\infty,&\alpha\geq 1\end{cases}
\end{multline*}
пФУАДБ УМЕДХЕФ, ЮФП ЙОФЕЗТБМ 
\[
\int^{\rightarrow b}_a\frac{dx}{(b-x)^{\alpha}}-\begin{cases}
\text{УИПДЙФУС РТЙ $\alpha< 1$}&\\ \text{ТБУИПДЙФУС РТЙ $\alpha\geq 1$}&
\end{cases}
\]
\tit{ъБРПНОЙН ЬФПФ ЖБЛФ}, ФБЛ ЛБЛ ПО ВХДЕФ ЙУРПМШЪПЧБО ОБНЙ ДМС РПМХЮЕОЙС Ч 
ДБМШОЕКЫЕН УМЕДУФЧЙС ЙЪ РТЙЪОБЛБ УТБЧОЕОЙС.  

оЕУПВУФЧЕООЩЕ ЙОФЕЗТБМЩ РЕТЧПЗП Й ЧФПТПЗП ТПДБ УЧСЪБОЩ НЕЦДХ
УПВПК:  ЧУСЛЙК ОЕУПВУФЧЕООЩК ЙОФЕЗТБМ ЧФПТПЗП ТПДБ ЪБНЕОПК РЕТЕНЕООПК
НПЦОП РТЕЧТБФЙФШ Ч ОЕУПВУФЧЕООЩК ЙОФЕЗТБМ РЕТЧПЗП ТПДБ Й ОБПВПТПФ 
\begin{multline*}
\int^{\rightarrow b}_a f(x)\,dx = \lim_{\eps\to+0}\int^{b-\eps}_a f(x)\,dx = 
\left[\substack{\text{ЪБНЕОБ}\\ t=\frac 1{b-x}\\ x=b-\frac 1t\\ 
dx=\frac{dt}{t^2}}\right]\\
=\lim_{\eps\to+0}\int^{\frac1{\eps}}_{\frac1{b-a}}f\Big(b-\frac 1t\Big)
\frac{dt}{t^2}=\int^{\infty}_{\frac1{b-a}}f\Big(b-\frac 1t\Big)\frac{dt}{t^2}.
\end{multline*}

\begin{multline*}
\int^{\infty}_a f(x)\,dx =\lim_{A\to\infty}\int^{A}_a f(x)\,dx =
\left[\substack{\text{ЪБНЕОБ}\\ t=\frac1x\\ x=\frac1t\\ 
dx=-\frac{dt}{t^2}}\right]\\=\lim_{A\to\infty}-\int^{\frac1A}_{\frac1a}
f\Big(\frac1t\Big)\frac1{t^2}\, dt =-\int^{0\leftarrow}_{\frac1a}
f\Big(\frac1t\Big)\frac1{t^2}\, dt =\int_{0\leftarrow}^{\frac1a} 
f\Big(\frac1t\Big)\frac1{t^2}\, dt 
\end{multline*}

оБ ЬФПН НПЦОП ВЩМП ВЩ Й РТЕЛТБФЙФШ ЙЪХЮЕОЙЕ УИПДЙНПУФЙ ОЕУПВУФЧЕООЩИ 
ЙОФЕЗТБМПЧ ЧФПТПЗП ТПДБ, УЛБЪБЧ, ЮФП, ЛБЛ РПЛБЪЩЧБАФ ЧЩЮЙУМЕОЙС ЧЩЫЕ,
ОЕУПВУФЧЕООЩК ЙОФЕЗТБМ ЧФПТПЗП ТПДБ УИПДЙФУС ФПЗДБ Й ФПМШЛП ФПЗДБ, ЛПЗДБ
УИПДЙФУС РПМХЮЕООЩК ЙЪ ОЕЗП ЪБНЕОПК ОЕУПВУФЧЕООЩК ЙОФЕЗТБМ РЕТЧПЗП ТПДБ.
фЕН ОЕ НЕОЕЕ ЮБУФП ХДПВОЕЕ РТПЙЪЧПДЙФШ ЙУУМЕДПЧБОЙЕ ОБ УИПДЙНПУФШ
(ПУПВЕООП ОБ БВУПМАФОХА) ОЕРПУТЕДУФЧЕООП ОЕУПВУФЧЕООЩЕ ЙОФЕЗТБМЩ
ЧФПТПЗП ТПДБ.  ч УЧСЪЙ У ЬФЙН НЩ УЖПТНХМЙТХЕН ОЕПВИПДЙНЩЕ ПРТЕДЕМЕОЙС Й
ФЕПТЕНЩ, ПУФБЧМСС ДПЛБЪБФЕМШУФЧБ ДМС УБНПУФПСФЕМШОПК ТБВПФЩ.  

