Основное уравнение центробежных насосов

(УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА)

Основное уравнение центробежного насоса впервые в самом общем виде было получено в 1754 г. Л. Эйлером и носит ею имя.

Рассматривая движение жидкости внутри рабочего колеса, сделаем следующие допущения: насос перекачивает идеальную жидкость в виде струй, т. е. в насосе отсутствуют все виды потерь энергии. Число одинаковых лопастей насоса бесконечно большое (z = µ), толщина их равна нулю (d= 0), а угловая скорость вращения колеса постоянна (w= const.).

К рабочему колесу центробежного насоса со скоростью Vo жидкость подводится аксиально, т. е. в направлении оси вала. Затем направление струй жидкости изменяется от осевого до радиального, перпендикулярного оси вала, а скорость благодаря центробежной силе увеличивается от значения V₁ в пространстве между лопастями рабочего колеса до значения V₂ на выходе из колеса.

В межлопастном пространстве рабочего колеса при движении жидкости различают абсолютную и относительную скорости по­тока. Относительная скорость потока — скорость относительно рабочего колеса, а абсолютная — относительно корпуса насоса.

Рис. Схема движения жид­кости в рабочем колесе центро­бежного насоса

Абсолютная скорость равна геометрической сумме относительной скорости жидкости и окружной скорости рабочего колеса. Окружная скорость жидкости, выходящей между лопастями рабочего колеса, совпадает с окружной скоростью колеса в данной точке.

Окружная скорость жидкости (м/с) на входе в рабочее колесо

Окружная скорость жидкости на выходе из рабочего колеса (м/с)

где n—частота вращения рабочего колеса, об/мин; D₁ и D₂ — внутренний и внешний диаметры рабочего колеса, м, w— угловая скорость вращения рабочего колеса рад/с

При движении рабочего колеса частицы жидкости движутся вдоль лопастей. Вращаясь вместе с рабочим колесом, они приоб­ретают окружную скорость, а перемещаясь вдоль лопастей — относительную.

Абсолютная скорость v движения жидкости равна геометрической сумме ее составляющих: относительной скорости w и окружной u, т. е. v = w + и.

Связь между скоростями частиц жидкости выражается параллелограммом или треугольниками скоростей, что позволяет дать понятие о радиальной и окружной составляющих абсолютной скорости.

Радиальная составляющая

окружная составляющая

где a— угол между абсолютной и окружной скоростями (на входе рабочего колеса a₁ и на выходе a₂).

Угол b между относительной и окружной скоростями характе­ризует очертание лопастей насоса .

Исследуем изменение за 1 с момента количества движения Массы жидкости т = rQ, где r — плотность жидкости; Q— по­дача насоса.

Используя теорему механики об изменении моментов количе­ства движения применительно к движению жидкости в канале рабочего колеса, выведем основное уравнение центробежного насоса, которое позволит определить развиваемый насосом напор (или давление). Эта теорема гласит: изменение во времени главного момента количества движения системы материальных точек относительно некоторой оси равно сумме моментов всех сил, действующих на эту систему.

Момент количества движения жидкости относительно оси рабочего колеса во входном сечении

Момент количества движения на выходе из рабочего колеси

где r₁ и r₂ — расстояния от оси колеса до векторов входной V₁ и выходной V₂ скоростей соответственно.

Согласно определению момента системы можно записать:

Так как в соответствии с рис

Группы внешних сил — силы тяжести, силы давления в расчетных сечениях (входа-выхода) и со стороны рабочего колеса и силы трения жидкости на обтекаемых поверхностях лопастей рабочего колеса — действуют на массу жидкости, заполняющей межлопастные каналы рабочего колеса.

Момент сил тяжести относительно оси вращения всегда равен нулю, так как плечо этих сил равно нулю. Момент сил давления в расчетных сечениях по этой же причине также равен нулю. Если силами трения пренебрегают, то и момент сил трения равен нулю. Тогда момент всех внешних сил относительно оси вращения колеса сводится к моменту Мк динамического воздей­ствия рабочего колеса на протекающую через него жидкость, т. е.

Произведение Мк на относительную скорость равно произве­дению расхода на теоретическое давление P_T, создаваемое насо­сом, т. е. равно мощности, передаваемой жидкости рабочим ко­лесом. Следовательно,

Это уравнение можно представить в виде

Разделив обе его части на Q, получим

Учитывая, что напор Н = Р/(pg) и подставив это значение получим

Если пренебречь силами трения, то можно получить зависи­мости, называемые основными уравнениями лопастного насоса. Эти уравнения отражают зависимость теоретического давления или напора от основных параметров рабочего колеса. Переносные скорости на входе в осевой насос и на выходе из него |одинаковы, поэтому уравнение принимает вид

В большинстве насосов жидкость в рабочее колесо поступает практически радиально и, следовательно, скорость V₁ » 0. C учетом вышеизложенного

или

Теоретические давление и напор, развивае­мые насосом, тем больше, чем больше окружная скорость на внешней окружности рабочего колеса, т. е. чем больше его диа­метр, частота вращения и угол b₂ , т. е. чем «круче» расположены лопатки рабочего колеса.

Действительные давление и напор, развивае­мые насосом, меньше теоретических, так как реальные условия работы насоса отличаются от идеальных, принятых при выводе уравнения. Давление, развиваемое насосом, уменьшается глав­ным образом из-за того, что при конечном числе лопастей рабо­чего колеса не все частицы жидкости отклоняются равномерно, вследствие чего уменьшается абсолютная скорость. Кроме того, часть энергии расходуется на преодоление гидравлических сопротивлении. Влияние конечного числа лопастей учитывают вве­дением поправочного коэффициента k (характеризующею уменьшение окружной составляющей скорости V2u), уменьшение давления вследствие гидравлических потерь — введением гидравлического коэффициента полезного действия h_r . С учетом этих поправок полное давление