Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

lec_2sem / lec10 / lec10-2

.pdf
Скачиваний:
8
Добавлен:
25.04.2015
Размер:
147.51 Кб
Скачать

 

яоцениваетс

 

àê:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n¸1

 

qpqквадратныхв

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n¸1

 

 

 

 

p

 

q

 

 

 

p

 

 

 

 

q

 

pсуммаНо

qя:pвычисляетсо¤легк¤ахqскобк

f

xk

 

f

xn 1

.

m

 

f xk 1

 

f xk

f pxn 1

 

S1 M

 

 

 

 

f xk 1

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n¸1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f pxk 1q f pxk q

 

 

f pxn 1q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

f px0q f px1q

 

 

f px1q f px2q

 

 

 

f px2q f px3q . . .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p неравенства получаем Поэтому

q

f pxn 1q

 

f

p

xn 1

q

f px0

q

f

p

q

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f xn 2

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

Что и требовалось доказатьmf paq ¤ S1 ¤ M f paq.

 

 

 

 

 

 

 

 

»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т о м (вторая ормула.

. ý) Áîíí

Пусть

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g P

Rra; bs,

ункция а

 

fсуществуевоз ас

 

аеттакоеначисотрезкело ra; bs

è äëÿ âñåõ x

P ra; bs

f pxq ¥ 0.

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

»

 

 

ξ

P ra; bs, ÷òî

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

записи:краткойВ

f pxqgpxq dx f pbq

 

 

 

 

gpxq dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ξ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

»

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

gпервойP ДRra;теоремыкbs^à çf аТубываетraБоннэл; bs^üfàòü,.ñ¥Äëÿ0вчтосэтого.DМыξ P rобознадокa; bsажчимемэту: f pчерезxqgтеоремуpxq dx êàêf pbqследствgpxq dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ξ

 

 

 

 

 

 

 

Очевидно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F pxq f pbq f pxq.

 

общности можноF

счинтегралаункциюF pxq ¥

0.

ограничениябезчтоещ¼,Отметим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

»

 

 

 

 

 

 

 

»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f paq

0,

 

 

случае какочевидно,пртивном ак

 

переоп мы,

еделив

 

 

 

 

 

 

 

 

дногоБоннэ исх теорему значения первую

ункциямвсохранимднойточке¼f монотонностье,

меним .неПрииз

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

g:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ξ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

»Èëè,

в более подробнойξ P ra; bs :

записи,F pxqgpxq dx

 

F paq

 

gpxq dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

hkkik0kj

 

 

 

 

ξ

 

 

 

 

 

 

 

ξ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f pbq f pxq

gpxq dx

 

 

f pbq

f paq

 

 

 

 

 

gpxq dx

f pbq

 

 

gpxq dx.

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

?

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

З ч . Оценить сверхурассмотримснизуинтеграл π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

?

 

екритическихпромежуткн.Положим ш мает

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

³2

 

 

100 2

x dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

òü

 

 

0; π

 

 

f px

 

 

100 2

 

3 sin3 x cos x

, gpxq x. Чтобы оце-

 

 

 

 

таких точек только две: x

0, x

π . Ïодставëÿÿ,

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

íëå¼è произвоp ксимумf на днойминимум(максиматочк.Дляах0;ëьное, этогоилиминимальноенавычислимконцахункциюинтервала):критическиезначениеsin x cosункцияточкиx. Найд¼мприну

sin3 x cos xq1

 

 

 

 

2

?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 sin2 x cos2 x

sin4 x

sin2 xp3 cos2 x sin2 xq 0

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Íà ïðîsinежуткx å0,

3 cos

x

sin

 

 

 

0

 

 

 

sin x 0,

tg x

3.

 

 

x

 

 

 

получим

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

?

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¤

3

3

 

 

ñ

 

0

¤ 2

 

 

x cos x

¤ 9

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учитывая0ýòó¤ sinоценку,x cos xíàõîäèì

 

 

 

 

3 sin

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

¤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

¤

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ìåтеорейпервопоТеперь,

среднемо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

100

 

9

 

100

 

2

 

 

3 sin3 x cos x

 

100

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

»

π

 

 

 

»

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x dx

 

 

 

 

 

¤

 

1

 

» π

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

Èëè (ñ ó÷¼òîì òîãî,x dx÷ò

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

100

9

0

 

 

 

0

 

 

100

 

 

2

 

 

3 sin3 x cos x

 

100

0

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

x dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π2

»¤

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

мян.получиласьсреднемсремататеоявляетсмымрееоразательствальóтрезтеодокорйв)тргя.òî(непросемой,ВтортегралаКакСледующаявидимв

 

частнымисооченьдержитслучаемточнаявсе

беоцеобглавнуюазнатакчениячастьназываине¼нкщей,. --

 