\teo{пРТЕДЕМЕОЙЕ.} зПЧПТСФ, ЮФП ЙОФЕЗТБМ 
$\int\limits^{\rightarrow b}_a f(x)\,dx$ УИПДЙФУС БВУПМАФОП, 
ЕУМЙ УИПДЙФУС ЙОФЕЗТБМ $\int\limits^{\rightarrow b}_a |f(x)|\,dx$.  

рТЙ ЙУУМЕДПЧБОЙЙ ОБ БВУПМАФОХА УИПДЙНПУФШ
РПД ЪОБЛПН ЙОФЕЗТБМБ УФПЙФ РПМПЦЙФЕМШОБС ЖХОЛГЙС.  дМС ФБЛПЗП УМХЮБС
ЗМБЧОЩН РТЙЪОБЛПН СЧМСЕФУС (ЛБЛ Й ДМС ЙОФЕЗТБМПЧ РЕТЧПЗП ТПДБ) 

\teo{фЕПТЕНБ} (РТЙЪОБЛ УТБЧОЕОЙС).  \tit{рХУФШ $f,g\geq 0$ --- ДЧЕ ЖХОЛГЙЙ 
ПРТЕДЕМЈООЩЕ ОБ $[a; b)$ Й ДМС МАВПЗП $\eps>0$ ЙОФЕЗТЙТХЕНЩЕ РП тЙНБОХ ОБ 
$[a; b-\eps]$.  еУМЙ РТЙ ЬФПН $\forall x\in [a; b)$ ЙНЕЕН $f(x)\leq g(x)$, 
ФП}: 
\begin{itemize}
\item \tit{ЙЪ УИПДЙНПУФЙ ЙОФЕЗТБМБ 
$\int\limits^{\rightarrow b}_ag(x)\,dx$ 
УМЕДХЕФ УИПДЙНПУФШ ЙОФЕЗТБМБ} $\int\limits^{\rightarrow b}_a f(x)\,dx$; 
\item \tit{ЙЪ ТБУИПДЙНПУФЙ ЙОФЕЗТБМБ 
$\int\limits^{\rightarrow b}_a f(x)\,dx$
УМЕДХЕФ ТБУИПДЙНПУФШ ЙОФЕЗТБМБ} $\int\limits^{\rightarrow b}_ag(x)\,dx$.
\end{itemize}

йЪ ЬФПЗП РТЙЪОБЛБ ЧЩФЕЛБАФ ДЧБ УМЕДУФЧЙС (ЧРПМОЕ БОБМПЗЙЮОП ФПНХ,
ЛБЛ ЬФП ВЩМП У ОЕУПВУФЧЕООЩНЙ ЙОФЕЗТБМБНЙ РЕТЧПЗП ТПДБ).  

\teo{уМЕДУФЧЙЕ 1.} \tit{рХУФШ $f,g\geq 0$ --- ДЧЕ ЖХОЛГЙЙ ПРТЕДЕМЈООЩЕ 
ОБ $[a; b)$ Й ДМС МАВПЗП $\eps>0$ ЙОФЕЗТЙТХЕНЩЕ РП тЙНБОХ ОБ $[a; b-\eps]$.  
еУМЙ} 
\[
f(x)=O^*\big(g(x)\big)\quad\text{\tit{РТЙ} $x\to b-0$,} 
\]
\tit{ФП ЙОФЕЗТБМЩ 
$\int\limits^{\rightarrow b}_a f(x)\,dx$ Й 
$\int\limits^{\rightarrow b}_a g(x)\,dx$ УИПДСФУС ЙМЙ ТБУИПДСФУС
ПДОПЧТЕНЕООП}.  

