20.Схема расчета сверхзвукового потока методом характеристик

Пусть на отрезке (дуге) АВ некоторой линии в области течения физи­ческой плоскости (x,y) задано распределение скорости V сверхзвукового те­чения идеального газа; при этом предполагается, что линия АВ не совпадает с какой либо характеристикой в этой плоскости (рис. ). Тогда при определен­ном значении критической скорости а (12.5) можно построить соответст­вующую дугу АВ.

Далее, на дугу АВ наносится ряд узловых точек, которые разбивают ее на участки; соответствующее разбиение делается и на дуге АВ в плоскости (λ,θ). В этих узлах проводятся элементы характеристик: в плоскости годографа – отрезки эпициклоид, (см.п.19), т.е. точно, а в физической плоскости - приближенно, заменяя их отрезками прямых (лучами), имеющими характеристические направления, сопряженные с соответствую­щими направлениями эпициклоид в плоскости (λ,θ). Точки пересечения ха­рактеристик в обеих плоскостях будут представлять собой расчетные узлы, значения и направления скорости в которых определяются их координатами в плоскости годографа, причем скорости в физической плоскости направ­лены по биссектрисам соответствующих характеристических лучей.

При продолжении указанных действий часть физической плоскости – область сверхзвукового течения, - окажется заполненной характеристиками, разбивающими ее на достаточно малые «ромбы», по диагоналям которых на­правлены искомые отрезки линий тока.

Наличие в потоке твердых границ или свободных поверхностей мало усложняет построение. Поскольку эти границы представляют собой линии тока, то происходит как бы отражение от них характеристик – волн Маха, при котором характеристики одного семейства заменяются характеристиками другого семейства и наоборот.

21.Центрированная волна разрежения конечной интенсивности

(течение Прандтля–Майера)

Рассмотрим задачу о повороте сверхзвукового потока вокруг кромки выпуклого угла ∟АВД=π+θ₂. Пусть исходный однородный поток со скоростными параметрами λ₁ (> 1), М₁ (> 1) сначала движется вдоль прямой стенки АВ (λ₁ АВ) и в точке В стенка меняет направление – отклоняется на угол θ₂ (рис.? ). Из точки В – источника возмущений, - исходит первая линия Маха – прямая ВС₁, - наклон ее к потоку равен α₁=arcsin(1/M₁). Левее этой линии поток невозмущен, правее он начинает поворачиваться по часовой стрелке. Поворот на конечный угол θ₂ можно мысленно разбить на элементарные повороты αθ, которым соответствуют элементарные волны Маха –характеристики первого семейства, исходящие из точки В. После по­ворота на элементарной волне ВС₁ каждая следующая элементарная волна ВC также прямолинейна, а параметры потока на ней (λ,θ,α,π…) постоянны – т.е. это так называемая простая волна. Просуммировав бесконечное число элементарных волн получаем волну разрежения конечной интенсивности, которая заполняет собой сектор С₁ВС₂, причем последняя волна Маха составляет со скоростью λ₂ ВД угол α₂=arcsin(1/M₂)_. Такую волну называют центрированной, так как все характеристики в плоскости течения сходятся в точке В. Этой волне соответствует в плоскости годографа (λ,θ) одна характеристика второго семейства, которая изображена на диаграмме дугой эпициклоиды (1-2). Как усматривается из диаграммы, λ₁>λ₂ , следовательно М₂>М₁, α₂<α₁; это означает, что происходит ускорение сверхзвукового потока, как и должно быть при его расширении (см.п.14).

Параметры течения в секторе разрежения С₁ВС₂ удобно определять на текущей линии Маха ВС, которой соответствую постоянные значение λ, М, α, θ, π… λ₁≤ λ≤ λ₂, М₁≤М≤М₂, α₁≥α≥α₂, 0≤θ≤θ₂). Положение самой линии ВС зададим углом ее отклонения φ от начальной линии Маха ВС₁ , причем из геометрических соображений имеет место соотношение для угла наклона луча ВС к горизонтали АВ.

α₁-φ= α- θ

В итоге, применяя к данному случаю равенства(19.4)-(19.6), получаем следующие соотношения, описывающие течение в центрированной волне разряжения в параметрической форме:

α =arctg (1/) (21.4)

(при получении (21.4) использовано равенство arctgx + arctg(1|x)= π|2.

К этим равенствам можно присоединить известные изоэнтропические формулы для давления, плотности и температуры (см.п.13).

|

При заданных М₁ и θ₂ величина М₂ определяется из уравнения (21.2).

В аналогичной форме может быть представлено уравнение линий тока. Выберем произвольную точку Е на линии Маха ВС₁ и определим поло­жение других точек линии тока, проходящей через точку Е, например – точки F на характеристике ВС. Запишем условие постоянства расхода, воспользо­вавшись тем, что вектор скорости составляет с характеристикой угол Маха α (см.пп.5,6,18)

rρVsinα= r₁ρ₁V₁sinα₁

где r=BF, r₁=BF расстояния вдоль характеристик от точки В до линии тока EF. Поделив это соотношение на ρa и подставив sinα=1|M, sinα₁=1|M₁ получим

r=r₁

где q=q(M) -приведенный удельный расход (13.12). Из (21.6) следует, что ,т.е. произвольные линии тока EF и EF (рис.) геометрически подобны между собой с центром подобия в точке В.