Лекции / Теория электромагнитного поля_каз / Лекция 2

Дәріс 2.

Тақырыбы: Максвеллдің теңдеулер жүйесі.

Дәріс жоспары:

1. Максвелл теңдеулер жүйесінің жазылуының дифференциалдық формасы.

2. Максвелл теңдеулер жүйесінің жазылуының интегралдық формасы.

Дәріс мәтіні:

«Электр және магнетизм» физикасының толық курсында стационарлы электр және магнит өрістері қарастырылды. Бұл дәрісте өрістердің электр және магниттік болып бөлінуі қарастырылады. Максвелл идеясына сәйкес айнымалы магнит өрісі онымен туғызылатын электрлік өріспен, ал айнымалы электр өрісі әрқашанда онымен туғызылатын магнит өрісімен байланысты. Яғни, электр және магнит өрістері ажырамастай бір-бірімен байланысты, олар бір электромагниттік өрісті туғызады.

Салыстырмалылық принципінен электр және магниттік өрістерді жеке қарастыру тек салыстырмалы сипатқа ие. Мәселен, электростатикалық өріс қозғалмайтын зарядтар жүйесімен туғызылады. Бірақ зарядтар кейбір санақтың инерциалды жүйесіне қатысты қозғалмайтын болса, онда басқа инерциалдық жүйелерге қатысты бұл зарядтар қозғалатын болады, яғни олар электр өріспен қоса магнит өрісін де туғызады. Тұрақты тоқты қозғалмайтын өткізгіш кеңістіктің әрбір нүктесінде тұрақты магнит өрісін тудырады. Бірақ басқа инерциалды жүйелерге қатысты бұл өткізгіш қозғалыста болады. Сондықтан онымен туғызылатын магнит өріс өзгеріп тұрады, сонымен бірге құйынды электр өріс пайда болады.

Ең қызығы, электромагниттік өріс теориясы Максвелл теңдеуінің жүйесін құрайтын 4 векторлық қатынастан құрылады. Электромагниттік индукция құбылысын қарастыру кезінде кеңістіктегі айнымалы магнит өрісі құйынды электр өрісінінің туындауына алып келетіні көрсетті. Максвелл электр және магниттік өрісінің арасында кері қатынастар болатынын көрсетті, яғни уақыт бойынша өзгеретін электр өрісі магниттік өрістің туындауына алып келеді. Электр индукция векторының уақыт бойынша алған туындысы бірлік аудан арқылы өтетін тоқ өлшемін береді. Бұл тоқ ығысу тоғы деп аталады.

Батарея мен конденсатордан тұратын электр тізбегін қарастырайық. Қайта қосқыштың істен шыққан кезде батарея конденсаторды потенциалына дейін зарядтайды. Конденсатор зарядталған уақытта, қосқыш өткізгіштер арқылы Ом заңына бағынатын тоғы өтеді. (өткізгіштер тоғы). Өткізгіштер жанында орналасқан компас тілшесі тоқпен байланысқан магнит өрісінің болуын көрсетеді. Егер компасты конденсатор астарларының арасына орналастырсақ, онда өткізгіш тоғының жоқ болатынын көреміз. Бұл жағдайда магнит өрісі байқалар ма екен. Ия, байқалады. Магнит өрісінің тоқпен байланысты барлық эффектілері конденсатор зарядталғанға дейін осы облыста, яғни астарлар арасындағы потенциалдар айырымы мен электр өрісі уақыт бойынша өзгергенге дейін болады.

Электромагниттік өріс теориясындағы Максвеллдің негізгі идеясы уақыт бойынша айнымалы электр өрісі еркін кеңістікте ығысу тоғын тудыратынының көрсетуінде болып табылады. Мұндай нәтиже де зарядтың сақталу заңында да бар. Кеңістіктің кіші көлеміне енетін заряд ағыны сол көлемнен шыққан заряд ағынына тең болуы керек. Егер берілген көлемнің ішінде конденсатор пластинасы бар болса, онда өткізгіш арқылы өтетін тоқ өткізгіштігі көлемнің ішіне бағытталған заряд ағынын тудырады, ал ығысу тоғы сол көлемнен шығатын зарядтың ағынына сәйкес келеді.