\teo{уМЕДУФЧЙЕ 2.}  \tit{рХУФШ $f\geq 0$ --- ЖХОЛГЙС ПРТЕДЕМЈООБС ОБ $[a;b)$ 
Й ДМС МАВПЗП $\eps>0$ ЙОФЕЗТЙТХЕНБС РП тЙНБОХ ОБ $[a; b-\eps]$.  еУМЙ} 
\[
\lim_{x\to b-0} f(x)(b-x)^\alpha=C\ne\begin{cases}0&\\\infty&\end{cases} 
\]
\tit{ФП РТЙ $\alpha<1$ ЙОФЕЗТБМ 
$\int\limits^{\rightarrow b}_a f(x)\,dx$ --- УИПДЙФУС,
РТЙ $\alpha\geq 1$ --- ТБУИПДЙФУС}\footnote{еУМЙ ЧУРПНОЙФШ УППФЧЕФУФЧХАЭЙК 
РТЙЪОБЛ ДМС ОЕУПВУФЧЕООЩИ ЙОФЕЗТБМПЧ РЕТЧПЗП ТПДБ, ФП ФБН ОБПВПТПФ, 
РТЙ $\alpha>1$ --- УИПДЙФУС, РТЙ $\alpha\leq 1$ --- ТБУИПДЙФУС.} 


\teo{ъБДБЮЙ.} 1. йУУМЕДПЧБФШ ОБ УИПДЙНПУФШ ЙОФЕЗТБМ 
$\int\limits^1_{0\leftarrow}
\frac{\ln(1+\sqrt[3]{x^2})}{\sqrt x\sin\sqrt x}\,dx$.  

т Е Ы Е О Й Е.  рПДЩОФЕЗТБМШОБС
ЖХОЛГЙС ОЕПЗТБОЙЮЕООБ РТЙ $x{\to}+0$ Й РТЙ ЬФПН ЙНЕЕН
(НЩ ЙУРПМШЪХЕН УППФОПЫЕОЙС $\ln(1+t)\underset{t\to+0}{\sim} t$ Й 
$\sin t\underset{t\to0}{\sim} t$) 
\[
\frac{\ln(1+\sqrt[3]{x^2})}{\sqrt x\sin\sqrt x}\underset{x\to+0}{\sim}
\frac{\sqrt[3]{x^2}}x=\frac 1{x^\frac 13}, 
\]
РПЬФПНХ ЙОФЕЗТБМ УИПДЙФУС РП УМЕДУФЧЙА 2 ЙЪ РТЙЪОБЛБ УТБЧОЕОЙС.  


\subsection*{оЕУПВУФЧЕООЩЕ ЙОФЕЗТБМЩ УНЕЫБООПЗП ФЙРБ}

ч РТЙМПЦЕОЙСИ ЮБУФП ЧУФТЕЮБАФУС ОЕУПВУФЧЕООЩЕ ЙОФЕЗТБМЩ,
ЙНЕАЭЙЕ ВПМЕЕ ПДОПК ПУПВПК ФПЮЛЙ Й ЙОФЕЗТБМЩ ПФ ОЕПЗТБОЙЮЕООЩИ
ЖХОЛГЙК РП ОЕПЗТБОЙЮЕООПНХ ЙОФЕТЧБМХ. оБРТЙНЕТ, ТБУУНПФТЙН ФБЛЙЕ ЙОФЕЗТБМЩ
\[
1.\quad\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x(1-x)}},\qquad
2.\quad\int_0^\infty\frac{\cos x}{\sqrt x}\, dx,\qquad
3.\quad\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{1+x^2}
\]
х РЕТЧПЗП ЙЪ ОЙИ РПДЩОФЕЗТБМШОБС ЖХОЛГЙС ОЕПЗТБОЙЮЕООБ
РТЙ $x$ УФТЕНСЭЕНУС Л $+0$ Й Л $1-0$. ф.~Е. ЬФПФ ЙОФЕЗТБМ
ЙНЕЕФ ДЧЕ ПУПВЩЕ ФПЮЛЙ. \tit{рП ПРТЕДЕМЕОЙА} УЮЙФБАФ, ЮФП
ЬФПФ ЙОФЕЗТБМ СЧМСЕФУС УХННПК ДЧХИ ОЕУПВУФЧЕООЩИ ЙОФЕЗТБМПЧ ЧФПТПЗП ТПДБ:
\[
\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x(1-x)}}\bydef\int_{0\leftarrow}^{\frac12}
\frac{dx}{\sqrt{x(1-x)}}+\int_{\frac12}^{\rightarrow1}
\frac{dx}{\sqrt{x(1-x)}}.
\]
й \tit{РП ПРТЕДЕМЕОЙА} ЙУИПДОЩК ЙОФЕЗТБМ УЮЙФБАФ УИПДСЭЙНУС, 
ЛПЗДБ УИПДСФУС \tit{ПВБ} ЙОФЕЗТБМБ (ЧФПТПЗП ТПДБ), 
ОБ ЛПФПТЩЕ НЩ ЕЗП ТБЪВЙМЙ. еУМЙ ИПФС ВЩ ПДЙО ЙЪ ОЙИ ТБУИПДЙФУС, 
РП ПРТЕДЕМЕОЙА УЮЙФБАФ ТБУИПДСЭЙНУС Й ЙУИПДОЩК ЙОФЕЗТБМ.

