IDU / IDU_M1_L02
.pdfкафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков
Интегралы и дифференциальные уравнения
конспект лекций
для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2
Лекция 2
Интегрирование подстановкой и заменой переменной. Интегрирование по частям. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен.
Основными приемами вычисления интегралов являются подстановка и замена переменной.
Теорема (об интегрировании подстановкой).
Пусть функции ϕ и f определены соответственно на промежутках I1 и I2, ϕ дифференцируема на I1 , причем ϕ(x) I2 для любого x I1 . Пусть далее
Z
f(u)du = F (u) + C
на промежутке I2. Тогда
Z
f(ϕ(x))ϕ0(x)dx = F (ϕ(x)) + C
на промежутке I1.
Доказательство.
Имеем (F (ϕ(x)))0 = F 0(ϕ(x)) · ϕ0(x) = f(ϕ(x)) · ϕ0(x),
и доказываемое равенство справедливо.
Отметим важный частный случай доказанной теоремы:
если
Z
f(u)du = F (u) + C,
то
Z
f(ax + b)dx = a1 F (ax + b) + C, a 6= 0.
Особенно часто это замечание используется при b = 0 или при a = 1 :
Z
f(ax)dx = a1 F (ax) + C, a 6= 0;
Z
f(x + b)dx + F (x + b) + C.
1
Пример. |
cos2 xdx = Z 1 + |
|
|
|
dx = 2 |
|
|
|
|
||||
Z |
2 |
|
|
+ |
4 |
+ C; |
|||||||
|
|
|
|
cos 2x |
|
x |
|
sin 2x |
|
||||
аналогично |
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 xdx = 2 |
− |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
4 |
|
+ C. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
sin 2x |
|
|
|
|
При практическом применении доказанной теоремы обычно используют формальный прием, называемый ”подведением под знак дифференциала”:
Z Z Z
f(ϕ(x))ϕ0(x)dx = f(ϕ(x))dϕ(x) = f(u)du = F (u) + C = F (ϕ(x)) + C;
в простых случаях вспомогательную переменную u = ϕ(x) |
не вводят,т.е. сразу пишут |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Z f(ϕ(x))dϕ(x) = F (ϕ(x)) + C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Пример. Вычислим интеграл |
|
|
|
I = Z |
sin x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
dx |
|
|
Z |
|
cos x |
|
|
dx |
Z |
|
|
1 |
|
|
|
x |
)0dx = |
Z |
d tg x |
|
|
x |
|
|
|||||||
2 sin x2 cos x2 |
|
|
|
sin x2 |
· 2 cos2 x2 |
|
|
tg x2 |
|
2 |
tg x2 |
|
2 |
|
||||||||||||||||||
I = |
= |
|
2 |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
(tg |
|
|
|
2 = ln |
|
tg |
|
|
+ C. |
||||||||
Т.к. cos x = sin(x + |
|
π |
) |
,то отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
cos x |
= Z |
sin(x + |
π2 |
|
= ln tg |
|
2 + |
2 |
|
+ C. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
I = Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема (об интегрировании заменой переменной). |
|
|
|
||||
Пусть функция ϕ дифференцируема на промежутке I1 |
и взаимно однозначно отобра- |
||||||
жает его на промежуток I |
2 |
|
6 |
t |
|
1 |
|
|
, причем ϕ0(t) = 0 для любого |
|
I . Пусть, далее, функция |
||||
f определена на I2 . |
Тогда, если на промежутке I1 |
|
|
|
|||
|
|
|
Z |
f(ϕ(t))ϕ0(t)dt = F (t) + C, |
|
|
|
то на промежутке |
I2 |
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x)dx = F (ϕ−1(x)) + C,
где ϕ−1(x) - функция, обратная к функции ϕ(t) .
Доказательство.
Из условий теоремы следует, что функция ϕ−1(x) дифференцируема, и
2
|
|
|
|
(ϕ−1(x))0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
ϕ0(ϕ−1(x)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
F (ϕ−1(x)) 0 = F 0(ϕ−1(x)) · (ϕ−1(x))0 = f(ϕ(ϕ−1(x))) · ϕ(ϕ−1(x)) · |
|
|
1 |
|
= f(x). |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ϕ0(ϕ−1(x)) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Отсюда непосредственно вытекает утверждение теоремы. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Пример. Пусть требуется вычислить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
I = Z √ |
|
|
|
dx, |
|
|
|
−a < x < a, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
a2 − x2 |
|
|
|
|
|
a > 0. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Рассмотрим функцию ϕ(t) = a sin t, |
|
|
|
|
π |
|
|
|
π |
|
Нетрудно проверить, что все |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
− |
|
|
< t < |
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
условия последней теоремы выполнены. Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Z pa2 − a2 sin2 t · a cos tdt = a2 |
|
Z cos2 tdt = a2 |
2 |
+ |
4 |
|
+ C = |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
sin 2t |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
t |
|
|
t |
· p1 − sin |
2 t |
|
|
|
+ C. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
= 2 ( |
|
+ sin |
|
|
|
)x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Заменяя в последнем выражении |
t |
|
на ϕ−1(x) = arcsin |
|
|
, получаем |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
I = |
|
|
arcsin |
|
+ x√a2 − x2 + C. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
a |
|
|
|
|
|
|
Теорема (об интегрировании по частям).
