lec_2sem / lec21 / lec21

\documentclass{article}
\usepackage{$HOME/sty/lec}
\usepackage{fancybox}
%\usepackage{pifont}

%\newcommand{\vic}{{\Large\ding{44}}.\medskip}

\begin{document}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\tsc{а.б.~лМЕЧЮЙИЙО}}\\[.5cm]
\rule{9cm}{.3pt}\\[-9pt]
\rule{9cm}{.3pt}

\vskip 1cm

%{\LARGE\tbf{}}\\[2mm]
{\LARGE\tbf{нБФЕНБФЙЮЕУЛЙК БОБМЙЪ Ч $\R^N$}}\\[5mm]
{\Large\ttt{МЕЛГЙС 21 (19.04.2005)}}\\[5mm]
{\Large\ttt{оЕРТЕТЩЧОЩЕ ЖХОЛГЙЙ $N$ РЕТЕНЕООЩИ}}\\

\vfil
 
\ovalbox{\hskip-2pt\rule[-10pt]{0pt}{28pt}\Large$\frac{\D f}{\D x^k}$\hskip-3pt}
\vfil

\large ч М Б Д Й Ч П У Ф П Л\\
2005
\end{center}
\pagebreak

\pagestyle{headings}
\markboth{\hrulefill
лМЕЧЮЙИЙО а.б
}{ \hrulefill}



\section*{мЕЛГЙС 21} 

\subsection*{оЕРТЕТЩЧОЩЕ ЖХОЛГЙЙ.  мПЛБМШОЩЕ УЧПКУФЧБ}

\teo{пРТЕДЕМЕОЙЕ.}
рХУФШ $D$ --- ПВМБУФШ Ч $\R^N$ Й $f: D\to\R$.  зПЧПТСФ, ЮФП $f$ 
\tit{ОЕРТЕТЩЧОБ Ч ФПЮЛЕ} $x_0\in D$, ЛПЗДБ 
\[
\lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0).
\]
вПМЕЕ РПДТПВОП, Ч ФЕТНЙОБИ ОЕТБЧЕОУФЧ ЬФП ПЪОБЮБЕФ, ЮФП 
\[
\forall\eps>0\ \exists\delta>0\ \forall x: \|x-x_0\|<\delta \Rightarrow 
|f(x)-f(x_0)|<\eps. 
\]

зПЧПТСФ, ЮФП ЖХОЛГЙС $f$ \tit{ОЕРТЕТЩЧОБ ОБ НОПЦЕУФЧЕ} $K\subset D$,
ЕУМЙ ПОБ ОЕРТЕТЩЧОБ Ч ЛБЦДПК ФПЮЛЕ НОПЦЕУФЧБ $K$.  нОПЦЕУФЧП ЖХОЛГЙК
ОЕРТЕТЩЧОЩИ ОБ $K$ ПВПЪОБЮБАФ $C(K)$.\medskip  

чБЦОЩН РТЙНЕТПН ОЕРТЕТЩЧОПК ЖХОЛГЙЙ
СЧМСЕФУС ОПТНБ (ФП ЕУФШ ЖХОЛГЙС $f(x)=\|x\|$).  еЈ ОЕРТЕТЩЧОПУФШ УМЕДХЕФ
ЙЪ ПВТБФОПЗП ОЕТБЧЕОУФЧБ ФТЕХЗПМШОЙЛБ: ДМС МАВПЗП $\eps>0$ ЧЩВЙТБЕН 
$\delta=\eps$, ФПЗДБ 
\[
\big|\overbrace{\|x\|}^{f(x)}-\overbrace{\|x_0\|}^{f(x_0)}\big|\leq
\|x-x_0\|<\delta = \eps.
\]