\teo{ъБДБЮБ.} 1. дПЛБЦЙФЕ, ЮФП ЙОФЕЗТБМ РТЙНЕТБ 1 УИПДЙФУС.

2. дПЛБЦЙФЕ, ЮФП ДМС МАВПЗП $0<a<1$
\[
\int_{0\leftarrow}^{\frac12}\frac{dx}{\sqrt{x(1-x)}}+
\int_{\frac12}^{\rightarrow1}\frac{dx}{\sqrt{x(1-x)}}=
\int_{0\leftarrow}^{a}\frac{dx}{\sqrt{x(1-x)}}+
\int_{a}^{\rightarrow1}\frac{dx}{\sqrt{x(1-x)}}.
\]
\medskip

ч РТЙНЕТЕ 2 ЙОФЕЗТБМ ВЕТЕФУС РП ОЕПЗТБОЙЮЕООПНХ РТПНЕЦХФЛХ, РТЙЮЈН
РПДЩОФЕЗТБМШОБС ЖХОЛГЙС ОЕПЗТБОЙЮЕООБ РТЙ $x\to+0$. рПЬФПНХ
\tit{РП ПРТЕДЕМЕОЙА} РПМБЗБАФ
\[
\int_0^\infty\frac{\cos x}{\sqrt x}\, dx\bydef
\int_{0\leftarrow}^a\frac{\cos x}{\sqrt x}\, dx+
\int_a^\infty\frac{\cos x}{\sqrt x}\, dx,
\]
ЗДЕ $a$ --- МАВПЕ ЮЙУМП УФТПЗП ВПМШЫЕ $0$. йОФЕЗТБМ ОБЪЩЧБАФ
УИПДСЭЙНУС, ЕУМЙ УИПДСФУС ПВБ ЙОФЕЗТБМБ (ПДЙО ЧФПТПЗП ТПДБ, ДТХЗПК
РЕТЧПЗП), ОБ ЛПФПТЩЕ НЩ ЕЗП ТБЪВЙМЙ.
\medskip

оБЛПОЕГ, ФТЕФЙК ЙОФЕЗТБМ ВЕТЈФУС РП РТПНЕЦХФЛХ, ОЕПЗТБОЙЮЕООПНХ
Ч ПВЕ УФПТПОЩ. \tit{рП ПРТЕДЕМЕОЙА} Й Ч ЬФПН УМХЮБЕ РПМБЗБАФ
\[
\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{1+x^2}\bydef
\int_{-\infty}^a\frac{dx}{1+x^2}
+\int_a^{+\infty}\frac{dx}{1+x^2},
\]
ЗДЕ $a\in\R$ МАВПЕ.

\teo{ъБДБЮБ.} рПЛБЦЙФЕ, ЮФП ЙОФЕЗТБМЩ РТЙНЕТПЧ 2 Й 3 УИПДСФУС Й
ЙИ ЪОБЮЕОЙЕ ОЕ ЪБЧЙУЙФ ПФ ЧЩВПТБ ФПЮЛЙ $a$.

ч ПВЭЕН УМХЮБЕ, РТЙ ЙУУМЕДПЧБОЙЙ ЙОФЕЗТБМБ
$\int_a^bf(x)\, dx$, Х ЛПФПТПЗП РПДЩОФЕЗТБМШОБС ЖХОЛГЙС ОЕПЗТБОЙЮЕООБ
Й/ЙМЙ $a=-\infty$ Й/ЙМЙ $b=+\infty$, РПУФХРБАФ УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН.
оБИПДСФ ЧУЕ ПУПВЩЕ ФПЮЛЙ: $a\leq c_1<c_2<\dots<c_n\leq b$ Й ТБЪВЙЧБАФ
ЙУИПДОЩК ЙОФЕЗТБМ ОБ УХННХ ЙОФЕЗТБМПЧ РЕТЧПЗП ЙМЙ ЧФПТПЗП ТПДБ
(Ф.~Е. ФБЛ, ЮФПВЩ ЛБЦДЩК ЙНЕМ РП ПДОПК ПУПВПК ФПЮЛЕ $c_k$). йУИПДОЩК
ЙОФЕЗТБМ РП ПРТЕДЕМЕОЙА УЮЙФБЕФУС УИПДСЭЙНУС, ЕУМЙ УИПДЙФУС
\tit{ЛБЦДЩК} ЙЪ ЙОФЕЗТБМПЧ ЬФПК УХННЩ Й ТБУИПДСЭЙНУС, ЕУМЙ
ТБУИПДЙФУС \tit{ИПФС ВЩ ПДЙО} ЙЪ ОЙИ.