Пусть функции u и v дифференцируемы на промежутке I ,и функция u0 · v имеет
на этом промежутке первообразную. Тогда |
|
|
Z |
u · v0dx = u · v − Z |
u0 · vdx. |
Доказательство.
Запишем правило дифференцирования произведения:
Отсюда |
|
(u · v)0 = u0v + uv0. |
|
|||
u0 · vdx = Z ((uv)0 − uv0)dx = uv − Z |
|
|||||
Z |
u · v0dx. |
|||||
Теорема доказана. |
|
|
|
|
|
|
Примеры. |
|
|
|
|
|
|
1. Рассмотрим интегралы |
|
|
I2 = Z |
|
|
|
|
I1 = Z |
bxdx |
и |
eax sin bxdx. |
3
Имеем
Z
I1 =
Z
I2 = eax
|
|
bx |
|
0 |
sin bx |
|
|
a |
|||
eax |
sin |
|
|
dx = eax · |
− |
|
Z |
||||
b |
|
b |
b |
||||||||
− b |
|
dx = −eax · |
b |
+ b Z |
|||||||
|
cos bx |
|
|
0 |
|
cos bx |
|
a |
eax sin bxdx = eax sin bx − aI2; b b
eax cos bxdx = −eax cos bx + aI1. b b
Т.о., для нахождения I1 и I2 получаем такую систему:
|
I1 = eax |
sin bx |
− |
a |
||||||||
|
|
|
|
I2, |
||||||||
|
|
b |
b |
|||||||||
|
I2 = −eax |
cos bx a |
||||||||||
|
|
|
+ |
|
|
I1. |
||||||
|
b |
|
b |
|||||||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I1 |
= |
|
a cos bx + b sin bx |
eax + C, |
||||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
a2 + b2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
I2 |
+ |
a sin bx − b cos bx |
eax + C. |
|||||||||
|
|
|
a2 + b2 |
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим теперь некоторые интегралы, содержащие квадратный трехчлен.
Пусть |
I = R |
|
|
|
|
Ax + B |
dx, |
a 6= 0. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
ax2 + bx + c |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Вычислим вспомогательный интеграл: |
|
ax2 + bx + c. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
I1 = Z |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Выделив в знаменателе полный квадрат, получим |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a Z |
(x + 2a )2 |
− b 4−a2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
I1 = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
2 4ac |
|
|
||||||||||||||||||||
Если D = b2 − 4ac > 0 , то, обозначив |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
k2 = |
b2 − 4ac |
|
|
|
|
|
|
и u = x + |
|
|
b |
, |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|||||||||||||||||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u + k |
|
|
|
|
||||
|
a u2 |
|
− |
k2 |
|
|
|
|
2ak |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
I = 1 |
Z |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
1 ln |
|
u − k |
|
|
+ C; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
если же D < 0, то |
k2 = −D , и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
I1 = a Z |
|
u2 |
+ k2 |
= ak arctg k + C. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|||||||
При D = 0 имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
= a |
Z |
|
|
|
|
= −au + C. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
I1 |
|
u2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4
Т.о., остается лишь вернуться к прежней переменной x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вычисление интеграла |
I можно свести к вычислению |
|
I1 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
2ax + b |
|
|
|
|
|
|
|
Ab |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
I = |
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
dx + B − |
|
|
|
· I1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
ax2 + bx + c |
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Z |
|
2ax + b |
|
|
|
dx = Z |
d(ax2 + bx + c) |
|
|
|
|ax2 + bx + c| + C. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ln |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
ax2 + bx + c |
|
ax2 + bx + c |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Аналогично вычисляется и интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J = Z |
|
|
√ |
Ax + B |
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax2 + bx + c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Вычислим вспомогательный интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
J1 = |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
du |
|
|
, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Z |
|
√ax |
2 |
+ bx + c |
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
2 |
|
4ac |
|
|
|
Z |
|
p |
|
|
|
2 |
± |
2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a (x + |
)2 |
− |
b |
− |
|
|
|
|
|
|
|
a(u |
|
k |
) |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
2a |
4a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
где |
u = x + |
|
, |
|
|
|
|
k = |
|
|b |
|
|
− 4ac| |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
4a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
при D = b2 − 4ac > 0 |
|
под радикалом в последнем интеграле берется знак ”-”, а при |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
D < 0 - знак ”+”. В результате дело сводится к вычислению табличных интегралов вида |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Z |
√ |
|
, |
|
Z |
|
√ |
|
|
|
или |
Z |
|
|
|
= ± Z |
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|u| |
u |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
k2 − u2 |
|
|
u2 ± k2 |
|
|
|
|
|
|
знак перед последним интегралом выбирается в зависимости от расположения промежутка интегрирования относительно нуля.
Вычисление интеграла J |
сводится к вычислению |
J1 : |
||||||||
J = 2a Z |
√ax2 + bx + cdx + |
B − 2a J1; |
||||||||
|
A |
|
2ax + b |
|
|
|
Ab |
|||
R |
√ |
2ax + b |
√ |
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|||||||
|
dx = 2 |
|
ax |
|
+ bx + c + C. |
|||||
ax2 + bx + c |
|
5