LA и FNP / FNP-10

ÌÃÒÓ		ÔÍ-12 ÌÃÒÓ	ÔÍ-12	ÌÃÒÓ
	ЛЕКЦИЯ 10. ДИФФЕРЕНЦИАЛ			40

ÔÍ-12 ÌÃÒÓ ÔÍ-12 ÌÃÒÓ ÔÍ-12 ÌÃÒÓ ÔÍ-12

10.5. Дифференциалы в приближенных вычислениях

Дифференциалы функций нескольких переменных и формула Тейлора для функций несколь-

ких переменных могут использоваться в приближенных вычислениях примерно так же, как и в случае действительных функций одного действительного переменного. Применение аппарата функций нескольких переменных предпочтительнее, когда в вычисляемом выражении есть несколько величин, которые могут меняться независимо друг от друга. Покажем это на нескольких примерах.

Пример 10.8. Вычислим приближенное значение

p

.

12,012 + 4,982

x

2

+ y

2

в точке с

Это выражение можно рассматривать как значение функции f(x, y) =

координатами x = 12,01, y = 4,98. Полагаем a = 12, b = 5,

x = 0,01,

y = p−0,02. Тогда

f(x, y) = f(a + x, b + y) ≈ f(a, b) + fx0 (a, b)Δx + fy0 (a, b)Δy.

В точке (12, 5) значение функции равно √

= 13.

Вычисляем частные производные

122 + 52

функции:

0

x

0

y

fx0 (x, y) = px2 + y2 x =

,

fy0 (x, y) =

px2 + y2 y =

.

x2 + y2

x2

+ y2

В результате получаем

p

p

12

5

p12,012 + 4,982 ≈ √122 + 52 +

√

· 0,01

−

√

· 0,02 =

122 + 52

122 + 52

= 13 +

12

−

10

= 13 +

1

≈ 13,0015.

1300

1300

650

Полученное значение отличается от точного лишь в пятом знаке после запятой. Если необходимо оценить точность R полученного приближения, можно использовать формулу Тейлора

с остаточным членом в форме Лагранжа. В рассматриваемом случае

fx002 (x, y) =

y2

, fxy00 (x, y) = −

xy

, fy002 (x, y) =

x2

.

(x2 + y2)3/2

x2 + y2)3/2

(x2 + y2)3/2

Поэтому

R =

1

d2f(a + ϑ x, b + ϑ

y) =

y2(Δx)2 − 2xy

x y + x2(Δy)2

,

(10.20)

2

2(x2 + y2)3/2

где x = a + ϑ x, y = b + ϑ

y, 0 < ϑ < 1. Используя неравенства x 6 13, y 6 5 в числителе

знаменатель дроби с помощью неравенства

2

2

получаем

дроби и оценивая снизу

px + y

> 12,

2

+ 130| x y| + 169(Δy)

2

R <

25(Δx)

=

961

·

10−4

< 0,3

·

10−4.

· 123

2 · 123

2

Отметим, что значение R, которое вычислено подстановкой в (10.20) значений x = 12, y = = 5 и которое, очевидно, можно рассматривать как приближение остаточного члена в форме Лагранжа, приблизительно равно 0,19 · 10−4. Это близко к полученной нами оценке сверху. #

Дифференциалы функций нескольких переменных могут использоваться для анализа чувствительности функций на изменение тех или иных аргументов.

Пример 10.9. Плоская деталь имеет форму равнобедренного треугольника с боковой стороной 100 мм и углом при вершине 45◦. Насколько изменится расход материала, требуемого для изготовления детали, если угол при вершине увеличится на 1◦, а боковая сторона уменьшится на 1 мм?

12-ÔÍ ÌÃÒÓ 12-ÔÍ ÌÃÒÓ 12-ÔÍ ÌÃÒÓ 12-ÔÍ

ÌÃÒÓ

ÔÍ-12

ÌÃÒÓ

ÔÍ-12

ÌÃÒÓ

ÌÃÒÓ

ÔÍ-12

ÌÃÒÓ

ÔÍ-12

ÌÃÒÓ

ЛЕКЦИЯ 10. ДИФФЕРЕНЦИАЛ

41

ÔÍ-12

= l(sin ϕ) l + 2 (cos ϕ)

ϕ = −50 2 +

9 π

2 ≈ −9,004.

12-ÔÍ

Площадь равнобедренного треугольника с боковой стороной l и углом ϕ при вершине равна

S(l, ϕ) = 0,5 l2 sin ϕ. Полагая l = −1 мм, ϕ = π/180, получаем

S(l, ϕ) ≈ dS(l, ϕ) = Sl0(l, ϕ) l + Sϕ0 (l, ϕ) ϕ =

√

√

l2

125

ÌÃÒÓ

Таким образом, площадь, пропорциональная количеству расходуемого материала, уменьшится

ÌÃÒÓ

на 9 мм2.

ÔÍ-12

12-ÔÍ

ÌÃÒÓ

ÌÃÒÓ

ÔÍ-12

12-ÔÍ

ÌÃÒÓ

ÌÃÒÓ

ÔÍ-12

12-ÔÍ

ÌÃÒÓ

ÔÍ-12

ÌÃÒÓ

ÔÍ-12

ÌÃÒÓ

ÌÃÒÓ ÔÍ-12 ÌÃÒÓ ÔÍ-12 ÌÃÒÓ

	ÔÍ-12		ОГЛАВЛЕНИЕ
		Лекция 10. Дифференциал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	ÌÃÒÓ	10.1. Дифференциал функции нескольких переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
		10.2. Дифференцируемость сложной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
		10.3. Дифференциалы высших порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
		10.4. Формула Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
		10.5. Дифференциалы в приближенных вычислениях . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	ÔÍ-12
	ÌÃÒÓ
	ÔÍ-12
	ÌÃÒÓ
	ÔÍ-12
	ÌÃÒÓ		ÔÍ-12	ÌÃÒÓ	ÔÍ-12

12-ÔÍ

.31

	. .	31	ÌÃÒÓ
	. .	31
	. .	36
	. .	37
	. .	40
			12-ÔÍ
			ÌÃÒÓ
			12-ÔÍ
			ÌÃÒÓ
			12-ÔÍ
	ÌÃÒÓ