Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Коршунов лабораторные / Всякая всячь о матриц.doc
Скачиваний:
11
Добавлен:
26.04.2015
Размер:
407.55 Кб
Скачать

прогресс

Аристотель (384 – 322 до н.э.) далее 1800 лет мракобесия

Коперник (1473 - 1543) управляющий провинцией Вармия (Польша) упростил формулы орбит, поместив в полюс солнце, отсюда и все послед религ дикость

100лет Галилей (1564 - 1642) отрицал притяжение тел, обнаружил равенство скор. падения

100лет Ньютон (1642 - 1724) обнаружил притяжение тел

50 лет Ломоносов(17..): тела притягиваются за счет экранизации ими косм лучей, кои давят

Сейчас – якобы подтверждается экспериментально его предположение

Разное о матрицах (записи 1975 – 1985 год)

Евклидово пространство – это вещественное конечномерное линейное пространство, в котором введено понятие скалярного произведения и норма определена равенством . Если такое пространство комплексное, то оно называется унитарным.

. Векторы ортогональны, если . Если все векторы ортогональны, то такая система векторов называется ортогональной, а если к тому же норма каждого вектора равна единице, то ортонормированной и .

Если определитель матрицы А равен нулю, то такая матрица называется особенной или сингулярной. Она не имеет обратной (ее алгебр.дополнения не делятся на ее определитель, тождественный нулю).

|A-1 | = |A |-1 и |A-1 |т = |Aт |-1 Норма ||Ap || = ||A||p.

Модуль матрицы это матрица модулей элементов.

Элементарные преобразования:

Перестановка двух строк (столбцов),

Умножение строки (столбца) на число,

Прибавление к строке (столбцу) соответственных элементов других строк (столбцов).

С помощью элементарных преобразований получают эквивалентные матрицы.

Матрица, приведенная к диагональному виду элементарными преобразованиями (при получении эквивалентной системы уравнений) отличается от диагональной матрицы собственных чисел (полученной из исходной ортогональными преобразованиями).

Окаймление матрицы A

Ранг столбцов-векторов, т.е. максимальное число линейно независимых столбцов матрицы N называется рангом матрицы.

Ранг матрицы равен наивысшему порядку отличных от нуля миноров матрицы N. Так если из всех возможных миноров порядка i окажется один (!) неравный нулю, а миноры i+1 порядка все равны нулю, то ранг матрицы N равен i.

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений тогда и только тогда совместна, когда ранг расширенной матрицы N= [N,L] равен рангу матрицы N.

Это свойство вытекает из того обстоятельства, что при наличии решения системы вектор L будет линейной комбинацией векторов-столбцов матрицы N: (множится строка N на столбец X): . То есть эти векторы линейно зависимы по определению.

Совместная система обладает единственным решением тогда и только тогда, когда ранг матрицы равен числу неизвестных.

Неравенство Коши – Шварца –Буняковского: где модули (длины) или нормы векторов.

С помощью нормы вектора норма вещественной квадратной матрицы определится так . Из этого определения следует, что , а также

Евклидова норма . Для нее .

Евклидова норма сохраняется при ортогональном преобразовании А, так как сохраняется длина вектора, т.е. для y=Ax имеем и

Еще две нормы векторов, которые порождают две нормы матриц

1-норма порождает и - норма порождае

Для любой из этих норм .

Преобразование с сохранением этих норм осуществляется классом матриц менее общим, чем класс ортогональных матриц.

Ортогональная матрица A такая, каждый элемент которой равен его алгебраическому дополнению.

Произведение ортогональной матрицы , т.е. сумма квадратов элементов любой строки (столбца) равна единице, а сумма произведений элементов двух строк (столбцов) = нулю (то, что называют условием ортогональности).

Ортонормированная матрица – ортогональная матрица, нормированная определителем. Определитель ортонормированной матрицы равен 1. Поэтому . Так как ортонормированная матрица не изменяет длину вектора, то ее собственные числа λi равны единице. След = порядку=рангу.

Это значит, что в ортонормированной матрице 3х3 шесть элементов связаны условиями ортогональности и только три независимы.

Ортогональное преобразование какой-либо матрицы А.

