Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Коршунов / М03ЧислХарСВ.doc
Скачиваний:
17
Добавлен:
26.04.2015
Размер:
133.63 Кб
Скачать

5

MMO-Le03 21/10/97(гл.4) посмотреть сравнить с лекцией 06

Числовые характеристики СВ

Требования к оценкам

Оценки наблюдений, измерений

1. Состоятельность

2. Эффективность

3. Несмещенность

4. Достаточность оценки

3.3.1.3. Другие характеристики СВ

=-====

Оценки наблюдений, измерений

Наша задача не только измерить, но и обработать измерения. Обработка идет автоматически, по некоторому алгоритму или вручную. Необходимо, чтобы обработка шла с минимальными погрешностями.

Цели обработки измерений различны: оценка точности, отбраковка, автоматическое наведение, автоматическое стерео-наблюдение, отождествление, распознавание, выделение границ контура, и другие цели, о которых упомянем позже.

Вы изучали обработку измерений углов и координат. В фотограмметрии сверх этого обрабатывают изображения (полутон) и графику (бинарное изображение). Здесь главное отличие в том, что решается не только задача измерения (координат точек), но и другие задачи: поиск цели, позиционирование марки, отождествление контуров и строк и т.п.

Поэтому на базе Вами изученного расширим понятия характеристик свойств объекта и числовых оценок этих характе-ристик. Прежде всего, никаких “ошибок» и «среднеквадратических ошибок”. Ошибки делаете вы: измерили не те координаты, навели не на тот контур ит.п. Колебания высот точек, количества точек, оптической плотности, присущи объекту, это его свойства. Поэтому можно говорить о каких-то средних значениях и отклонениях от них, но никак не об ошибках.

Любые объекты, а равно и результаты их наблюдений, измерения суть случайные величины (СВ). Полную характеристику поведения СВ дает закон распределения (функция распределения (ФР) или (если существует) функция плотности вероятности (ФПВ). Знание закона распределения необходимо в отдельных случаях: например, при отработке технологии измерений, при статистической характеристике объекта наблюдений и т.п. Для большинства задач практики фотограмметрических и других работ требуются численные оценки некоторых числовых характристик, таких как искомое значение величины (Математическое ожидание), точность определения этого значения (дисперсия, ско и другие). Наряду с ними требуются еще числовые характеристики, удостоверяющие качество этих оценок (асимметрия, эксцесс для подтверждения/ отклонения предполагаемого закона распределения; доверительный интервал – для подтверждения реальности, надежности найденных оценок).

Широко используют числовые характеристики, которые суть параметры или функции параметров закона распределения (например, МатОжидание- параметр, СрКвОткл- функция параметра «дисперсия»).

Различают точечные характеристики, представляющие одно числовое значение, и интервальные – содержащие одно или два значения, которые обозначают границы интервала, в котором может находиться значение этой характеристики при данных условиях. В принципе и точечные характеристики суть значения одной из границ интервала.

Теоретические выражения (формулы) для нахождения значений характеристик находят различными способами. Параметрические находят из параметров закона распределения (МО, дисперсия, λ ламбда), непараметрические - из некоторого условия, важного для решения некоторой задачи (например, «длина границы контура» «площадь контура» или «сжатость контура : отношение длины границы к площади контура»). Одни характеристики имеют всемирное применение, закреплены в разных странах законодательно; другие - ограниченное. Но не следует считать, что чем шире распространена характеристика, тем она лучше: каждая хороша на своем месте в соответствующих условиях.

Те же МО и СКО – в целом ненадежные характеристики: они показывают правдоподобное значение только для отдельных законов распределения, а для многих законов они вообще не существуют. Но они обладают тем преимуществом, что наглядны и понятны, а их значения легко вычислять по измерениям, наблюдениям.

Вычисляют характеристики по определенным правилам, исходя из некоторых теоретических посылок. Для установления правил применяют различные методы. Широко применяются

метод моментов (П..Л. Чебышев), основан на интеграле Лебега-Стилтьеса,

а также метод максимального правдоподобия (R. A. Fisher), основан на Функции Плотности Вероятности,

а также методы статистики (Стьюдент, Мозес), основанные на частотах появления, ранжировании и др.,

а также методы теории вероятностей (Колмогоров), основанные на вероятностях появления события.

Получение характеристик по методу моментов

В общем виде момент вычисляется по интегралу Стилтьеса (голландский математик (1856-1894) его идея интегрирования одной функции относительно другой). Этот интеграл называют также интегралом Лебега-Стилтьеса

k= k(x) f(x)dx,

где (x) - неслучайная функция от х (интегрируемая), она определяет числовую характеристику (т.е. пишете формулу, по которой вычисляется характеристика, например 1 или x, или x2 и т.д.); - функция плотности вероятности (интегрирующая функция) какого-то закона, для измерений, обычно нормального.

С обычной точки зрения вроде ничего особенного в этом интеграле нет. Ведь можно представить, что любая подынтегральная функция умножена на единицу. Если принять ее за вес (полную вероятность), то для любого dx можно подставить его частный вес (плотность вероятности в точке x), и значение интеграла будет умножено на эту самую единицу, но это будет другое число, ибо доли каждого б.м. приращения функции будут во много раз меньше, нежели при f(x) тождественной единице.

Пример какой-нибудь характеристики и общепринятой характеристики–МО и дисперсии при ф.п.в. нормального распределения.

Есть определенные условия существования этого интеграла, т.е. свойства функций, при которых интеграл берется. Поэтому для ряда распределений некоторые числовые характеристики, определяемые этим интегралом, (например, дисперсия, среднее значение) не существуют. Однако арифметически числа по приведенным выше формулам можно подсчитать и для них. Но только из эксперимента!

Числовые значения характеристик, подобных k или функциям k можно вычислить по группе наблюдений, образующих статистическую выборку. Получим статистические характеристики. То есть, если располагаем вероятностями появления разных значений случайной величины, полученными, например, по частотам появления этих значений, то можем вычислить значения характеристик без функций распределения.

Для дискретной СВ интеграл переходит в сумму, а ф.п.в. - в набор вероятностей. Под знаком суммы заменится вероятностью p i . В результате получаем формулы для вычисления значений числовых характеристик, как говорят, их оценок на основе значений СВ и вероятностей появления этих значений. При теоретических расчетах каждому дискретному х соответствует свое значение вероятности согласно его функции распределения.

Особенность вычисленных значений характеристик. При обработке ряда экспериментальных данных – выборки - мы не знаем закона распределения или его параметров. Поэтому исходим из произвольного априорного предположения, что появление любого значения в этой выборке имеет одну и ту же вероятность. Если выборка содержит n наблюдений, выполненных в одинаковых условиях, то мы ни одному из них не оказываем предпочтения. Мы полагаем, что все они равновероятны. Так как вероятность появления всей группы есть единица, то вероятность появления любого из них pi=1/n. Если наблюдений мало и нет дополнительных источников информации, то ничего другого мы предположить и не можем.

Если наблюдений очень много, то мы можем разделить их на порции и по количеству попаданий в каждую порцию определить вероятность появления ряда значений, средних в каждой порции. Для этого служит, например, метод интервалов, кой позволяет сформировать опытным путем ф.п.в. . Если интервалы равные, то вероятность попадания в тот или иной интервал будет различаться в зависимости от его положения относительно центра распределения (МО). (Подробно рассмотрим позже).

Формулы вычисления значений числовых характеристик (начального и центральных моментов) случайной величины, вероятности появления значений которой предполагаются равными pi=1/n:

Соседние файлы в папке Коршунов