Сондықтан әрі қарай біз тоқтың екі түрін ескеруіміз керек:

1. Ом заныңа бағынатын, бізге жақсы таныс тоқ өткізгіштігі.

2. тығыздығына ие ығысу тоғы.

Механикадағы Ньютонның заңдары сияқты Максвелл теңдеулері электромагниттік өрісін зерттеген кезде үлкен орын алады. Максвелл бірінші теңдеулер жұбын интегралдық формада жазсақ:

, (1)

(2)

Бірінші теңдеу Е-нің мәндерінің уақыт бойынша өзгеретін В векторымен байланысын көрсетеді және де жоғарыда қарастырылған электромагниттік индукция заңының өрнегі болып табылады.. Екінші теңдеу В векторының қасиетін көрсетеді: оның сызығы тұйықталған немесе шексіздікке ұмтылған, яғни көздері жоқ. Максвеллдің келесі теңдеулер жұбын интегралдық түрдегі жазайық:

(3)

(4)

Мұндағы - өткізгіштегі тоқ тығыздығы. Үшінші теңдеу өткізгіш мен ығысу тоқтары мен олармен туғызылатын магниттік өріс арасындағы байланысты көрсетеді. Төртінші теңдеуден вектор сызықтары зарядта басталып-аяқталатынын көрсетеді. (1-4) теңдеулері және өріс векторларының мәндерін кейбір контур бойымен және мәндерімен бет контурына тірелетін нүктелерде байланыстырады. Векторлық талдаудың теоремаларын қолдана отырып, теңдеулердің интегралдық формасынан дифференциалдық формаға ауысуға болады.

Стокс теоремасынан шығатын:

мен

Алынған нәтижелерді (1) және (3) формуларына қойып, әрбір теңдеулерде екі интегралдың бір бет бойынша алынатындығын ескерсек

,

.

(2) және (4) формулаларының сол бөлігіне Гаусс теоремасын қолдансақ, онда сәйкесінше

;

бұл келесі теңдеулерге әкеледі: , .

Сонымен Максвелл теңдеулерінің дифференциалдық формасы келесі түрге ие болады:

, (1a)

(2a)

, (3a)

. (4a)

Максвелл теңдеулерінің бұдан терең талдауы келесі параграфта вакуумдағы электрмагниттік өріс жағдайы үшін жүргізіледі.

Вакуумдағы Максвелл теңдеуінің жүйесі.

Алғаш рет теңдеулердің толық жүйесі Максвеллмен заттағы өріс теңдеуі түрінде жазылған. Вакуум үшін өріс теңдеулерінің математикалық түрі зат үшін өріс теңдеулерінің дербес жағдайлары болып табылады. Ал бірақ физикалық жоспарда вакуумдағы теңдеулер фундаментальді роль атқарады. Максвелл теңдеулерінің қазіргі таңдағы түрі 19 ғасырдың аяғында Г.Герц және О. Хэвисайдтың жұмыстарында орын алады.

Электромагниттік өріс туралы барлық зерттеулерге қатысты Максвеллдің теңдеулер жүйесі алғашқы жағдайлар мен теориялық принциптерінде үлкен роль атқарады. Тарихи жағынан алып қарасақ, ол тәжірибе мәліметтерінің абстрактілі жалпылауы болып табылады және оның электродинамикалық эмпирикалық заңдарымен байланысты оңай анықталады. Вакуум үшін Максвелл теңдеулері

, (1a)

(1b)

, (1c)

. (1d)

Тікелей есептеулермен келесіні көруге болады

(2)

мұндағы – вакуумдағы жарық жылдамдығы. (2) формула кездейсоқ емес сәйкес келуді білдіреді, ал тұрақтысы теңдеулермен терең байланысты. Мәселен, И.Е.Тамм өзінің “Электр тоғының негізгі теориясы” кітабында -ті электродинамикалық тұрақты ретінде енгізеді, кейіннен оның вакуумдағы жарық жылдамдығымен тең екенін көрсетеді.

