Картография / 4_мат карт_фрагмент для конспекта
.doc4.2. Системы координат на эллипсоиде
Широта – это угол между нормалью в т. А и плоскостью экватора; долгота – двугранный угол между плоскостями начального меридиана и меридиана т. А.
4.2.1. Географическая (геодезическая) и геоцентрическая СК
|
В произв. точке А (φ, λ) эл-да проведём нормаль АО’ к этой пов-ти, ч/з к-рую м. провести бесчисленное множество нормальных сечений. Из них выберем два главных: сечение, совпадающее с плоскостью меридиана PAP’, называемое меридиональным, и сечение, ортогональное первому в т. А, называемое сечением первого вертикала.
Радиусы кривизны этих нормальных сечений будут равны:
;
; (*)
где е – первый эксцентриситет, a, b – полуоси эл-да.
Рассмотрим пространственную геоцентрическую СК OХгYгZг, в к-рой начало совмещено с центром эл-да, ось Zг направлена на северный полюс Земли, ось Хг – в т. пересечения Гринвичского меридиана с экватором, ось Yг – на восток.
Тогда связь геоцентрической и географической СК м.б. записана в виде:
,
,
|
4.2.2. Топоцентрическая (горизонтная) и полярная сфероидическая (сферическая) СК
Топоц. гориз. СК наз. система, в к-рой начало совмещено с произвольной точкой пространства Q (φ0, λ0, H0), ось X лежит в плоскости меридиана точки Q и направлена на северный полюс, ось Z совпадает с нормалью O’Q0 к пов-ти эл-да в т. Q, ось Y – дополняет систему до левой.
Топоцентрические координаты, три величины, определяющие пространственное положение наблюдаемой точки или др. объекта (спутника, самолёта и т.п.) в системе координат, начало которой совпадает с пунктом наблюдения на земной поверхности (топоцентром). Употребляются в астрономии, астрометрии, геодезии и спутниковой геодезии при обработке результатов наблюдений. В зависимости от выбора основной координатной плоскости различаются экваториальные, горизонтальные и орбитальные топоцент. коорд.
Для установления связи этой системы Q0XYZ и геоцентрической СК OХгYгZг перенесём параллельно каждую из них в т. O’. Тогда формулы связи топоцентрической и географической систем координат принимают вид:
;
;
;
где h – превышения точек (при отображении пов-ти Земли все h=0), φ, λ – координаты текущей точки; φ0, λ0 – координаты полюса в топоцентрической СК.
Теперь введём сфероидическую полярную СК z=const, a=const, где а – углы между нормальными плоскостями в точке полюса Q, z – углы между нормалью O’Q0 и направлениями в точке О’ на текущие точки Сi, лежащие в соответствующих нормальных плоскостях. Обозначим CO’=N0’ и из рисунка следует:
X = N0’sinzcosa
Y = N0’sinzsina
Z = N0’cosz – N0
– формулы связи топоцентрической и сфероидической СК.
Если в т. С провести нормаль СО'' к эллипсоиду, к-рая пересечётся с осью вращения эл-да в точке O'', то образуется треугольник O'O''C. Учитывая широту данной точки, значения сторон O'C = N'0, O''C = N, O'O'' = e2(Nsinφ – N0sinφ0), получим в результате преобразований формулы связи географической и полярных сфероидических координат:
4.3. Общая теория картографических проекций
Картографическая проекция – математически выраженный способ отображения Земли или другого небесного тела принимаемого за шар или эллипсоид на плоскости. Общие уравнения карт. пр. имеют вид:
x=f1 (, ) (1)
y=f2 (, )
, – геогр. координаты некоторой точки на картографируемой пов-ти, x и y – прямоугольные координаты изображения этой точки на пл-ти в проекции, определяемой функциями f1 и f2, при условии, что эти ф-и однозначны и непрерывны.
Св-ва пр. и будут зависеть от этих ф-ций. Поскольку этих функций множ-во, то получаемые пр-ции тоже м.б. разнообразными.
Каждой пр-ции соответствует определённая картографическая сетка мер. и пар., к-рая составляет матем. осн. создаваемых карт.
Положение мер. и пар. на картогр пов-ти определяется географическими координатами: широтой и долготой . Широта – это угол мж плоскостью экватора и нормалью в данной точке. Долгота – угол мж плоскостью начального мерид. и плоскостью, проходящей через данную точку.
Геодезические широта и долгота отличаются от соответствующих астрономических координат, связанных с отвесной линией, так как отвесная линия не совпадает с нормалью к эллипсоиду.