\teo{ъБДБЮБ}.  йУУМЕДПЧБФШ ОБ УИПДЙНПУФШ ЙОФЕЗТБМ 
$\int_0^\infty\frac{\cos\big(x+\frac 1x\big)}{x^p}\,dx$.  

т Е Ы Е О Й Е.  рПДЩОФЕЗТБМШОБС ЖХОЛГЙС ОЕПЗТБОЙЮЕООБ РТЙ $x\to+0$, 
РПЬФПНХ ТБЪВЙЧБЕН ЙОФЕЗТБМ ОБ ДЧБ:
\[
\int^{\infty}_0\frac{\cos\big(x+\frac1x\big)}{x^p}\,dx = 
\int^1_{0\leftarrow}\frac{\cos\big(x+\frac1x\big)}{x^p}\,dx+ 
\int^{\infty}_1\frac{\cos\big(x+\frac1x\big)}{x^p}\,dx. 
\]
уДЕМБЕН Ч РЕТЧПН ЙЪ ЙОФЕЗТБМПЧ ЪБНЕОХ $x=\frac1t$, $dx=-\frac{dt}{t^2}$, 
\[
\int^1_{0\leftarrow}\frac{\cos\big(x+\frac1x\big)}{x^p}\,dx = 
\int^1_{+\infty}-\frac{\cos\big(\frac 1t+t)}{t^{-p}}\frac{dt}{t^2}=
\int^{+\infty}_1\frac{\cos\big(t+\frac1t\big)}{t^{2-p}}\,dx.
\]
тБУУНПФТЙН ФЕРЕТШ ЙОФЕЗТБМ 
\[ 
\int^{\infty}_1\frac{\cos\big(x+\frac1x\big)}{x^\alpha}\,dx= 
\int^{\infty}_1\frac{\cos x\cos\frac 1x}{x^\alpha}\,dx- 
\int^{\infty}_1\frac{\sin x\sin\frac 1x}{x^\alpha}\,dx.
\]
лБЦДЩК ЙЪ РПУМЕДОЙИ ДЧХИ ЙОФЕЗТБМПЧ УИПДЙФУС РТЙ $\alpha>0$ РП РТЙЪОБЛХ бВЕМС
(УН.  РТЙНЕТ~3 ОБ У.~ 4). рПЬФПНХ ЙУИПДОЩК ЙОФЕЗТБМ УИПДЙФУС РТЙ $p>0$ Й 
$2-p>0$, ФП ЕУФШ $0<p<2$.  

\teo{ъБДБЮЙ} (ОБ ДПРПМОЙФЕМШОЩЕ ВБММЩ ЪБ ЛПММПЛЧЙХН).

1) рТЙ  ЪОБЮЕОЙСИ $p\notin(0;2)$ ЙОФЕЗТБМ 
$\int_0^\infty\frac{\cos\big(x+\frac1x\big)}{x^p}\,dx$ ТБУИПДЙФУС.  

2) уИПДЙНПУФШ ЕЗП РТЙ $p\in(0;2)$ ХУМПЧОБС, Ф.~Е. ЙОФЕЗТБМ ПФ НПДХМС
РПДЩОФЕЗТБМШОПК ЖХОЛГЙЙ ТБУИПДЙФУС.

3) дПЛБЦЙФЕ, ЮФП ПДЙО ЙЪ ОБРЙУБООЩИ ЙОФЕЗТБМПЧ УИПДЙФУС, Б ДТХЗПК
ТБУИПДЙФУС
\[
\int_1^{\infty}\frac{\sin x}{\sqrt x+\sin x}\,dx,\qquad
\int_1^{\infty}\frac{\cos x}{\sqrt x+\sin x}\,dx.
\]
\end{document}