fizika / Физика билеты на экзамены / б (22) / 22
.docx22..Свободные затухающие колебания в колебательном контуре. Автоколебания.
Затухание свободных колебаний
Затуханием колебаний называется постепенное ослабление колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой. Закон затухания колебаний зависит от свойств колебательной системы. Система называется линейной, если параметры, характеризующие существенные в рассматриваемом процессе физические свойства системы, не изменяются в ходе процесса. Свободные затухающие колебания линейной системы описываются уравнением:
, (7.1.1)
где - коэффициент затухания, - собственная частота системы, т.е. частота, с которой совершались бы колебания в отсутствии затухания. Выражение коэффициента затухания через параметры системы зависит от вида колебательной системы. Например, для пружинного маятника где r - коэффициент сопротивления, т.е. коэффициент пропорциональности между скоростью и силой сопротивления. Для затухающих колебаний в колебательном контуре (рис.7.1.1): , где R - величина активного сопротивления контура.
Для решения уравнения (7.1.1) производится подстановка . Эта подстановка приводит к характеристическому уравнению:
, (7.1.2)
которое имеет два корня:
, . (7.1.3)
При не слишком большом затухании (при ) подкоренное выражение будет отрицательным. Если его представить в виде , где - вещественная положительная величина, называемая циклической частотой затухающих колебаний и равная , то корни уравнения (3) запишутся в виде:
и . (7.1.4)
Общим решением уравнения (7.1.1) будет функция:
(7.1.5)
которую можно представить в виде:
, (7.1.6)
Здесь и - произвольные постоянные.
В соответствии с (7.1.6) движение системы можно условно рассматривать как гармоническое колебание частоты w с амплитудой, изменяющейся по закону:
. (7.1.7)
Скорость затухания колебаний определяется коэффициентом затухания . В соответствии с выражением (7.1.7) коэффициент затухания обратен по величине тому промежутку времени, за который амплитуда колебаний уменьшается в «e»=2.718 раз. Период затухающих колебаний определяется формулой:
. (7.1.8)
При незначительном затухании () период колебаний практически равен . С ростом период увеличивается. Из соотношения (7.1.7) следует, что . Такое отношение амплитуд называется декрементом затухания, а его натуральный логарифм - логарифмическим декрементом затухания:
. (7.1.9)
Логарифмический декремент затухания обратен по величине числу колебаний, совершаемых за то время, за которое амплитуда уменьшается в «e» раз. Помимо рассмотренных величин для характеристики колебательной системы употребляется величина , называемая добротностью колебательной системы. Добротность пропорциональна числу колебаний, совершаемых системой за то время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в «e» раз. Большим значениям добротности соответствует малое затухание. Энергия колебательной системы убывает со временем. Это обусловлено наличием затухания. При малом затухании, когда энергия изменяется по закону:
, (7.1.10)
где - значение энергии в начальный момент.
Можно показать, что при слабом затухании добротность с точностью до множителя 2p равна отношению энергии, запасенной в системе в данный момент времени, к убыли этой энергии за один период колебаний.
С ростом g период колебаний увеличивается. При период обращается в бесконечность, т.е. движение перестает быть периодическим. При выведенная из положения равновесия система возвращается в него, не совершая колебаний.
Автоколеба́ния — незатухающие колебания в диссипативной динамической системе с нелинейной обратной связью, поддерживающиеся за счёт энергии постоянного, то есть непериодического внешнего воздействия.[1]
Автоколебания отличаются от вынужденных колебаний тем, что последние вызваны периодическим внешним воздействием и происходят с частотой этого воздействия, в то время как возникновение автоколебаний и их частота определяются внутренними свойствами самой автоколебательной системы.
Термин автоколебания в русскоязычную терминологию введён А. А. Андроновым в 1928 году.
Примеры
Примерами автоколебаний могут служить:
-
незатухающие колебания маятника часов за счёт постоянного действия тяжести заводной гири;
-
колебания скрипичной струны под воздействием равномерно движущегося смычка
-
возникновение переменного тока в цепях мультивибратора и в других электронных генераторах при постоянном напряжении питания;
-
колебание воздушного столба в трубе орга́на, при равномерной подаче воздуха в неё. (см. также Стоячая волна)
-
вращательные колебания латунной часовой шестерёнки со стальной осью, подвешенной к магниту и закрученной (опыт Гамазкова) (кинетическая энергия колеса, как в униполярном генераторе преобразуется в потенциальную энергию электрического поля, потенциальная энергия электрического поля, как в униполярном двигателе, преобразуется в кинетическую энергию колеса и т.д. )