оЕРТЕТЩЧОЩЕ ЖХОЛГЙЙ ПВМБДБАФ УМЕДХАЭЙНЙ УЧПКУФЧБНЙ (ЧЩФЕЛБАЭЙНЙ ЙЪ
УППФЧЕФУФЧХАЭЙИ УЧПКУФЧ РТЕДЕМПЧ): 
\begin{itemize}
\item уХННБ ДЧХИ ЖХОЛГЙК ОЕРТЕТЩЧОЩИ Ч ФПЮЛЕ $x_0$, ЕУФШ ЖХОЛГЙС
ОЕРТЕТЩЧОБС Ч ФПЮЛЕ $x_0$.
\item рТПЙЪЧЕДЕОЙЕ ДЧХИ ЖХОЛГЙК ОЕРТЕТЩЧОЩИ Ч ФПЮЛЕ $x_0$, ЕУФШ ЖХОЛГЙС
ОЕРТЕТЩЧОБС Ч ФПЮЛЕ $x_0$.
\item юБУФОПЕ ДЧХИ ЖХОЛГЙК ОЕРТЕТЩЧОЩИ Ч ФПЮЛЕ $x_0$, ЕУФШ ЖХОЛГЙС
ОЕРТЕТЩЧОБС Ч ФПЮЛЕ $x_0$ РТЙ ХУМПЧЙЙ, ЮФП ЪОБНЕОБФЕМШ Ч ФПЮЛЕ $x_0$
ОЕ ТБЧЕО ОХМА.
\end{itemize}

\teo{уМЕДУФЧЙЕ.}  \tit{нОПЦЕУФЧП $C(K)$ ЧУЕИ ОЕРТЕТЩЧОЩИ ЖХОЛГЙК
ОБ $K$ СЧМСЕФУС БМЗЕВТПК.}  

\teo{фЕПТЕНБ.}  \tit{еУМЙ ЖХОЛГЙС $f$ ОЕРТЕТЩЧОБ Ч ФПЮЛЕ $x_0$ Й
$f(x_0)>0$ \tup(УФТПЗП ВПМШЫЕ\tup), ФП УХЭЕУФЧХЕФ ПЛТЕУФОПУФШ $U_\delta(x_0)$,
Ч ЛБЦДПК ФПЮЛЕ ЛПФПТПК} $f(x)>0$.

д П Л Б Ъ Б Ф Е М Ш У Ф Ч П.
уМЕДХЕФ ОЕРПУТЕДУФЧЕООП ЙЪ ПРТЕДЕМЕОЙС.  рПМПЦЙЧ $\eps=\frac{f(x_0)}2>0$ 
ОБКДЈН ФБЛПЕ $\delta>0$, ЮФП ДМС ЧУЕИ $x\in U_\delta(x_0)$ ВХДЕФ ЧЩРПМОСФШУС 
ОЕТБЧЕОУФЧП  $|f(x)-f(x_0)|<\eps=\frac{f(x_0)}2$ ЙМЙ 
\[
-\tfrac{f(x_0)}2<f(x)-f(x_0)<\tfrac{f(x_0)}2\quad\Rightarrow\quad
\tfrac{f(x_0)}2<f(x)<\tfrac{3f(x_0)}2.
\]
йЪ МЕЧПЗП ОЕТБЧЕОУФЧБ УМЕДХЕФ ФТЕВХЕНПЕ.


фЕПТЕНБ ДПЛБЪБОБ \vic  

\teo{уМЕДУФЧЙЕ.}  \tit{еУМЙ $f$ Й $g$ --- ДЧЕ ЖХОЛГЙЙ ОЕРТЕТЩЧОЩЕ
Ч ФПЮЛЕ $x_0$ Й $f(x_0)>g(x_0)$ \tup(УФТПЗП ВПМШЫЕ Ч ПДОПК! ФПЮЛЕ\tup), ФП
УХЭЕУФЧХЕФ ПЛТЕУФОПУФШ $U_\delta(x_0)$, Ч ЛБЦДПК ФПЮЛЕ ЛПФПТПК} $f(x)>g(x)$.

