Лекции Гирдрогазодинамика / 24-26

24.Ударная адиабата (уравнение Рэнкина–Гюгонио)

Из уравнений (23.1), (23.2) и (23.6) может быть найдена связь между увеличением плотности газа при прохождении потока через скачок – ρ₂/ρ₁ (уплотнением) и повышением его давления – р₂/р₁ (сжатием). Для этого исключим из этих уравнений скорости V₁ и V₂. Из (23.2) при учете (23.1) имеем

p₂–p₁=ρ₁V₁(V₁–V₂) (24.1)

Умножим обе части этого равенства: справа на выражение ,

а слева на равную ему величину (это равенство следует из того, что согласно (23.1) ρ₁V₁=ρ₂V₂)

в результате найдем

(р₂-р₁)( + )=V₁²-V₂² (24.2)

С другой стороны, из (23.6) имеем

V₁²-V₂²= (24.3)

После очевидного исключения скоростей из (24.2) и (24.3) получим равенство

(р₂-р₁)( + )= ( - )

которое после умножения на дробь запишется как

( - )( + )= ( - )

Разрешая это уравнение относительно интересующих нас величин р_2/р₁ и ρ_2/ρ₁, окончательно получим два взаимно обратных равенства

(24.4)

(24.4)

Установленная связь между уплотнением и сжатием газа на ударной волне называется ударной адиабатой или уравнением Рэнкина–Гюгонио. Интересно сопоставить ее с адиабатой Пуассона (10.8), которая соответствует непрерывному адиабатическому, т.е. изоэнтропическому сжатию или расширению идеального газа.

Из уравнения (24.4′) следует, что при увеличении сжатия р₂/р₁ уплотнение ρ₂/ρ₁ монотонно возрастает и асимптотически стремится к величине , так что < , в то время как изоэнтропическое уплотнение по (24.5) неограничено (рис. )

Заметим также, что при одинаковом сжатии р₂/р₁>1 уплотнение ρ₂/ρ₁ в скачке всегда меньше изоэнтропического уплотнения. Для объяснения этого соотношения запишем уравнение состояния идеального газа (10.1 б) в виде

=

(24.6)

Увеличение температуры Т₂/Т₁ происходит как при изоэнтропическом, так и при ударном сжатии, однако в последнем случае оно больше, потому что в скачке уплотнения за счет диссипации происходит как бы дополнительный нагрев газа (q_вн>0). Таким образом, при одинаковом числителе в (24.6) знаменатель Т₂/Т₁ будет всегда больше для случая сжатия в ударной волне, откуда и следует меньшее значение величины уплотнения ρ₂/ρ₁.

Отметим, что уравнение Рэнкина–Гюгонио (24.4) справедливо и для косого скачка уплотнения, т.е. при любом наклоне скорости к фронту ударной волны.

25.Изменение параметров потока при переходе через скачок уплотнения

Установим соотношения, связывающие параметры потока до прямого скачка уплотнения – (V₁, p₁, ρ₁, T₁) и потока, образовавшегося за скачком – (V₂, p₂, ρ₂, T₂).

Из уравнения энергии (23.3) следует, что при прохождении скачка сохраняется неизменной полная энтальпия h₀ (см. п.7), а вместе с ней и следующие однозначно связанные с ней параметры (см. пп.12,13): T₀, a₀, T_*, a_*, т.е.

h_0,1= h_0,1= h₀ , T_0,1= T_0,1= T₀ , T_*,1= T_*,1= T_* , a_*,1= a_*,1= a_* . (25.1)

Установим связь между V₁ и V₂. Из (24.1) и (23.1) имем

V₁ - V_{2= -}

или, так как согласно (11.2) р/ ρ₂₌а²/к,

V₁ - V₂₌ - (25.2)

Уравнение энергии (23.6) запишем в кимнематической форме (12.6) как

+ = + = (25.3)

откуда вытекает, что

а_i²= a² - V_i² (i=1,2)

Эти равенства позволяют исключить величины а_i²(i=1,2) из (25.2) и после простых преобразований прийти к уравнению

(V₁ - V₂₎ (1-)=0

Поскольку при скачке уплотнения V₂< V₁, то из этого уравнениия следует

V₁V₂ = a². (25/4)

Это известная формула Прандля может быть записана в безразмерном виде для приведенных скоростей λ_i=V_i|a_* (i=1,2)

λ₁λ₂=1. (25.4′)

