Глава 10. Дисперсионный анализ измерений (1 а.Л.).

10.1. Задачи дисперсионного анализа.

10.2. Критерий Фишера

10.3. Одно и двухфакторный дисперсионный анализ.

10.4. Оценка влияния изменения фактора.

=============================================================

Введение

В лабораторной работе 2 при анализе точности измерений фотоснимков мы пытались отбраковать измерения по допуску, используя с.к.о. измерения наблюдателей. По этому допуску ничего отбраковать было нельзя. Почему? Потому что мы некорректно поставили задачу отбраковки. В чем состоит эта некорректность? Видимо в том, что мы не учли того обстоятельства, что оценка с.к.о. измерений каждого из наблюдателей, определяемая по расхождениям между выполненными им приемами (по уклонениям от его индивидуального среднего), будет отличаться от оценки с.к.о., находимой по расхождениям между наблюдателями.

Для проверки этого предположения (гипотезы) о существенности расхождения этих двух оценок точности нужно найти ту и другую оценки и сравнить это расхождение с некоторым критерием.

Так мы поступали при оценке равноточности двух рядов измерений в теме 6 или при проверке непротиворечия наблюдений некоему закону распределения (этот закон, по сути, есть второй ряд наблюдений, только не случайный, а функциональный, согласно функции распределения). Так же действовали при аппроксимации профиля полиномами.

Но нахождение оценок в двух рядах измерений не представляет затруднений. А как найти отдельно оценки той и другой погрешности по группе измерений, на каждое из которых воздействуют погрешности, присущие наблюдателю как таковому, и погрешности, характеризующие индивидуальное различие наблюдателей? Какой использовать критерий для обоснованной оценки существенности различия оценок? Решение этой задачи и дает дисперсионный (факторный) анализ. Дисперсионным он назван потому, что проводится сравнение дисперсий, а факторным - потому, что выявляется влияние фактора на основе этого сравнения дисперсий.

10.1. Задачи дисперсионного анализа

Основные требования к результатам измерений состоят в том, что они должны быть правильными и не противоречить нормальным законам распределения. На каждый результат влияет множество факторов (гл. 2). Если составляющие ошибки измерения, вызванные влиянием каждого из факторов, не преобладают над составляющими, другими, то согласно центральной предельной теореме А. М. Ляпунова сумма этих составляющих будет следовать нормальному закону распределения, независимо от того, какому закону следует каждая из составляющих.

Так как последующая обработка результатов измерений исходит из указанных требований, то необходимо установить такую методику наблюдений, которая исключает преобладающее влияние любого из факторов.

Под измерением мы подразумеваем не только непосредственное сравнение измеряемой величины (фотоснимка) с мерой (линейной шкалой), но и преобразование измеряемого объекта (трансформирование фотоснимка, построение геометрической модели по фотоснимкам), и измерение параметров, характеризующих технологический процесс (производительность труда, временные затраты, оценки качества продукции) и т. д.

Для выявления и учета влияния фактора мы должны выполнить следующее:

организовать эксперимент таким образом, чтобы исследуемый фактор мог проявить себя в полной мере, и выполнить измерения;

подобрать числовую характеристику, наилучшим образом характеризующую это влияние;

найти эффективную оценку этой характеристики по результатам эксперимента;

оценить значимость этого влияния с помощью некоторого объективного критерия;

выделить область изменений фактора, в пределах которой его влияние несущественно;

наметить пути учета этого влияния методикой измерений или обработки, условиями выполнения работ и т.д.

Рассмотрим подбор числовых характеристик.

Самый простой, но далеко не всегда эффективный подход-это сравнение двух средних: х₁ и х₂, полученных при разных значениях исследуемого фактора. Если влияние фактора настолько велико, что превосходит СКО определения этих средних более чем в четыре- пять раз, то влияние фактора очевидно, и такой подход применим.

Если же различие менее значительно, то анализируют более тщательно. Выявить влияние фактора на точность измерений можем, сравнивая СКО измерения, выполненные при одном и другом значении фактора. Как было рассмотрено в главе 6, такое сравнение также часто субъективно.