д П Л Б Ъ Б Ф Е М Ш У Ф Ч П.  дПУФБФПЮОП РТЙНЕОЙФШ РТЕДЩДХЭХА ФЕПТЕНХ
Л ТБЪОПУФЙ $F(x)=f(x)-g(x)$ \vic  

\teo{фЕПТЕНБ} (П ОЕРТЕТЩЧОПУФЙ ЛПНРПЪЙГЙЙ).
\tit{рХУФШ $D\subset\R^N$ --- ПВМБУФШ, $x_0\in D$ Й ЖХОЛГЙС $f:D\to\R$ 
ОЕРТЕТЩЧОБ Ч ФПЮЛЕ $x_0$.  рХУФШ, ЛТПНЕ ФПЗП, ЖХОЛГЙЙ 
$x^k=x^k(t)=x^k(t^1,\dots,t^M )$, $k = 1,\dots, N$, 
ОЕРТЕТЩЧОЩ Ч ФПЮЛЕ $t_0=(t^1_0,\dots,t^M_0)$, РТЙЮЈН 
$x(t_0)= x_0$ \tup(ФП ЕУФШ \linebreak
$\forall k$~$x^k(t^1_0,\dots,t^M_0)=x^k_0)$.  
фПЗДБ ЖХОЛГЙС} 
\[
F(t)=F(t^1,\dots,t^M)=f\big(x^1(t^1,\dots,t^M),\dots, x^N(t^1,\dots,t^M)\big)
\]
\tit{ОЕРТЕТЩЧОБ Ч ФПЮЛЕ $t_0$}.

д П Л Б Ъ Б Ф Е М Ш У Ф Ч П.  оБДП ДПЛБЪБФШ, ЮФП 
$\Lim_{t\to t_0} F(t) = F(t_0)=f(x_0)$.  дМС ЬФПЗП РП РТПЙЪЧПМШОПНХ $\eps>0$ 
ОБКДЈН ФБЛПЕ $\sigma>0$, ЮФПВЩ РТЙ ЧУЕИ $x$ ФБЛЙИ, ЮФП $\|x-x_0\|<\sigma$, 
ЧЩРПМОСМПУШ ОЕТБЧЕОУФЧП $|f(x)-f(x_0)|<\eps$.  дБМЕЕ, ДМС ОБКДЕООПЗП 
$\sigma>0$ Ч УЙМХ ОЕРТЕТЩЧОПУФЙ  ЧУЕИ ЖХОЛГЙК $x^k(t)$ ОБКДЈН ФБЛПЕ 
$\delta > 0$, ЮФПВЩ РТЙ ЧУЕИ $t$, ХДПЧМЕФЧПТСАЭЙИ ОЕТБЧЕОУФЧХ 
$\|t-t_0\|<\delta$, Й МАВЩИ $k=1,\dots,N$, ЧЩРПМОСМПУШ ОЕТБЧЕОУФЧП \linebreak
$|x^k(t)-x^k(t_0)|=|x^k(t)-x^k_0|<\frac{\sigma}{\sqrt N}$.  оП ФПЗДБ 
\[
\|x(t)-x_0\|=\Bigg[\sum_{k=1}^N \big(x^k(t)-x^k_0\big)^2\Big]^{\frac12}<
\Bigg[\sum_{k=1}^N\Big(\tfrac{\sigma}{\sqrt N}\Big)^2\Bigg]^{\frac12}=\sigma, 
\]
РПЬФПНХ 
\[
\big|F(t)-F(t_0)\big|=\big|f\big(x(t)\big)-f(x_0)\big|<\eps. 
\]
юФП Й ФТЕВПЧБМПУШ ДПЛБЪБФШ.


\subsection*{зМПВБМШОЩЕ УЧПКУФЧБ ОЕРТЕТЩЧОЩИ ЖХОЛГЙК} 


дМС ОЕРТЕТЩЧОЩИ ЖХОЛГЙК НОПЗЙИ РЕТЕНЕООЩИ УРТБЧЕДМЙЧЩ УППФЧЕФУФЧХАЭЙЕ 
БОБМПЗЙ ФЕПТЕН чЕКЕТЫФТБУУБ Й лПЫЙ ДМС ЖХОЛГЙК ПДОПК РЕТЕНЕООПК.  