Отсюда при учете неравенств V₁>V₂, λ ₁> λ₂ вытекает, что

V₁>a>V₂ или , λ ₁>1>λ₂ . (25.5)

Таким образом, перед прямым скачком уплотнения поток газа должен быть сверхзвуковым, а за скачком – дозвуковым. Кроме того, отсюда следует, что при возрастании λ ₁ величина λ₂ уменьшается, а разность ∆λ= λ ₁–λ ₂ увеличивается, т.е. скачок становится более сильным. Напротив, с уменьшением λ ₁ и приближением λ₁к 1 значение λ₂ возрастает и также стремится к 1, что означает ослабление скачка (∆λ → 0) и в итоге исчезновение его (точнее, переход в волну слабых возмущений – звуковую волну).

Перейдём в (25.4′) от λ_i к M_i=V_i/a_i (i=1,2) согласно (12.7) и в результате элементарных преобразований получим смязь между числами Маха М_i

M₂= (25.6)

Теперь определим величины p₁/p₂, ρ₂/ρ₁ и Т₂/Т₁ в зависимости от λ₁ или от М₁

Последовательно используя равенства (24.1), (11.2) и (25.4), запишем

Применяя здесь формулы перехода от М₁ к λ₁ и от λ₁ к М₁(12.7), получим

, (25.7)

или

. (25.7′)

Для ρ₂/ρ₁ из (23.1) и (25.4) найдем

(25.8)

или, с учетом (12.7)

(25.8′)

Отношение температур Т₂/Т₁ теперь может быть найдено с помощью уравнения Клапейрона (10.1,б) как , в результате будем иметь

, (25.9)

или

(25.9′)

Из формул (25.7)-(25.9) следует, что при возрастании интенсивности скачка, т.е. при λ₁λ_max= и/или при М₁

.

26. Скорости распространения ударной волны и спутного потока за нею

Здесь мы отойдем от схемы «неподвижного» скачка уплотнения и вернёмся к принятому выше в п.22 рассмотрению распространения ударной волны относительно невозмущенного первоначально покоящегося газа, т.е. к движению её относительно «неподвижной» системы отсчёта. Скорость этого движения равна W. Течение газа за фронтом ударной волны называется спутным потоком; его скорость равна V. Согласно изложенному в п.23, W и V связаны со скоростями газа относительно фронта ударной волны V₁ и V₂ равенствами

W=V, V=V₁–V₂ .

За меру интенсивности ударной волны можно принять сжатие газа на ней р₂/р₁ либо, как следует из результатов предыдущего п.25, число Маха

М₁= (26.2)

где a₁=– скорость звука в невозмущённом газе. Связь между этими величинами выражается равенством (25.7′), из которого найдём

= 1+. (26.3)

На основании (26.2) и (26.3) запишем

W=M₁a₁= а₁ (26.4)

Отметим 2 следствия из этого взаимоотношения

1. Поскольку для скачка уплотнения М₁>1 и р₂/р₁>1, то W>a₁, т.е. скорость распространения ударной волны всегда больше скорости звука в невозмущенном газе.

2. При уменьшении интенсивности ударной волны, т.е. при М₁ скорость распространения ударной волны стремится к скорости звука в невозмущенном газе. Таким образом, звуковую волну можно рассматривать как предельный случай ударной волны малой интенсивности, т.е. как волну слабых возмущений (см. п.11).

Для скорости спутного потока из (26.1) с помощью формулы Прандтля (25.4) получим

V=V₁–V₂=V₁–a_*²/V₁ (26.5)

или, в безразмерной форме,

λ=λ₁–λ₂=λ₁–λ₁^-1

Производя в (26.5) замену V₁=M₁a₁ и вытекающую из (25.3) подстановку

после простых преобразований будем иметь

V= (26.6)

Это выражение при учёте (26.3) преобразуется к виду

V= (26.7)

Из (26.6) и (26.7) видно, что при М₁1, р₂/р₁1, когда ударная волна переходит в звуковую, V0. Таким образом, в звуковой волне спутный поток фактически отсутствует, т.е. переноса газа не происходит.

Напротив, при больших М₁ (26.6) переходит в асимптотическую формулу

V~

согласно которой при больших интенсивностях ударной волны спутный поток за ней имеет скорость лишь немного меньшую, чем скорость распро-странения самой ударной волны.

Аналогичная асимптотика формулы (26.7) при имеет вид

V~ a₁ ,

т.е. при больших интенсивностях ударной волны скорость спутного потока пропорциональна квадратному корню из сжатия р₂/р₁ .