По (Дж.Форсайт и К.Мюлер. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений.- М.: Мир, 1969, 166 стр.). Теорема (чья?). Для любой вещественной матрицы А существуют две вещественные ортогональные матрицы (n*n) B и C такие, что BтAC есть диагональная матрица . Более того, можно выбрать B и С так, чтобы диагональные элементы = имели вид 12 r>r+1= n=0.

Здесь r есть ранг матрицы А. Если А не вырождена, то 12 n >0.

Тогда числа 1 2 r r+1 n называют сингулярными числами матрицы А. Они суть неотрицательные квадратные корни собственных значений симметрической матрицы AAт.

Доказательство?. Если y=Ax, и мы развернем обе системы координат, имеющих одну и ту же размерность n, то y=Bтy’, x=Cx.

Отсюда y’=Bт y = Bт (Ax)= Bт A C x’ = (Bт AC)x’ = Mx. И согласно теореме yi= i xi.

Получим симметрическую матрицу Mт M= (Bт AC)т (Bт AC)= C т AтB (Bт AC).

Так как B Bт=Е, то Mт M= C т (Aт A)C.

Ортогональная матрица С не изменяет длину вектора (а где показано, что она нормирована?). Значит, ее собственные числа равны единице. Поэтому собственные числа полученной Mт M и исходной Aт A соответственно равны.

Собственные числа Mт M суть диагональные элементы i 2, а собственные числа Aт A диагональные i . Поэтому i =i симметрической матрицы Aт A.

Так как первое сингулярное число наибольшее, тот . Так как последнее не равное нулю сингулярное число наименьшее, то, если r=n , т.е. матрица не вырождена, .

Собственные числа, собственные векторы

Если есть ненулевой вектор x и Ax=, где число, то называется собственным числом, а совокупность - спектром A

Множество векторов x для одного называют подпространством . x будет собственным вектором А. Необходимо и достаточно, чтобы он (x) был решением однородной системы с матрицей .

Чтобы было собственным значением А необходимо и достаточно, чтобы определитель вида . Этот определитель есть характеристический многочлен

.

где коэффиценты ar равны сумме всех миноров порядка :

так a1 –сумма миноров первого порядка есть след= Spur=trace = aii=λi

am- минор порядка mопределитель матрицы А .

ПАРАМЕТРЫ поворота координатной системы

Найдем собственные значения i ортогональной матрицы A. Для этого решаем вековое уравнение (A -E) P=0. Так как матрица поворота имеет размер 3х3, то оно равнозначно однородной системе трех линейных уравнений с неизвестными P1,P2 и P3. Эти неизвестные суть компоненты собственного вектора P.

Если бы мы попытались решить эту однородную системы по правилу Крамера, как отношение определителя матрицы системы, в которой столбец коэффициентов при соответствующем неизвестном заменен столбцом свободных членов, к определителю системы, то получили бы неопределенность. Например, для неизвестного Р1 имеем

Система имеет решение, отличное от нуля только тогда, когда определитель системы равен нулю: =0. Этот определитель называют также характеристическим или вековым уравнением матрицы А. Приведем его к алгебраическому виду:

=0 = где след , так как , т.е. на главной диагонали E три единицы; С - сумма сочетаний ? из трех по два , а единица – это определитель ортонормированной матрицы А.

Решение Кардано этого кубичного уравнения дает (решается подстановкой ), , и т.д. (см. Корн и Корн стр.43, см. Курош )

т.е. один действительный и два мнимых корня. Так как ортогональное преобразование не изменяет длину вектора, то модули всех этих корней должны быть равны единице.

Найдем собственные векторы. Найдем Р для первого корня 1=1.

Надо все перепроверить , где

Проверка: по условию длина вектора Р равна единице: отсюда сумма квадратов числителей дает квадрат знаменателя.

Векторы для комплексных корней будут комплексными сопряженными , где Х=?? и У= ??. Они удовлетворяют матричному уравнению :

Складывая и вычитая эти равенства и подставляя выражения корней в тригонометрическом виде, получаем

Покажем, что векторы P, X и Y образуют ортогональную систему. Рассмотрим векторы . Умножив справа на матрицу ортогонального преобразования А, получим новый вектор , ортогональный к этому. Найдем скалярное произведение : . Так как , то . Далее . Так как , то. Это показывает, что рассматриваемые векторы ортогональны. Тригонометрические равенства показывают, что векторы Х и У, ортогональные к Р, повернулись вокруг оси Р на угол . Вектор Р сохранил длину и направление, так как удовлетворяет матричному уравнению .

