LA и FNP / LA-04

ÌÃÒÓ		ÔÍ-12	ÌÃÒÓ	ÔÍ-12	ÌÃÒÓ
	ЛЕКЦИЯ 4. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ МНОГОЧЛЕН И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ				53

ÌÃÒÓ ÔÍ-12

J Пусть характеристическое уравнение матрицы A порядка n имеет n различных действительных корней. Выберем произвольное n-мерное линейное пространство L, зафиксируем в нем некоторый базис b = (b1, b2, . . . , bn) и рассмотрим линейный оператор A, матрицей которого в базисе b является матрица A. По теореме 4.6 существует базис, в котором матрица A0 этого оператора диагональна. Согласно теореме 3.5, матрицы A и A0 подобны. Отметим, что на диагонали матрицы A0 стоят все попарно различные собственные значения матрицы A. I

Если характеристическое уравнение линейного оператора имеет кратные действительные корни, то такой линейный оператор может иметь диагональную матрицу в некотором базисе, но так бывает не всегда.

Пример 4.7. В двумерном линейном пространстве (например, в R2) рассмотрим линейные операторы, матрицы которых в некотором базисе имеют вид

	0	2	,		0	2	.
	2	0			2	1

ÌÃÒÓ 12-ÔÍ

	12-	Характеристические уравнения этих операторов совпадают и имеют вид (λ − 2)2 = 0. Поэто-
		му оба оператора имеют единственное собственное значение λ = 2 кратности 2. Матрица
	ÔÍ	первого линейного оператора уже имеет диагональный вид, т.е. исходный базис состоит из соб-
		ственных векторов этого оператора. Можно показать, что любой ненулевой вектор для этого
		оператора является собственным и потому для него любой базис есть базис из собственных
		векторов. У второго линейного оператора все собственные векторы отвечают собственному
		значению 2, но собственное подпространство линейного оператора для этого собственного
	ÌÃÒÓ	значения одномерно. Следовательно, найти два линейно независимых собственных вектора для
		этого линейного оператора невозможно и базиса из собственных векторов не существует. #
		При изучении заданного линейного оператора появляется мысль выбрать такой базис, в
		котором его матрица выглядит наиболее просто. Из вышеизложенного следует, что в опреде-
		ленных ситуациях линейный оператор в некотором базисе имеет диагональную матрицу. Чтобы
		это было так, оператор должен иметь базис из собственных векторов. Изменение базиса вызы-
		вает замену матрицы оператора подобной ей. Замену матрицы A диагональной матрицей A0,
	12	подобной A, называют приведением матрицы A к диагональному виду.
		Задача приведения матрицы к диагональному виду может рассматриваться самостоятельно,
		вне зависимости от изучения конкретного линейного оператора. Она состоит в подборе для
	-	данной матрицы A такой невырожденной матрицы P , что матрица A0 = P −1AP является
	ÔÍ
		диагональной.
		Пример 4.8. Выясним, можно ли привести к диагональному виду матрицу

		7	−12	6
A =		10	−19	10		.
		12	−24	13

ÌÃÒÓ

Если это возможно, найдем соответствующую диагональную матрицу и матрицу P преобразо-

вания подобия.

Найдем собственные значения данной матрицы.

Ее характеристическое уравнение имеет

вид

λE) =

7 −10

19−

λ

10

= 0.

det(A

−

λ

−

12

6

12

−24

13 λ

12-ÔÍ

−

−

−

Раскрывая определитель и решая характеристическое

уравнение, находим его корни: λ1 =

1,

λ2 = λ3 = 1. Видим, что имеются два собственных значения, причем одно из них кратности 2. Матрицу можно привести к диагональному виду, если сумма размерностей всех собственных подпространств (в данном случае матрицы, см. замечание 4.1) равна размерности линейного

12-ÔÍ ÌÃÒÓ 12-ÔÍ ÌÃÒÓ 12-ÔÍ

ÌÃÒÓ

ÔÍ-12

ÌÃÒÓ

ÔÍ-12

ÌÃÒÓ

ÌÃÒÓ		ÔÍ-12	ÌÃÒÓ	ÔÍ-12	ÌÃÒÓ
	ЛЕКЦИЯ 4. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ МНОГОЧЛЕН И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ				54

ÔÍ-12

пространства, в нашем случае — трем. Отметим без доказательства, что размерность собственного подпространства линейного оператора (матрицы) не превышает кратности соответствующего собственного значения. Проверим это на собственном подпространстве, отвечающем собственному значению λ1, для чего вычислим ранг матрицы A − λ1E:

Rg(A	λ1E) = Rg	10	−18	10	= 2.
−		8	−12	6
		12	−24	14

12-ÔÍ

ÔÍ-12 ÌÃÒÓ ÔÍ-12 ÌÃÒÓ ÔÍ-12 ÌÃÒÓ

Значит, размерность первого собственного подпространства равна 3 − 2 = 1.

Аналогично находим размерность второго собственного подпространства. Вычисляем ранг

соответствующей матрицы A − λ2E:			−20		= 1.
Rg(A λ2E) = Rg		10		10
−		6	−12	6
		12	−24	12

Размерность второго собственного подпространства равна 3 − 1 = 2.