Каждая карта имеет главный м-б, который показывает общую степень уменьшения всей картографируемой территории при изображении на плоскости. Гл. м-б подписывается на карте, но сохраняется только в отдельных точках или на некоторых линиях карты. Поскольку главный масштаб на карте является величиной переменной, вводится понятие частных м-бов длин и площадей в данной точке.
Частным м-бом длин называется отношение длины беск. малого отрезка на карте ds` к длине соответствующего беск. малого отрезка на пов-ти эллипсоида или шара ds
= ds`/ ds (2)
Искажением длин (v) называется разность мж частным масштабом длин и единицей, выраженная в процентах, например
m=1.20, vm = (m-1) * 100%=+20%
n=0.78 vn = (n-1) * 100%=-22%
Частным масштабом площадей называется отношение бесконечно малой площади на карте (в проекции) к соответствующей б.м. площади пов-ти эл-да или шара
p = dF`/dF. (2*)
Как правило, dF`≠dF, но сущ-ют р/вел картографические пр-ции, в каждой точке к-рых dF`=dF. Ч.м. зависит от геогр. положения эл-та площади, т.е. от широты и долготы.
Искажением площадей (vp) наз. разность между м-бом площадей и единицей, выраженная в процентах
vp=(p-1) * 100%
Искажения углов (∆u) характеризуются разностью между величиной угла в проекции (u`) и величиной соответствующего угла на картографируемой пов-ти (u). Как правило, эти углы не равны, но существуют р/уг пр-ции, в каждой точке которых u`= u.
∆u = u`– u.
Величины искажений являются одним из основных критериев оценки достоинства карт. произведений.
4.3.1. Масштаб длин, масштабы по меридианам и параллелям
Из (2) масштаб длин:
= ds`/ ds
но
- б.м. отрезок на карте
- б.м. отрезок на пов-ти эллипсоида (из сферического треугольника)
В этом треугольнике б.м. дуга меридиана
, где М – радиус кривизны меридиана.
, где r – радиус кривизны параллели, r=Ncosφ, N – радиус кривизны первого вертикала. Подставляя в (2) формулы (*), получим
Введём известные коэффициенты Гаусса:
.
Тогда
(3), где
; ; .
При
α = 0° µ2 = m2 =P,
масштаб по меридианам
;
при
α = 90° µ2 = n2 =R,
масштаб по параллелям
.
4.3.2. Изображение линейного элемента (азимута) в проекции
Азимут произвольного направления α в проекции обозначим через β. Для определения β построим на плоскости изображение элементарной сфероидической трапеции.
Найдём угол ψ, который образует элементарный отрезок ds с положительным направлением оси Х
Пользуясь этой формулой, можем найти также углы γm и γn, к-рые образуют с положительным направлением оси Х меридианы и параллели (или касательные к ним). Принимая =const для параллели и =const для меридиана, найдём
Найдём азимут элементарного отрезка ds: , тогда путём преобразований получим
На основании рисунка м. получить угол i между изображениями меридианов и параллелей
; (4)
Вместо угла i в мат. карт. обычно пользуются углом ε, к-рый показывает уклонение угла между меридианами и параллелями от 90о, эта величина характеризует неортогональность картографической сетки
И тогда
Для того, чтобы сетка была ортогональна, показатель неортоганальности ε д.б. равен нулю, т.е. ε = 0, когда f = 0, т.е. условие ортогональности выполняется.
4.3.3. Эллипс искажений. Максимальный и минимальный масштабы длин.
Возьмём на картографируемой пов-ти окр-ть б.м. радиуса и исследуем, как эта окружность будет изображаться в пр-ции. Из т. А', к-рая явл. изобр-ем заданной на картографируемой пов-ти т. А, проведём напр-я, совп. с напр. меридиана, принятым за ось Х, углы β1, β2 и т.д. На этих направлениях отложим отрезки, численно равные значениям масштаба длин μ1, μ2 и т.д.
Соединив конечные точки этих отрезков, мы получим кривую, которая хар-ет изм-е м-ба длин в зависимости от азимута.
Приняв т. А' за начало прямоуг. кд и за полюс плоских полярных координат (β и μ), м. написать
, .
Тогда
, .
Подставим эти значения в (3), и установим, что исследуемая кривая является эллипсом. Следовательно, б.м. эллипс в каждой точке на карте, являющейся отображением б.м. круга на пов-ти эл-да или шара, наз. эллипсом искажений.
Примем, что меридианы и параллели проходят ч/з оси X' и Y', совпадающие с главными направлениями
Известно, что
;
.
Решим эти уравнения совместно и получим искомые экстремальные масштабы:
, , где (5)
Значение i известно из (4).
4.3.4. Масштаб площадей и максимальное искажение углов
Из (2*) известно, что p=dF'/dF.
Путём преобразований получим p=ab=mncosε
Максимальное искажение углов ω:
или