1. Основные физические свойства жидкостей и газов.
Модели жидких и газовых сред
Гидрогазодинамика (ГГД) изучает движение жидкостей и газов и взаимодействие их с обтекаемыми твердыми поверхностями.
В ГГД рассматриваются макроскопические движения, что позволяет отвлечься от молекулярной структуры жидкостей и газов и рассматривать их с точки зрения модели сплошной среды, масса которой непрерывно распределена по объему, занятому средой. Параметры, характеризующие состояния и движение среды (V,p,T,и т.д.), считаются при этом непрерывно изменяющимися по указанному объему, кроме, быть может, отдельных точек, линий и поверхностей, где могут существовать разрывы.
Отличительным свойством жидкостей и газов является их легкая подвижность или текучесть, т.е. способность неограниченно деформироваться под действием сколь угодно малой силы сдвига. Это означает, что в покоящейся жидкой среде касательные напряжения отсутствуют. Однако они возникают при появлении в потоке жидкости деформации сдвига, изменяющейся с конечной скоростью, и являются следствием теплового движения молекул и молекулярных связей между движущимися слоями жидкости (газа). В этом проявляется вязкость жидкостей и газов. Касательное напряжение в слоистом течении определяется законом внутреннего вязкого трения Ньютона:
τ=μ, (1.1)
где μ – динамический коэффициент вязкости, зависящий от физических свойств жидкости и ее температуры, – производная от скорости течения по нормали к ее направлению.
При некоторых условиях величина оказывается малой, например, по сравнению с давлением p. Тогда для простоты эффектом вязкости пренебрегают, полагая =0, и принимают тем самым модель идеальной (невязкой) жидкости.
Жидкости и, особенно, газы обладают свойством сжимаемости, т.е. способностью изменять объем vвыделенной части среды массойm или, в иной терминологии, ее плотность=m/v. Это свойство проявляется при изменениях как давленияр, так и температурыТ среды (согласно уравнению состояния (см. п.10) можно считать, чтоv=v(p,T) или=(p,T)), и характеризуется изотермическим коэффициентом сжимаемости
и коэффициентом теплового объемного расширения
.
Основное различие между жидкостями и газами состоит в их плотности и в степени сжимаемости. Как правило, а) г << жи б) г >> ж,г >> ж. Физически это обусловлено тем, что расстояния между молекулами в газах значительно больше, чем в жидкостях, поэтому силы межмолекулярного взаимодействия в газах сравнительно малы. Иногда этими силами можно пренебречь, принимая модель идеального газа (см.п.9).
В законах движения жидкостей и газов есть много общего, поэтому эти среды часто именуются одинаково – жидкостью. В тех случаях, когда эффектом сжимаемости можно пренебречь, вводят понятие (модель) несжимаемой жидкости, полагая = const. Если же плотность среды при еедвижениизаметно меняется ( const), то говорят о сжимаемой жидкости или газе.
2. Два метода описания движения жидкости
Для математического описания движения жидкости используются два различных метода (подхода): Лагранжа и Эйлера.
При лагранжевом подходе непрерывный поток жидкости рас-сматривается как движение множества жидких частиц. Для описания перемещения в пространстве отдельной жидкой частицы ее рассматривают как материальную точку, положение которой в данный момент времени tможет быть выражено в координатной форме:
x=x(t),y=y(t),z=z(t). (2.1)
В сплошном потоке имеется континуум таких частиц, которые надо как-то выделить (индивидуализировать). Для этого можно в выражение закона движения точки (2.1) добавить в качестве аргументов в общем случае 3 параметра a,bиc– например, значения координат частицы в начальный момент времени. Тогда вместо (2.1) следует записать
x=x(t,a,b,c), y=y(t,a,b,c), z=z(t,a,b,c). (2.2)
Параметры a,b,с называются переменными Лагранжа. Если они фиксированы, то соотношения (2.2) выражают закон движения выделенной жидкой частицы; при изменении этих параметров осуществляется переход от одной частицы к другой и таким образом достигается описание движения всей массы жидкости в целом.