Сумма размерностей обоих подпространств равна трем. Следовательно, базис из собственных векторов существует. Он собирается из базисов собственных подпространств. Чтобы его построить, нужно для каждого собственного значения λ найти фундаментальную систему решений СЛАУ (A − λE)x = 0. Фундаментальная система решений представляет собой базис линейного пространства решений однородной СЛАУ, в нашем случае собственного подпространства матрицы.

Для собственного значения λ1 = −1 получаем систему				0 .
10	−18	10	x2 =
8	−12	6	x1	0
12	−24	14 x3 0

Ранг матрицы системы равен двум, поэтому фундаментальная система состоит из одного столб-

ца. Например, можно взять столбец (3 5		6)т.
Для собственного значения λ2 = 1 получаем систему				0 .
10	−20	10	x2 =
6	−12	6	x1	0
12	−24	12 x3 0

Ранг матрицы системы равен единице, поэтому фундаментальная система состоит из двух

столбцов. Например, фундаментальную систему решений составляют столбцы (2 1 0)т и

(0 1 2)т.

Таким образом, базисом из собственных векторов матрицы A является система

e1	=	5			, e2 =		1		,		e3	=	1			,
			3					2						0
			6					0						2
а сама матрица A подобна диагональной матрице										.
					−0		1		0
						1	0		0
						0	0		1

Отметим, что матрица P преобразования подобия представляет собой матрицу перехода из одного базиса в другой, т.е. ее столбцы представляют собой столбцы координат векторов нового

12-ÔÍ ÌÃÒÓ 12-ÔÍ ÌÃÒÓ 12-ÔÍ ÌÃÒÓ

ÌÃÒÓ

ÔÍ-12

ÌÃÒÓ

ÔÍ-12

ÌÃÒÓ

ÌÃÒÓ		ÔÍ-12	ÌÃÒÓ	ÔÍ-12	ÌÃÒÓ
	ЛЕКЦИЯ 4. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ МНОГОЧЛЕН И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ				55

ÔÍ-12

базиса, записанные в старом. В нашем случае столбцы матрицы P определяются векторами «нового» базиса e1, e2, e3:

P =	3	2	0
	5	1	1		.
	6	0	2

Пример 4.9. Линейный оператор, действующий в трехмерном линейном пространстве, в некотором базисе имеет матрицу

12-ÔÍ

ÌÃÒÓ

A =	3	−2	−2	.
	6	−5	−3
	2	−2	0

Можно ли, изменив базис, привести матрицу этого оператора к диагональному виду? Составляем характеристическое уравнение линейного оператора:

ÌÃÒÓ

ÌÃÒÓ ÔÍ-12

6 − 3		2	−λ			−2 = 0.
	λ	− −		5	0	3
	2			2		−λ
			−			−

Раскрывая определитель, получаем

λ3 − 4λ2 + 5λ − 2 = 0.

Корнями характеристического уравнения являются числа λ1 = 1 кратности 2 и λ2 = 2. Для определения размерностей собственных подпространств линейного оператора, отвечающих этим двум значениям, вычислим ранги соответствующих матриц:

Rg(A	λ1E) = Rg	3	−3	−2	= 2,
−		5	−5	−3
		2	−2	−1

ÌÃÒÓ 12-ÔÍ

ÔÍ-12

Rg(A	λ2E) = Rg	3	−4	−2	= 2.
−		4	−5	−3
		2	−2	−2

Оба собственных подпространства линейного оператора, отвечающие двум собственным значениям, имеют размерность 3 − 2 = 1. Поэтому линейно независимая система из собственных векторов данного оператора может содержать максимум два вектора и по соображениям размерности не может быть базисом.

12-ÔÍ

ÌÃÒÓ				ÌÃÒÓ
ÔÍ-12				12-ÔÍ
ÌÃÒÓ	ÔÍ-12	ÌÃÒÓ	ÔÍ-12	ÌÃÒÓ

ÌÃÒÓ ÔÍ-12 ÌÃÒÓ ÔÍ-12 ÌÃÒÓ

ÔÍ-12 ÌÃÒÓ ÔÍ-12 ÌÃÒÓ ÔÍ-12 ÌÃÒÓ ÔÍ-12

	ОГЛАВЛЕНИЕ
Лекция 4.	Характеристический многочлен и собственные значения . . . . . . . . .
4.1.	Характеристическое уравнение матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.	Характеристическое уравнение линейного оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.	Собственные векторы линейного оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.	Вычисление собственных значений и собственных векторов . . . . . . . . . . . . . .
4.5.	Свойства собственных векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

	44	12-ÔÍ
	44	ÌÃÒÓ
	45
	46
	48
	51
		12-ÔÍ
		ÌÃÒÓ
		12-ÔÍ
		ÌÃÒÓ
		12-ÔÍ

ÌÃÒÓ

ÔÍ-12

ÌÃÒÓ

ÔÍ-12

ÌÃÒÓ