Итак, любому ортогональному преобразованию соответствует поворот твердого тела (ортогонального трехгранника ХУР) на угол . Так как длина Р равна единице, то его проекции Р1, Р2 и Р3 суть его направляющие косинусы, те, кои мы нашли из решения как и сам угол .

Следовательно, эти четыре параметра Р1, Р2 , Р3 , - определяют поворот твердого тела, равно как параметры Эйлера и как углы Эйлера или углы Крылова с их направляющими косинусами.

По этим параметрам можно найти их функции:

причем 2+2+2+2 =1.

Эти функции в американской литературе называют параметры Родригеса-Гамильтона. В математике эти параметры носят название симметричные параметры Эйлера (Г.Корн и Т.Корн, стр. 448) и обозначаются теми же символами.

Матрица ортогонального преобразования

В литературе встречаются параметры a,b,c, k=1+1/4(a2 +b2 +c2 ), через которые матрица вращения предстает в виде проверить знаки на гл диагон

Вращение можно выразить также через вектор Гиббса, спиновые матрицы Паули, параметры Кэли-Клейна, а также кватернионами.

Кватернион (Hamilton,1844). Матрица вращения, соотнесенная с единичным кватернионом q=a+α, где |q|=1; a – скаляр, действительная часть; α - вектор, мнимая часть, α=(bcd )T, причем .

Если вектор, вокруг которого происходит вращение, совместить с координатной осью, то получим матрицу вращения вокруг этой оси. Произведение трех вращений даст нам направляющие косинусы. Если пользоваться только положительными вращениями, то существует 12 систем углов Эйлера. Причем выбор некоторых углов при равенстве такого угла нулю или 90 градусов приводит к неоднозначности. Например, в фотограмметрии таковы суть углы наклона ω, дирекционный угол базиса фотографирования τ, угол вращения базиса вокруг собственной оси θ.

Сделать такое же ортогональное преобразование для плоскости

Перевод матрицы коэффициентов Эйлера в матрицу Родригеса

1) Вынесем из матрицы общий множитель 2, т.Е. Вместо векторов , ,  и  оставим только   . Получаем

где

Имея в виду, что , а tg изменяется от нуля до бесконечности при = /2, находим, что a, b, c - это компоненты вектора Гиббса, так как , то ???? как это тогда a b c другие .

Если из этой матрицы вынести еще 4, то получим матрицу Родригеса

нужно проверить коэффициенты матрицы, написал их по памяти

где

В матрице Эйлера параметры связаны, так как sin , а = сos ???

Матрица, которой пользуюсь я с давних 70х

=*;

(отлич от матр. Родригеса коэффициентами 1/4? проверить ее)

Погорелов использует такую 2006): (2.8)

Цифровая дискретная линейная двумерная обработка изображений

Линейные операторы, операторы псевдообращения, решение систем линейных уравнений

Векторы и матрицы, действия с ними

Сингулярное разложение матриц

Любую матрицу А размера n*n, имеющую ранг r можно представить в виде взвешенной (в) суммы матриц единичного ранга размера m*n. Такое представление называется сингулярным разложением UтAV= 1/2 , где на главной диагонали 1/2 стоят сингулярные значения матрицы А.

Матрицы U и V унитарны, поэтому Uт Um и Vт Vn. Умножая их на А слева и справа, получаем UтAV= U 1/2 Vт.

Столбцы U суть собственные векторы um симметрической матрицы ААт , то есть Uт (A Ат )U= , где на главной диагонали r ненулевых собственных значений ААт, остальные m-r суть нули.

Строки V суть собственные векторы vm симметрической матрицы Ат А , то есть V т (A Ат )V= , где на главной диагонали r ненулевых собственных значений Ат А, остальные n-r суть нули.

Разложение U тAV= 1/2 можно представить в виде ряда A= u v.

Матричные произведения собственных векторов образуют набор матриц единичного ранга, каждая из коих умножается на весовой множитель, который есть сингулярное значение матрицы А.

Согласованность можно показать подстановкой 1/2 = UтAV = 1/2 j Uт uj vj т V.

Здесь Uт uj дает вектор-столбец, j-й элемент которого равен единице, остальные нулю.