Мгновенная скорость жидкой частицы Vможет быть представлена своими составляющими в декартовой системе координат
,,. (2.3)
Абсолютная величина (модуль) скорости при этом определяется как .
Другой прием описания движения жидкости, получивший более широкое распространение, был предложен Эйлером. Он основан на понятии местной скорости или скорости в точке. Этим термином обозначают скорость жидкой частицы, находящейся в выбранной точке области течения в данный момент времени. В общем случае местные скорости различны в один и тот же момент времени в различных точках, а также могут изменяться во времени в каждой фиксированной точке. Таким образом, проекции скорости в общем случае могут быть представлены как
u=u(x,y,z,t), v=v(x,y,z,t), w=w(x,y,z,t). (2.4)
Этими функциями характеризуется поле скоростей жидкости, т.е. совокупность значений вектора скорости V(u,v,w), определенного в каждой точке области течения. В выражениях (2.3) параметры x, y, z, t называются переменными Эйлера.
Ускорение жидкой частицы может быть выражено при комбинации методов Эйлера и Лагранжа:
(2.5)
где – оператор Гамильтона или набла-оператор. В (2.5) векторназывается локальным ускорением, а вектор– конвективным ускорением.
В скалярной форме составляющие вектора ускорения по осям декартовой системы координат имеют вид
(2.5′)
3. Основные параметры и типы движения жидкости
Движения жидкости (газа) описываются уравнениями, в которых кроме скоростиV входят еще другие физические величины. Это, прежде всего, термодинамические параметры (параметры состояния). Отметим здесь основные из этих величин.
Давление p – сила, действующая на единицу площади поверхности жидкости по нормали к этой поверхности; единица измерения – Па=Н/м2.
Давление в жидкости является сжимающим напряжением, т.е. оно направлено по внутренней нормали в точках поверхности рассматриваемого жидкого объема; кроме того, в каждой точке оно не зависит от пространственной ориентации площадки действия. Добавим, что при сдвиговом течении вязкой жидкости в ней возникают также касательные напряжения (1.1).
Плотность определяется как масса вещества (жидкости, газа), приходящаяся на единицу объема, измеряется в кг/м3; в термодинамике обычно вместоиспользуется обратная величина v=1/ – удельный объем.
Температура Т (абсолютная) – величина, характеризующая меру нагретости среды, выражается в кельвинах (К). Ограничимся здесь этими общими словами; понятие температуры раскрывается в термодинамике, молекулярной и статистической физике.
Обозначим основные типы движения жидкости в контексте эйлерова подхода. Введем условный параметр A, в качестве которого подразумевается любая из приведенных выше величинV,p,T,. В общем случае пространственного неустановившегося (нестационарного) движения эти параметры зависят от всех четырех аргументов:A=A(x,y,z,t).
Если параметры потока в каждой фиксированной точке пространства не меняется во времени, т.е. A=A(x,y,z), (), то движение называется установившимся (стационарным). Рассмотрением таких движением мы, главным образом, и ограничимся в дальнейшем.
Некоторые потоки могут быть описаны двумя компонентами скорости uиv(w0), зависящими только от двух декартовых координатxиy,A=A(x,y), (). Такие движения называются двумерными (плоскими) – например, течение в плоском канале – щели между двумя стенками большого размера поперек потока.
Для инженерных приложений часто используется модель одномерного движения. Это относится к течениям в трубах, каналах, соплах и т.п. Хотя, строго говоря, такие течения являются трехмерными или осесимметричными, но оказывается, что для них часто можно подобрать в каждом поперечном сечении канала среднюю скорость Vтак, что течение с этой скоростью будет хорошо описывать основные закономерности потока в рассматриваемом канале. Указанное осреднение применяется и к другим параметрам потока. Таким образом, одномерное движение жидкости определяется зависимостями одной компоненты скорости, а также других параметров, только от одной продольной координаты х(возможно–криволинейной):V=V(x),p=p(x) и т.д.
Такое приближенное описание является основным в прикладной дисциплине – гидравлике.