\teo{фЕПТЕНБ} (РЕТЧБС ФЕПТЕНБ чЕКЕТЫФТБУУБ). \tit{еУМЙ ЖХОЛГЙС $f$
ОЕРТЕТЩЧОБ ОБ ЛПНРБЛФОПН НОПЦЕУФЧЕ $K$, ФП ПОБ ПЗТБОЙЮЕОБ ОБ ОЈН.}
\[
K\Subset\R^N \land f\in C(K) \Rightarrow \exists M : \forall x\in K\quad 
\big|f(x)\big|\leq M. 
\]

д П Л Б Ъ Б Ф Е М Ш У Ф Ч П.  еУМЙ РТЕДРПМПЦЙФШ, ЮФП ЖХОЛГЙС $f$ 
ОЕПЗТБОЙЮЕООБ, ФП НПЦОП РПУФТПЙФШ УМЕДХАЭХА РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФШ: ОБКФЙ Ч $K$
ФПЮЛХ $x_1$, Ч ЛПФПТПК $f(x_1)>1$; ФПЮЛХ $x_2$, Ч ЛПФПТПК $f(x_2)>2$;
Й ФБЛ ДБМЕЕ\dots ФПЮЛХ $x_n$, Ч ЛПФПТПК $f(x_n)>n,\dots $.  ч УЙМХ
ЛПНРБЛФОПУФЙ $K$ ЙЪ РПМХЮЕООПК РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФЙ $(x_n)$ НПЦОП ЙЪЧМЕЮШ
РПДРПУМЕДПЧБФЕМШОПУФШ, УЛБЦЕН, $(x_{n_k})$, УИПДСЭХАУС Л ЬМЕНЕОФХ $x_0\in K$.
оП ФПЗДБ, У ПДОПК УФПТПОЩ, $f(x_{n_k})>n_k\xrightarrow[k\to\infty]{}\infty$, 
Б У ДТХЗПК, Ч УЙМХ ОЕРТЕТЩЧОПУФЙ 
$f(x_{n_k})\xrightarrow[k\to\infty]{}f(x_0)$?!  рТПФЙЧПТЕЮЙЕ ДПЛБЪЩЧБЕФ,
ЮФП РТЕДРПМПЦЕОЙЕ ВЩМП ОЕЧЕТОП.  

фЕПТЕНБ ДПЛБЪБОБ \vic  

\teo{фЕПТЕНБ} (ЧФПТБС ФЕПТЕНБ чЕКЕТЫФТБУУБ). 
\tit{еУМЙ ЖХОЛГЙС $f$ ОЕРТЕТЩЧОБ ОБ ЛПНРБЛФОПН НОПЦЕУФЧЕ $K$,
ФП ПОБ ДПУФЙЗБЕФ УЧПЙИ ФПЮОЩИ ЧЕТИОЕК Й ОЙЦОЕК ЗТБОЕК, Ф.Е.}  
\[
\exists\overline x\in K :
f\big(\overline x\big) = \sup_{x\in K}f(x)\qquad \exists\underline x\in K : 
f\big(\underline x\big)=\inf_{x\in K} f(x). 
\]

д П Л Б Ъ Б Ф Е М Ш У Ф Ч П.  рП РЕТЧПК ФЕПТЕНЕ чЕКЕТЫФТБУУБ $f$
ПЗТБОЙЮЕОБ, РПЬФПНХ НОПЦЕУФЧП ЕЕ ЪОБЮЕОЙК ЙНЕЕФ ФПЮОЩЕ ЧЕТИОАА Й ОЙЦОАА
ЗТБОЙ.  нЩ РПЛБЦЕН ФПМШЛП, ЮФП УХЭЕУФЧХЕФ ФПЮЛБ $\overline x\in K$, Ч ЛПФПТПК 
$f(\overline x)=\Sup_{x\in K} f(x) = M$. 
дМС ОЙЦОЕК ЗТБОЙ ДПЛБЪБФЕМШУФЧП БОБМПЗЙЮОП.

