Аналитическая геометрия (ПДФ) / AG07

ÌÃÒÓЛЕКЦИЯ 7. КРИВЫЕÔÍВТОРОГО-12ПОРЯДКА —ÌÃÒÓI		ÔÍ-12
12-ÔÍ	F2 -a O	a F1 x

y

b

-b

ÌÃÒÓ69

12-ÔÍ

ÔÍ-12 ÌÃÒÓ ÔÍ-12 ÌÃÒÓ ÔÍ-12 ÌÃÒÓ

Рис. 7.12

Пример 7.2. Найдем каноническое уравнение гиперболы по ее действительной полуоси a = 4 и фокальному расстоянию 2c = 10. Построим гиперболу и определим координаты ее вершин, фокусов и уравнения асимптот.

Так как действительная полуось a гиперболы известна, то, чтобы найти каноническое урав-

полуось

Поскольку

√

то

нение гиперболы,

достаточно определить мнимую

b.

с2

−

а2

,

2

2

c = 5, b =

b = √

= 3.

Итак, искомое уравнение имеет вид

x

−

y

= 1. Построим прямоугольник,

52 − 42

42

32

соответствующий заданной гиперболе (рис. 7.13). Продолжим его диагонали до асимптот гиперболы и построим саму гиперболу. Уравнениями асимптот являются y = ±3x/4, вершины находятся в точках (±4; 0), а фокусы совпадают с точками (±5; 0).

y

3

–5	–4	0	4	5	x

–3

Рис. 7.13

Геометрические свойства. Геометрические свойства гиперболы во многом повторяют свойства эллипса. Вернемся к формуле (7.7). Она эквивалентна каноническому уравнению гиперболы и дает выражение для длины фокального радиуса F2M ее точки M(x; y):

p

|F2M| = (x + c)2 + y2 = ±(εx + a), (7.11)

где знак плюс соответствует правой ветви гиперболы, а знак минус — левой.

Аналогично можно получить формулу для длины другого фокального радиуса, если при выводе канонического уравнения гиперболы перед первым возведением в квадрат в правую

часть равенства перенести не второй, а первый квадратный радикал.								При этом вместо (7.7)
получим εx − a = ±p		, откуда
	(x − c)2 + y2			2		2
	|F1M| = p		(x − c)		+ y		= ±(εx − a),	(7.12)

где, как и в (7.11), знак плюс соответствует правой ветви гиперболы, а знак минус — левой. Каждое из уравнений (7.11), (7.12) является уравнением гиперболы.

12-ÔÍ ÌÃÒÓ 12-ÔÍ ÌÃÒÓ 12-ÔÍ ÌÃÒÓ

ÌÃÒÓ

ÔÍ-12

ÌÃÒÓ

ÔÍ-12

ÌÃÒÓ

ÌÃÒÓ		ÔÍ-12	ÌÃÒÓ	ÔÍ-12	ÌÃÒÓ
	ЛЕКЦИЯ 7. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА — I				70

ÔÍ-12 ÌÃÒÓ ÔÍ-12

Гипербола не проходит через свои фокусы (при 0 < a < c). Поэтому фокальные радиусы любой ее точки M имеют ненулевую длину, т.е. |F1M| 6= 0 и |F2M| 6= 0. Но тогда в (7.11) и (7.12) правые части тоже отличны от нуля, и эти уравнения гиперболы можно переписать в следующем виде:

	|F2M|	= ε,	|F1M|	= ε.	(7.13)
	|x + a/ε|		|x − a/ε|

Рассмотрим прямую d0: x = −a/ε (рис. 7.14). Выражение |x + a/ε| представляет собой расстояние от точки M(x; y) до прямой d0. Аналогично выражение ±(x − a/ε) равно расстоянию |x − a/ε| от точки M гиперболы до прямой d: x = a/ε. Поэтому из уравнений (7.13) следует, что гипербола состоит из таких точек, для которых отношение расстояния до фокуса F2 (фокуса F1) к расстоянию до прямой d0 (прямой d) есть величина постоянная, равная ее эксцентриситету ε. Эти две прямые d и d0 называют директрисами гиперболы.

			y
		d'		d			M
F		a	O	a	F		x
	2	-		"		1
		"

12-ÔÍ ÌÃÒÓ 12-ÔÍ

ÌÃÒÓ

Рис. 7.14

Геометрически директрисы определяются как прямые, перпендикулярные действительной оси симметрии гиперболы и удаленные от ее центра на расстояние, равное отношению действительной полуоси к эксцентриситету.

Расстояние p от директрисы гиперболы до ближайшего к директрисе фокуса, как и у элли-

пса, называют фокальным параметром гиперболы. Отметим, что

ÌÃÒÓ

ÔÍ-12

p = c		a		= c	a2		=	c2 − a2	=	b2	.
	−	ε			− c			c
										c

Гипербола также имеет и оптическое свойство, аналогичное оптическому свойству эллипса. Оно состоит в том, что лучи, вышедшие из одного фокуса, после отражения от ближайшей ветви гиперболы распространяются так, будто вышли из другого фокуса (рис. 7.15).

12-ÔÍ

ÔÍ-12 ÌÃÒÓ

F2	F1
	Рис. 7.15

12-ÔÍ ÌÃÒÓ

ÌÃÒÓ

ÔÍ-12

ÌÃÒÓ

ÔÍ-12

ÌÃÒÓ

ÌÃÒÓ ÔÍ-12 ÌÃÒÓ ÔÍ-12 ÌÃÒÓ

ÔÍ-12 ÌÃÒÓ ÔÍ-12 ÌÃÒÓ ÔÍ-12 ÌÃÒÓ ÔÍ-12

ОГЛАВЛЕНИЕ

Лекция 7.	Кривые второго порядка — I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	60
7.1.	Эллипс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	60
7.2.	Гипербола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	65

71

12-ÔÍ ÌÃÒÓ 12-ÔÍ ÌÃÒÓ 12-ÔÍ ÌÃÒÓ 12-ÔÍ

ÌÃÒÓ

ÔÍ-12

ÌÃÒÓ

ÔÍ-12

ÌÃÒÓ