Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
51
Добавлен:
25.04.2015
Размер:
71.17 Кб
Скачать

14. Дифференциальное уравнение течения газа в канале переменного сечения. Качественный анализ параметров потока

Рассматривается одномерное стационарное течение идеального газа в канале (трубе), площадь нормального поперечного сечения которого S меняется в зависимости от координаты x, направленной вдоль оси канала; завимость , очевидно, будет определять форму канала. Течение газа будем считать изоэнтропическим (см. п.10).

Для математического описания указанного течения используем уравнение неразрывности (см. (6.2))

ρVS = const (14.1)

и уравнение Эйлера (см. (9.6))

. (14.2)

Используя (11.1), выразим , вследствие чего из (14.2) будем иметь

. (14.3)

Это уравнение отражает роль числа Маха М как меры сжимаемости газа в потоке как при малых, так и при больших своих значениях, а именно:

а) при малых M (M<1) относительное изменение плотности газа намного (в М2 раз) меньше относительного изменения скорости потока (ср. с оценкой (13.4)), что дает основание для использования при этом модели несжимаемой жидкости;

б) напротив, в сверхзвуковых потоках (М>1) относительное изменение плотности в М2 раз превосходит относительное изменение скорости , т.е. имеет место эффект сильной сжимаемости (или сильного расширения) газа.

Далее, возьмем от обеих частей уравнения (14.1) логарифмическую производную по x и запишем

.

Исключая отсюда плотность с помощью (14.3), получим искомое диффе-ренциальное уравнение

, (14.4)

которое связывает изменение скорости потока в канале с изменением площа-ди его сечения; оно носит имя Гюгонио.

Наряду с этим уравнением имеют место соотношения

, (14.5)

, (14.6)

, (14.7)

которые легко получаются из уравнений (14.3), (14.4) и при учете изоэнтро-пических связей между параметрами p, ρ и T (10.8), (10.8′).

На основе уравнения (14.4) проанализируем некоторые особенности изменения параметров газовых потоков в канале.

1. Если M<1, т.е. поток дозвуковой, то знаки и противопо-ложны. Таким образом, как и в случае несжимаемой жидкости: а) при рас-ширении канала скорость потока уменьшается и б) при сужении канала скорость потока увеличивается .

2. Если M>1, т.е. поток сверхзвуковой, то знаки и одинаковы. Таким образом: а) при расширении канала скорость потока увели-чивается и б) при сужении канала скорость потока умень-шается .

Этот необычный результат – эффект обращения воздействия ширины канала на скорость потока – объясняется отмеченным выше эффектом сильной сжимаемости газа при сверхзвуковых течениях. Действительно, при ускорении газа в таких потоках его плотность, согласно (14.3), уменьшается в M2 раз быстрее увеличения скорости, поэтому и величина ρV (плотность тока) будет уменьшаться, что, вследствие уравнения неразрывности (14.1), возможно только при увеличении площади сечения канала S. При торможении сверхзвукового потока ситуация будет прямо противоположной, однако следует отметить, что при этом в потоке обычно появляются скачки уплотнения, т.е. нарушается изоэнтропичность течения.

3. Если M=1 (и – конечная величина), то ; соответствующее сечение канала , где , называется критическим и в нем площадь сечения должна быть экстремальна, т.е. максимальна или мини-мальна. Однако легко сообразить, что это сечение не может быть макси-мальным по площади, так как при подходе к такому сечению дозвуковой поток замедляется, а сверхзвуковой ускоряется, что никак не может привести к равенству V = a. Следовательно, критическое сечение может совпадать только с минимальным по площади сечением канала, т.е. = Smin .

Таким образом, для того, чтобы ускорить дозвуковой поток газа до сверхзвковых скоростей, необходимо сначала суживать канал, а затем расширять его; переход через скорость звука может произойти только в наиболее узком сечении – так называемой горловине или шейке канала. Каналы такого типа называются соплами Лаваля по имени шведского ин-женера Карла Густава Лаваля, впервые применившего их в паровых турбинах для получения сверхзвуковых потоков. Режим течения газа в таком сопле с ускорением потока и переходом скорости V через скорость звука a называ-ется расчетным сверхзвуковым режимом.

4. Если , т.е. сечение экстремально (максимально или мини-мально) по площади, то либо в нем M=1 и, следовательно, оно критическое, либо M 1 и . В последнем случае скорость V также принимает экстремальное значение. Как усматривается из (14.4), при этом для дозвуко-вого потока скорость V минимальна в максимальном сечении и максимальна в минимальном; при сверхзвуковом течении, наоборот, скорость достигает максимума в максимальном сечении и минимальна в минимальном (в последнем случае, однако, справедлива сделанная выше оговорка о неизо-энтропичности торможения сверхзвукового потока).

Соседние файлы в папке Лекции Гирдрогазодинамика