Здесь vj V дает вектор-строку, i-й элемент которой равен единице, остальные - нулю.

Поэту в правой части образуется диагональная матрица, элементы корой равны элементам

Функционал (линейный и нелинейный) – есть числовая функция, аргументы которой суть векторы. Примеры функционалов: норма, скалярное произведение, объем, определитель Грамма, билинейная и квадратичная формы.

Производная функционала есть функционал .

Производная по направлению у как функция у есть линейный функционал . Z-вектор называют градиентом функционала F(x) в точке (x) и обозначают grdF(x).

Чтобы производная функционала была равна нулю, нужно, чтобы yz (y,z)=0. Т.е. был перпендикулярен ко всем векторам базиса (какого-нибудь).

grd(x,f)=f

grad(Ax,x)=2Ax

grd((Ax,x)-2(b,x)+c)=2(Ax-b) (ошибки решения).

08_07_05. Предлагаю Типы задач по м.н.к.

1 тип. Даны координаты точек (ху), нужно найти параметры их связи: коэффициенты полиномов или же, как в фотограмметрии, параметры, которые связывают коэффициенты полиномов, .

Для такой задачи, если ковариационная матрица K=E, то сумма элементов строки (столбца) проектора U равна нулю. В других случаях суммы не равны нулю.

(по сути задачи, это отыскание прямой (линии) регрессии)

2 тип. Даны параметры (a,b) нужно найти координаты(x,y) центра скрещивания кривых, проходящих через точки (x,y). Точка засечки (прямой) (центр треугольника погрешностей)

Для такой задачи сумма элементов строки (столбца) проектора U НЕ равна нулю (или равна 0 при ортогональности?). (по сути задачи , это отыскание центра тяжести)

Вставить файл *.pdf из Exсel

Терминология (разное для вставки)

Определитель Грамма Г есть определитель матрицы коэффициентов нормального уравнения. Так как N=(ATA) неотрицательно определенная, то определитель неотрицателен.. Геометрически – это квадрат k-мерного объема, образуемой векторами – коэффициентами матрицы уравнений поправок. Например, при k=3, это квадрат объема параллелепипеда. Определитель показывает уменьшение объема параллелепипеда по сравнению с объемом единичного куба. Он служит мерой линейной независимости векторов (столбцов) коэффициентов Ур Поправок. Чем меньше Г, тем более сплюснут параллелепипед, тем больше нужно удерживать значащих разрядов числа. Если этого нельзя сделать, то точность решения снизится. Сумма квадратов строки (столбца) элементов N -есть квадрат длины ребра параллелепипеда. ( не забывать о размерности, о нормировании)

Теорема Адамара – (очевидная) Г/V<1 – объем V параллелепипеда не превосходит произведения П длин его ребер и равен ему при их взаимной ортогональности.

Линейный оператор – матрица A в равенстве Y=AX, есть оператор линейного преобразования, он называется аффинор. Тогда элементы матрицы называют компоненты оператора.

Тензор. В физике аффинор называют тензором, а уравнение Y=AX тензорным уравнением.

Он первый предложил. Н.А.Урмаев. О применении матричного исчисления в способе наименьших квадратов Инф.-техн.сб. ВТС №12,1944г.

А.И.Мазмишвили. Некоторые обобщения в области алгебраической теории уравнивания и оценки точности геодезических построений. Тр.МИИГАиК, вып.24, 1957г. (Здесь впервые в геодезии внедиагональные элементы матрицы весов толкуются как коэффициенты корреляции. Он же- матричное исчисление в м.н.к.).

Преобразование Фурье содержит только частотную информацию (ноты: высота звука), временная информация (длительность звучания и паузы) теряется.

Вейвлет-преобразование дает не только частоту, но и моменты этих частот (wavelet –рябь,мал.волна). Легло в основу КРАТНОМАСШТАБНОГО анализа - метода анализа и обработки синалов (Mallat,1987)

Дифференцирование неявных функций. Для этого преобразовать неявную в ту явную, что проще. Первая ее производная по аргументу. Из нее обратная по нужному аргументу

Вторая производная от неявной функции. Если делать по шаблону, то не получим ее. Действительно

по аналогии с первой получим: Правильно так

,

Неявная функция нескольких переменных

Первые производные для первого полинома: .

Отсюда .

Соседние файлы в папке Коршунов лабораторные