Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Matematika / Модуль 1 / Лекция 1a (двойственность).doc
Скачиваний:
78
Добавлен:
26.04.2015
Размер:
214.53 Кб
Скачать

Лекция 1а Двойственность в линейном программировании

Вопросы:

  1. Понятия двойственности, теневой цены, двойственной оценки.

  2. Правила построения двойственной задачи.

  3. Основные теоремы двойственности и их экономическое содержание.

  1. Понятия двойственности, теневой цены, двойственной задачи.

Двойственность является одним из фундаментальных понятий в линейном программировании, приводящим к важному результату теоретического и практического характера. Рассмотрим понятие двойственности на примере задачи оптимального использования ресурсов.

На производство n видов продукции предприятие затрачивает m видов ресурсов, имеющихся в ограниченных количествах b = (b1, b2, …, bm). На производство единицы j-го вида продукции требуется aij единиц i-го вида ресурса. Прибыль от реализации единицы продукции Сj, j = . Необходимо определить такой план производства х = (х1, х2,…, хn), при котором прибыль предприятия была бы максимальной. Математическая модель задачи выглядит следующим образом.

С1х1 + … + Сnxn =F(x) m ax , xj 0, j = .

В общем случае задача решается симплекс-методом. Что ограничивает производство? Зададимся вопросом, какова с точки зрения предприятия ценность имеющихся в его распоряжении ресурсов? При решении этого вопроса будем иметь в виду, что ресурсы, которые предприятие не может полностью использовать, имеют для него очень низкую ценность, в том смысле, что предприятие не согласно нести даже небольшие расходы на увеличение запасов этих ресурсов. Дорогое оборудование, не участвующее в технологическом процессе, составляет для предприятия нулевую ценность.

Наибольшую ценность, очевидно, будут иметь те ресурсы, которые в наибольшей степени ограничивают выпуск продукции, а, следовательно, и прибыль предприятия и на увеличение запасов которых предприятие согласно затратить значительные средства.

Можно считать, что каждый вид ресурса обладает некоторой «теневой» ценой, определяющей ценность данного ресурса для предприятия с точки зрения прибыли от реализации выпускаемой продукции и зависящей от наличного количества этого ресурса и потребности в нем.

Кроме того, если сейчас используется один технологический процесс, требующий больших затрат некоторого ресурса, запасы которого ограничены, значит «теневая» цена велика, то завтра этот процесс может быть изменен таким образом, что позволит более экономно использовать все запасы ресурсов, следовательно изменятся «теневые» цены. Но как бы ни усовершенствовался технологический процесс совсем без ресурсов не обойтись. Таким образом, можно предположить, что существуют оптимальные теневые цены, соответствующие оптимальному распределению ресурсов.

В экономической литературе «теневые» цены часто называют объективно-обусловленными или оптимальными оценками, двойственными или учетными, неявными оценками.

Чтобы определить оптимальные «теневые» цены ресурсов необходимо составить и решить задачу оптимизации. Имеем те же исходные данные, что и для задачи оптимального использования ресурсов. Только теперь необходимо найти такие «теневые» цены ресурсов y = (y1, y2,… ,ym), при которых стоимость всех ресурсов была бы минимальна, yi – «теневая» цена единицы i-го ресурса, yi 0.

«Теневые» цены y = (y1, y2,… ,ym) должны быть такими, чтобы «теневая» цена всех ресурсов, затраченных на производство единицы продукции каждого вида, была бы не меньше получаемого от ее реализации дохода. Другими словами, стоимость затраченных ресурсов не может быть меньше стоимости окончательного продукта (так как существуют неизбежные издержки):

.

Оптимальными «теневыми» ценами естественно считать такие, которые минимизируют общую стоимость ресурсов.

.

Запишем обе задачи в матричном виде:

Прямая задача Двойственная задача

Ах АТy C

F = CTx Z =

x 0 y 0

Эти задачи называют парой двойственных задач. Пара двойственных задач может быть экономически интерпретирована следующим образом.

Прямая задача: Сколько и какой продукции xj необходимо производить,

чтобы при заданных стоимостях Cj и размерах ресурсов

bi максимизировать выпуск продукции в стоимостном

выражении?

Двойственная задача: Какова должна быть цена каждого ресурса yi,

чтобы при заданных количествах bi и стоимостях Cj

минимизировать затраты?