рП ПРТЕДЕМЕОЙА ФПЮОПК ЧЕТИОЕК ЗТБОЙ
ДМС МАВПЗП $\eps>0$ ОБКДЕФУС ФПЮЛБ $x_\eps\in K$, Ч ЛПФПТПК 
$M-\eps<f(x_\eps)\leq M$. чЩВЙТБС РППЮЕТЕДОП $\eps=\frac 1n$ РПУФТПЙН ФБЛХА 
РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФШ $x_n\in K$, ЮФП $M-\frac 1n<f(x_n)\leq M$.  пЮЕЧЙДОП, 
$f(x_n)$ УИПДЙФУС Л $M$. ч УЙМХ ЛПНРБЛФОПУФЙ $K$ ЙЪ РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФЙ 
$(x_n)$ ЧЩДЕМЙН  РПДРПУМЕДПЧБФЕМШОПУФШ $(x_{n_k})$, УИПДСЭХАУС Л ОЕЛПФПТПНХ 
ЬМЕНЕОФХ $\overline x\in K$. фЕРЕТШ, Ч УЙМХ ОЕРТЕТЩЧОПУФЙ ЖХОЛГЙЙ $f$ ЙНЕЕН, 
У ПДОПК УФПТПОЩ, $\Lim_{k\to\infty} f(x_{n_k})= f(\overline x)$, Б У ДТХЗПК, 
$\big(f(x_{n_k})\big)$ --- РПДРПУМЕДПЧБФЕМШОПУФШ 
УИПДСЭЕКУС РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФЙ $\big(f(x_n)\big)$, Б ЪОБЮЙФ, ЙНЕЕФ ФПФ ЦЕ 
РТЕДЕМ  $M$, ФП ЕУФШ $f(\overline x)= M$.  

юФП Й ФТЕВПЧБМПУШ ДПЛБЪБФШ \vic  

\teo{фЕПТЕНБ} (п.  лПЫЙ П РТПНЕЦХФПЮОЩИ ЪОБЮЕОЙСИ ОЕРТЕТЩЧОПК ЖХОЛГЙЙ).  
\tit{еУМЙ $D$ --- МЙОЕКОП УЧСЪОПЕ НОПЦЕУФЧП Й ЖХОЛГЙС $f$ ОЕРТЕТЩЧОБ ОБ $D$,
ФП ДМС МАВЩИ $a$ Й $b$ ЙЪ $D$ ЖХОЛГЙС $f$ РТЙОЙНБЕФ ЧУЕ РТПНЕЦХФПЮОЩЕ ЪОБЮЕОЙС
$C$ НЕЦДХ $A = f(a)$ Й} $B = f(b)$.  

д П Л Б Ъ Б Ф Е М Ш У Ф Ч П.  рХУФШ
$\gamma:x = x(t)$, $\alpha\leq t\leq\beta$ --- РХФШ,  МЕЦБЭЙК
Ч $D$ Й УПЕДЙОСАЭЙК ФПЮЛЙ $a=(a^1,\dots,a^N)$ Й $b=(b^1,\dots,b^N)$:
\[
\gamma:\begin{cases}x_1=x_1(t)&\\ \dotfill&\\ x^N=x^N(t)&\end{cases}
x(\alpha)= a,\quad x(\beta)=b. 
\]
рПМПЦЙН $\varphi(t)=f\big(x(t)\big)$.  ьФБ ЖХОЛГЙС ОЕРТЕТЩЧОБ,
ЛБЛ ЛПНРПЪЙГЙС ОЕРТЕТЩЧОЩИ ЖХОЛГЙК Й СЧМСЕФУС ЖХОЛГЙЕК ПДОПК РЕТЕНЕООПК $t$,
РТЙЮЈН $\varphi(\alpha)=f(a)=A$, $\varphi(\beta)=f(b)= B$.  рП ФЕПТЕНЕ лПЫЙ 
ДМС ЖХОЛГЙК ПДОПК РЕТЕНЕООПК ПОБ РТЙОЙНБЕФ ЧУЕ РТПНЕЦХФПЮОЩЕ ЪОБЮЕОЙС $C$ 
НЕЦДХ $A$ Й $B$. рХУФШ $C = \varphi(t_0)$, ФПЗДБ, ПЮЕЧЙДОП, РТЙ 
$c=x(t_0)$ ВХДЕН ЙНЕФШ $C=f(c)$.

юФП Й ФТЕВПЧБМПУШ ДПЛБЪБФШ.  