(2) теңдікті қолдана отырып, Максвелл теңдеулерді келесідей жазуға болады:

, (3a)

(3b)

, (3c)

. (3d)

(1) және (3) теңдеу өрістің және векторлары мен уақыттың кез-келген моментінде кеңістіктің әрбір нүктесіндегі зарядтың тығыздығы мен тоқ тығыздығының арасындағы байланысын орнықтырады. , , , теңдеулерде кіретін барлық айнымалы шамалары математикалық жағынан 4 тәуелсіз айнымалылардың функциялары болып табылады: үш кеңістіктік координата және уақыт. Теңдеулердегі дербес туындылар қарапайым мәнге ие: айнымалылардың біреуі бойынша дифференциалдау кезінде қалғандары тұрақты деп есептеледі. Уақыт бойынша дербес дифференциалдау өріс пен зарядтың кеңістіктің қозғалмайтын нүктесінде қарастырылатынын білдіреді.

Максвелл теңдеулері элементар бөлшектердің макроскопиялық ағындарын немесе вакуумдағы тоқтарды зерттеу кезінде қолданылады. Егер электр зарядтар жүйесі денелерде орналасқан болса, тоқ вакуумде емес, өткізгіш бойынша қозғалса, және де зат электромагниттік өріске және олардың тоқ пен заряд тығыздығына әсер ететін болса оларды қолдануға болмайды. Бірақ дененің болуы жағдайында да (1) теңдеуді қолдану мүмкіндігі туады. Өте маңызды жағдайлары қатарында зарядтардың орнасуы мен таралуын анықтайтын денелердің өздері өріске әсер етпейді. Мысалы, ауадағы зарядталған өлшемдері кіші денелердің өрісі вакуумдағы зарядтар жүйесінің өрісі түрінде, ал тогы бар сызықты өткізгіштің магниттік өрісі – сәйкесті вакуумдағы ток түрінде және т.б. қарастырылады.

Максвелл теңдеуі бөлек теңдеулердің арасындағы байланысты болуын көрсету үшін екі бөлікке бөлініп көрсетілген: әрбір жұптағы екіншісі бірішісінен шығады. Осыны көрсетейік. (1а) теңдеудің екі жағынан дивергенция алайық:

немесе

Сонымен уақытқа бойынша тұрақты. Ал айнымалы өрістің уақыт бойынша тұрақты дивергенциясы тек нөлге тең болуы керек. Бұдан , бұл (1b)-ге сәйкес. Тура осылай (1с) теңдеудің дивергенциясын есептесек,

, (4)

Бұдан үздіксіз теңдеуін қолдансақ, (1d) теңдеуін аламыз.

(1а) – (1d) теңдеулер жүйесі Максвелл теңдеулер жүйесінің дифференциалдық формасы болып табылады. Бұл жазу кеңістіктегі зарядтың орналасу мен қозғалуы бойынша электромагниттік өрісін анықтауға мүмкіншілік береді. Ол үшін дифференциалдық теңдеулердің дербес туындыларын шешу қажет. Бұл зарядтардың қарапайым жүйесіне қарағанда математикалық жағынан туындылары 1- ші ретті болса да, қиын. Нақты есептерде өрістерді есептеулер Максвеллдің интегралдық формадағы теңдеулеріне көшкен кезде әлдеқайда оңайлырақ болады. Сонымен қатар интегралдық форма оның физикалық жағын көрнекірек және олардың мағынасын түсінуге көмектеседі.

(3d) теңдеуінен бастайық. Кеңістікте тұйық бетімен шектелген, V көлемін бөліп алайық. Көлемнің ішінде зарядтар тығыздығы бойынша таралсын. V көлемі бойынша (3) - тегі 4- ші теңдеуді интегралдайық. Сонда

Теңдеудің сол жақ бөлігіне Гаусс теоремасын қолданып, ал оң жақ бөлігі V көлемдегі зарядын беретінін ескерсек.

. (5)

шамасы электр өрісінің беті арқылы өтетін кернеулік векторының элементар ағыны. беті арқылы өтетін соңғы ағын келесі формуламен сипатталады:

(6)

Бұдан көріп тұрғанымыз, (5) формуладағы интеграл зарядты қоршайтын тұйық бет арқылы өтетін кернеулік векторының ағынын береді. Бұл формула физикалық және математикалық жағынан Максвеллдің 4-ші теңдеуіне эквивалентті интегралдық өрнек. Жиі оны Гаусс теоремасы деп те атайды.