 

 

809

 

0

100

 

2

 

 

3 sin3 x cos x

 

800

 

 

 

 

 

 

 

 

10кцияЛ

 

мтеоремыноторыесрнек

часточень

â

мизучимортмыярЗдесьП

полученужмынихизую

 

 

 

ä

мулыопогрешностиоценкия

ÿ

 

дляенияхжприло

 

 

 

ичногораз

 

.аловинтегоценокдаî

Ïåð

 

добавлениивовмоугольник

ê

8.лекции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

»

 

 

 

 

 

 

всехТ ор м (перваяприменялитеорема о среднем) Пусть f, g применяемыеP Rra; bs ïðè

ствуетx Pтакоеra; bs g÷èñpxqëî¥

0. Åñ

 

 

M

rsup f pаведливаxq m rinf f pxq, то суще-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a;bs

 

 

 

 

a;bs

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

»µ P rm; M s,

спрчто

 

 

ормула

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

справедливыемойДкзиманунеравенствалограниченаьстf pxâqgp.xÏîñêq dx îëüµ

ó gpункцияxq dx.

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

ðó

ïî

»

,

 

 

»

 

êотрезна

 

f , будучи интегри-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a; bs, то m и M конечны и

нуНеравенстваункциюсохранятся, еслиm

их¤ fумноpxq ¤житьM. на положительную величи-

 

 

gpxq:

³

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда, в силу свойстваmgpмонотонностиxq ¤ f pxqgpxq интеграла,¤ M gpxq.

получим

 

 

 

 

 

 

b

 

 

³

b

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

gpxq dx ¤

 

 

f pxqgpxq dx

¤ M

 

gpxq dx.

 

 

 

 

 

a

 

 

a

 

 

 

 

a

 

 

 

 

³b

³

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

³b

 

 

 

µ

 

 

b

 

-условемоетребуместоимееточевидно,то,,

è

gpxq dx 0, òî, êàê следует из этих неравенств, f pxqgpxq dx 0

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

µЕслиможно³ взять любым из ra; bs.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ñòва:и интеграла,gpxdxна этутовеличину0 gpxq dxмо¡жновпосилуделитьсвойстваполученныеположительнонеравен0

-

 

a

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

взятьЕсли

 

 

 

m ¤

 

ab

³f pxqgpxq dx

¤ M.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ab gpxq dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

³f pxqgpxq dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вии теоремы равенствоgpxq .dxТеорема доказана

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

отсюдаВыражая

³

b

»

 

 

 

 

»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

»

 

 

 

 

 

 

 

»

 

 

 

 

 

 

 

 

»

 

 

 

 

a f pxqgpxq dx,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

одимнах

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

ξ

gpxq dx

f pbq

 

b

 

 

Что и требовалосьf pxqgpxq dx äîêf pазатьbq

 

gpxq dx

 

 

 

gpxq dx.

a

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ξ

 

 

Т ор м (вторая теорема.

.среднем)о

Пусть

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

Rra; bs

 

f

rнамонотонна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g

è

 

»

 

a; bs. Тогда

 

 

 

 

 

 

 

»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ξ

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ствиеОчевидно,ункцияДпервойазубываеттеоремыf pxgxqубываетсdxБоннэf..pМыПредполоaq äîêgpxàæq dxемжимэтудляf pbтеоремуq определ¼нности,gpxqòîædx. как следчто-

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

ξ

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

»

 

 

 

F pxq f pxq f pbq.

 

 

 

 

íà ra; bs. Тогда обозначим через

 

менить первуюF pxq ¥îðìó0»и лу Боннэ:.Поэтому к ункциям F

 

g можно при

 

 

 

 

 

b

»

 

 

 

 

 

 

 

»

 

 

 

 

 

 

»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ξ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Или, более »подробно, F pxqgpxq dx

F paq

 

 

gpxq dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

»

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

»

 

 

 

 

ξ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выраж» ая из этогоf pxqравенстваf pbq gpxнужныйq dx fинтеграл,paq f pbq находимgpxq dx.

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

ξ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

ξ

 

 

 

f pxqgpxq dx

f paq

 

 

gpxq dx f pbq

 

 

 

gpxq dx

 

 

 

gpxq dx

 

a

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ξ

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ничмтребовалосьЧтоЗ

äîêf pазатьaq

gpxq dx f pbq

 

 

gpxq dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

ξ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ункция

 

 

 

.

В случае, к.огда в дополнение к дную,словиям теоремы

рывна,1В случдокf ,азательствоимеетко интегрирувторойемуютеоремыпоиманусреднемпроизвоможно существенноаg непре-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

ятьонт,стро

F pxq f pbq f pxq.

 

 

 

 

 

Соседние файлы в папке lec10