\subsection*{мЙОЕКОЩЕ ЖХОЛГЙЙ N РЕТЕНЕООЩИ}

 

\teo{пРТЕДЕМЕОЙЕ.}
рХУФШ $V_1$ Й $V_2$ --- РТПЙЪЧПМШОЩЕ ЧЕЛФПТОЩЕ РТПУФТБОУФЧБ.  жХОЛГЙА 
$L:V_1\to V_2$ ОБЪЩЧБАФ \tit{МЙОЕКОПК}, ЕУМЙ ПОБ ПВМБДБЕФ ДЧХНС УЧПКУФЧБНЙ:
\begin{itemize}
\item $\forall x, y\in V_1\quad L(x + y) = L(x) + L(y)$; 
\item $\forall x\in V_1\ \forall\alpha\in\R\quad L(\alpha x) = \alpha L(x)$. 
\end{itemize}
оБРТЙНЕТ, ЖХОЛГЙЙ $x\mapsto x(t_0)$, $x\mapsto\intt_a^b x(t)\, dt$ --- 
МЙОЕКОЩЕ ЖХОЛГЙЙ  $C[a; b]\to \R$ (ДПЛБЦЙФЕ УБНПУФПСФЕМШОП).  

ъДЕУШ НЩ ЙЪХЮЙН МЙОЕКОЩЕ ЖХОЛГЙЙ $\R^N\to\R$.
пЛБЪЩЧБЕФУС ЧУЕ ПОЙ ДПРХУЛБАФ РТПУФПЕ ПРЙУБОЙЕ.  

\teo{фЕПТЕНБ} (ПВ ПВЭЕН ЧЙДЕ МЙОЕКОПК ЖХОЛГЙЙ $\R^N\to\R$). 
\tit{жХОЛГЙС $L:\R^N \to R$ МЙОЕКОБ ФПЗДБ Й ФПМШЛП
ФПЗДБ ЛПЗДБ УХЭЕУФЧХЕФ ФБЛПК ЧЕЛФПТ $\ell = (\ell_1,\dots,\ell_N )$, ЮФП}
\[
\forall x =(x^1,\dots,x^N)\in \R^N\quad L(x) =\sum_{k=1}^N\ell_k x^k=
\ell_1x^1+\ell_2x^2+\dots+\ell_Nx^N. 
\]

д П Л Б Ъ Б Ф Е М Ш У Ф Ч П.  $(\Rightarrow)$ рХУФШ $(e_k)$ ---
УФБОДБТФОЩК ВБЪЙУ Ч $\R^N $, $e_k=(\overbrace{0,\dots,0,1}^k,0,\dots,0)$ 
Й $x=(x^1,\dots,x^N)=\sum_{k=1}^Nx^ke_k$ --- РТПЙЪЧПМШОЩК
ЬМЕНЕОФ $\R^N$.  пВПЪОБЮЙН ЮЕТЕЪ $\ell_k\bydef L(e_k)$.  фПЗДБ ДМС
$x=\sum_{k=1}^N x^ke_k$ Ч УЙМХ МЙОЕКОПУФЙ $L$ ЙНЕЕН
\[
L(x)=L\Bigg(\sum_{k=1}^N x^ k e_k\Bigg)= 
\sum_{k=1}^N x^k L(e_k)=\sum_{k=1}^N x^k\ell_k. 
\]

$(\Leftarrow)$ рХУФШ $\ell= (\ell_1,\dots,\ell_N )$ РТПЙЪЧПМШОЩК ЧЕЛФПТ 
ЙЪ $\R^N$. рПЛБЦЕН, ЮФП ЖХОЛГЙС $L(x)\bydef\sum_{k=1}^N x^k\ell_k$ --- 
СЧМСЕФУС МЙОЕКОПК.

ч УБНПН ДЕМЕ, 
\[
L(x+y)=\sum_{k=1}^N (x^k + y^k)\ell_k=\sum_{k=1}^N x^k\ell_k + 
\sum_{k=1}^N y^k\ell_k=L(x) + L(y), 
\]
Й УЧПКУФЧП БДДЙФЙЧОПУФЙ ЧЩРПМОЕОП.
у ПДОПТПДОПУФША ЕЭЈ РТПЭЕ: 
\[
L(\alpha x) = \sum_{k=1}^N \alpha x^k\ell_k = \alpha\sum_{k=1}^N x^k\ell_k=
\alpha L(x). 
\]

фЕПТЕНБ ДПЛБЪБОБ.  