Для получения объективной оценки Р. А. Фишером в 1918-1935 годы была разработана теория дисперсионного анализа. Как следует из названия, она основана на анализе дисперсий. Но каких? Для ответа на этот вопрос рассмотрим схему получения дисперсии.

Пусть согласно гипотезе Лапласа об образовании ошибки измерения случайная ошибка _i получена как сумма составляющих ошибок _j, среди которых составляющая _ф, вызванная влиянием фактора Ф, будет существенно преобладать.

Тогда эту погрешность можно представить так , а дисперсия измерения определится по известной формуле дисперсии выборки .

Перенося r влево и раскрывая бином, получаем:

Слева здесь стоит произведение общей дисперсии S² на ее число степеней свободы . Справа - две суммы квадратов и сумма произведений.

Первая сумма не содержит погрешностей, вызванных фактором. Это та дисперсияS²_остат, которую мы получили бы при отсутствии влияния изучаемого фактора, умноженная на свое число степеней свободы . Назовем ее остаточной.

Вторая сумма квадратов -это дисперсия, вызванная влиянием фактораS²_факт, умноженная на ее число степеней свободы . Назовем ее факторной.

Третья сумма при условии нормальности измерении и отсутствии корреляции исследуемого фактора с другими факторами должна стремиться к нулю. Иначе следует выделить влияние второго, третьего и т.д. фактора.

Таким образом, мы разложили общую дисперсию на составляющие: на факторную и остаточную:

Если рассматриваем более одного фактора, то число слагаемых соответственно увеличится. Разложение применительно к статистическим характеристикам приведем в последующих пунктах этой главы.

Непосредственное сравнение частных дисперсий, если они различаются менее чем на порядок, не позволяет нам объективно судить о влиянии фактора. Для оценки значимости расхождения дисперсий нужен некоторый объективный критерий. Широко применяется критерий, оценивающий значимость отношения дисперсий - дисперсионное отношение. Оценку дисперсионного отношения, полученную из эксперимента, мы сравниваем с некоторым установленным теоретически ее предельным значением, учитывающим доверительную вероятность и количество принятых в обработку данных. Такое, независимое от наблюдателя сравнение позволяет принимать объективное решение.

Итак, путь решения следующий:

1) найти оценку общей дисперсии ,

2) найти оценку дисперсии, обусловленную данным фактором, ,

3) найти дисперсию, на которую не повлиял данный фактор, ,

4) сравнить дисперсии остаточную и факторную .

5) выбрать критерий, который позволяет с большей надежностью (вероятностью) оценить значимость расхождения этих дисперсий.

В основе данного метода лежит анализ дисперсий. Отсюда и его название. Цель анализа - выявить влияние фактора. Поэтому применяется и другое название - факторный анализ. Однако анализировать влияние факторов можно и другими методами, а не только анализом дисперсий. Например, корреляционный анализ выявляет влияние некоторого фактора в определенной ситуации. Поэтому далее будем применять термин дисперсионный анализ.

Пусть мы установили, что влияние фактора существенно. Какие отсюда могут быть выводы? Они зависят от конкретной ситуации.

1. Известна точность измерений. Неизвестна точка измерения Х. Тогда влияние фактора Ф выражается в том, что мы измеряем разные количества величины, например, наблюдаем разные точки контура. Говорят, что дисперсионный анализ служит для проверки нулевой гипотезы Н_о о равенстве центров рассеяния:

2. Известно значение измеряемой величины. Неизвестна точность измерения σ². Влияние фактора Ф приводит к тому, что мы измеряем одно и то же количество величины с разной точностью. Здесь дисперсионный анализ служит для проверки нулевой гипотезы о равенстве дисперсий измерений. Отклонение гипотезыН_о говорит о том, что в первом случае измеряем разные величины, а во втором - измеряем одну величину с разной точностью.

Следует подчеркнуть, что дисперсионный анализ только выявляет с некоторой вероятностью влияние фактора.

В последующем с помощью критерия Стьюдента или последовательным исключением некоторых выборок, можно установить границы влияния фактора.

Однако определить вид зависимости величины от значения фактора здесь нельзя. Это задача корреляционного (регрессионного) анализа.

Для объективной оценки значимости фактора нам нужно ввести некоторый критерий.