(1а) мен (3а) теңдеулеріне көшейік. Келесі түрлендірулер орындалу үшін беті арқылы шектелген кеңістікте кейбір L тұйық контурын қарастырайық. S беті арқылы өтетін және вектор ағындарын табайық.

Тепе-теңдіктің оң жақ бөлігінде дифференциалдау мен интегралдаулардың орнын ауыстырсақ, онда:

.

Мұны әріппен белгілейміз

(7)

В,- индукция векторының ағыны. Бұдан

(8)

(8) теңдеудің сол бөлігіне Стокс теоремасын қолданамыз. Алатынымыз

(9)

Бұл интеграл электр өрісінің құйынды құраушысын береді. Потенциалды құраушылары бойынша интеграл нөлге тең. Бұл Максвеллдің интегралдық формадағы 1-ші теңдеуін береді. астындағы интеграл шама жағынан өрістегі бірлік нүктелік зарядқа жасалған электр күштерінің элементар жұмысына тең. Барлық интеграл тұйық шектелген L контуры бойынша жұмысқа тең. Бұл шама Е векторының циркуляциясы деп аталады және шамасымен белгіленеді:

(10)

(9) формула зарядтарда бастау алатын және аяқталатын кернеулік сызықтары бар құраушылардан басқа электрлік өріс айнымалы магнит өрісінің индукция сызықтарын қамтитын тұйық сызықтары бар құраушыға ие болатынын көрсетеді. Максвеллдің 3-ші теңдеуіне көшейік. Аналогтік түрлендіру арқылы (9) теңдеуге келдік, одан интегралдық қатынасты аламыз,

, (11)

Бұл Максвеллдің 3-ші теңдеуіне эквивалентті қатынас. (11)-ші теңдік L контуры арқылы өтетін I тоқ шамасы бар В магнит индукция векторының циркуляциясын контурға тірелетін S бет арқылы Е электр өрісінің кернеу ағынының өзгерісімен байланыстырады. Расындада

. (12)

(11) теңдеу магнит индукциясының тұйықталған сызықтары айнымалы электр өрісің кернеулік сызықтары мен ток сызықтарын қамтитынын көрсетеді. Теңдеулердің интегралдық формасы өрістердің, зарядтар мен тоқтың байланысын көрнекірек көз алдымызда елестетуге мүмкіндік береді.

Максвелл теңдеулерінің жүйесінде макроскопиялық электромагниттік өріс жайлы толық мәлімет бар. Сондықтан таңқалу мүмкін емес, тәжірибе түрінде бекіткен электр және магнит құбылыстарының жеке заңдары шығады. Тарихи жағынан бұл заңдар Максвелл теориясының эмпирикалық базасы болып табылады. (5) формуламен қоса Максвеллдің (1d) теңдеуі тыныштықтағы нүктелік электр зарядтарынан өзараәрекеттесуі үшін Кулон заңы тікелей байланысты. Мұндай зарядтар тек (5) теңдеумен анықталатын заряд өрісін тудырады. (9) қатынас электромагниттік индукция үшін Фарадей заңының өрнегімен сәйкес келеді, егер де L контуры бойынша Е векторының циркуляциясын электрлік қозғаушы күш деп атап, ал контурды өткізгішке алмастырсақ. Бұл дегеніміз Фарадей заңы Максвеллдің (1а) теңдеуінен шығады. (11) формула және сәйкесті Максвеллдің (1с) теңдеуі Эрстедпен ашылған тоқтың магниттік әрекетін сипаттайды және де ол Био-Савара заңдарына әкеледі. Қорытындыласақ, Максвеллдің (1b) теңдеуінен шығатын магнит зарядтарының жоқ болуы денелердің магниттелу заттағы “молекулярлы” тоқтары есебінен пайда болуы туралы Ампердің гипотезасымен байланыстыруға болады.

Әдебиеттер:

1. Зубов В.И. Колебания и волны. Л.: ЛГУ, 1989. .

2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М.: Физматгиз, 1962.

3. Либов Р. Введение в кинетическую теорию. М.: Мир, 1974.

4. Лоусон Дж. Физика пучков заряженных частиц. М.: Мир, 1980.

5. Балеску Дж. Статистическая механика заряженных частиц. М.: Мир, 1974.

6. Девидсон Р. Теория заряженной плазмы. М.: Мир, 1978.