\teo{ъБНЕЮБОЙЕ.}  фЕПТЕНЩ ПВ ПВЭЕН ЧЙДЕ ОЕРТЕТЩЧОЩИ
МЙОЕКОЩИ ЖХОЛГЙК Ч ТБЪМЙЮОЩИ ФПРПМПЗЙЮЕУЛЙИ ЧЕЛФПТОЩИ РТПУФТБОУФЧБИ
СЧМСАФУС ЧБЦОПК НБФЕНБФЙЮЕУЛПК ЪБДБЮЕК, ЙНЕАЭЕК НОПЗПЮЙУМЕООЩЕ РТЙНЕОЕОЙС.  
нЩ ХУФБОПЧЙМЙ РТПУФЕКЫХА ЙЪ ОЙИ.  пОБ ОБН РПОБДПВЙФУС Ч УМЕДХАЭЕК
МЕЛГЙЙ.

ч ДБМШОЕКЫЕН (ОБ ЧФПТПН ЛХТУЕ)
НЩ ХУФБОПЧЙН ПВЭЙК ЧЙД МЙОЕКОЩИ ЖХОЛГЙК Ч ЙЪЧЕУФОПН чБН РТПУФТБОУФЧЕ
$C[a; b]$ Й ОЕЛПФПТЩИ ДТХЗЙИ ЖХОЛГЙПОБМШОЩИ РТПУФТБОУФЧБИ\footnote{
мЙОЕКОЩЕ ЖХОЛГЙЙ ПРТЕДЕМЈООЩЕ ОБ ЖХОЛГЙПОБМШОЩИ РТПУФТБОУФЧБИ 
ПВЩЮОП ОБЪЩЧБАФ Ч МЙОЕКОЩНЙ ЖХОЛГЙПОБМБНЙ.}.
\medskip

фЕПТЕНБ ПВ ПВЭЕН ЧЙДЕ МЙОЕКОПК ОЕРТЕТЩЧОПК ЖХОЛГЙЙ $\R^N\to\R$
ДПРХУЛБЕФ УМЕДХАЭЕЕ ПВПВЭЕОЙЕ.
\medskip

\teo{ъБДБЮБ.} дПЛБЦЙФЕ, ЮФП ЕУМЙ $V_1$ Й $V_2$ ДЧБ МЙОЕКОЩИ РТПУФТБОУФЧБ
ТБЪНЕТОПУФЕК УППФЧЕФУФЧЕООП $N_1$ Й $N_2$, Й $\{e_1,\dots,e_{N_1}\}$ ---
ВБЪЙУ Ч $V_1$, Б $h_1,\dots,h_{N_2}$ --- ВБЪЙУ Ч $V_2$, ФП ЛБЦДПНХ
МЙОЕКОПНХ ПФПВТБЦЕОЙА \linebreak
$L:V_1\to V_2$ НПЦОП ПДОПЪОБЮОП УПРПУФБЧЙФШ ФБЛХА
НБФТЙГХ $(\ell_{ij})_{\substack{1\leq i\leq N_1\\1\leq j\leq N_2}}$,
ЮФП
\[
L\begin{pmatrix}x^1\\x^2\\\vdots\\x^{N_1}\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}\ell_{11}&\dots&\ell_{1N_1}\\\ell_{21}&\dots&\ell_{1N_1}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\\ell_{N_21}&\dots&\ell_{N_2N_1}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x^1\\x^2\\\vdots\\x^{N_1}\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}\ell_{11}x^1+\dots+\ell_{1N_1}x^{N_1}\\
\ell_{21}x^1+\dots+\ell_{2N_1}x^{N_1}\\
\raisebox{2pt}[12pt][5pt]{\makebox[3cm]{\dotfill}}\\
\ell_{N_21}x^1+\dots+\ell_{N_2N_1}x^{N_1}\end{pmatrix}
\]


\end{document}