Дәріс 1

Тақырыбы. Электродинамиканың негізгі түсініктері.

Дәріс жоспары:

1. Фундаменталды өзараәрекеттесулердің түрлері.

2. Электрлік зарядтар мен токтар. Заряд пен токтың тығыздығы.

3. Нүктелік зарядтар. Зарядтың тығыздығы және оның кеңістіктегі таралуы.

4. Электрлік ток. Ток күші мен ток тығыздығы.

5. Кулон заңы.

6. Гаусстың электростатикалық теоремасы.

7. Өрістердің суперпозиция принципі.

8. Скалярлы потенциал.

9. Электростатикалық өрістің потенциалдылығы. Өріс потенциалдылығының шарты.

10. Ирншоу теоремасы.

Дәріс мәтіні:

Қазіргі уақытта белгілі 4 фундаменталды өзара әрекеттесулер бар: электромагниттік, гравитациялық, күшті және әлсіз. Қалған күштер солардан шығады.

Электромагниттік және гравитациялық өзараәрекеттесулердің элементар бөлшектерге әсерін қарастырайық, мәселен- электрон:

Гравитациялық күш , мұндағы .

Екі электронның кулондық тебіліс күші: , мұндағы e=1,6·10^-19 Кулон - электронның заряды, k_о=1/4πε₀=9·10⁹[м/Ф] ε₀₌8,85*10^-12- СИ жүйесіндегі электрлік тұрақты.

Сонымен, көріп отырғанымыз, Fк/Fт=10⁴³! Бұл дегеніміз элементар бөлшектердің өзараәрекеттесулері кезіндегі гравитациялық күштер практика жүзінде ешқандай роль атқармайды.

Гравитациялық өріс тек массалары айтарлықтай үлкен электрлік нейтралды денелердің өзараәрекеттесулері кезінде болады.

Ядролық күш өте күшті өзараәрекеттесулермен шартталған, ол келесі негізгі қасиеттерге ие: қысқа әрекет және зарядтан тәуелсізділігі. Алғашқысы элементар бөлшектердің арасындағы ~<10^-15м қашықтықта ядролық күштер электромагниттік күштерден айтарлықтай үлкен екендігін және зат ядросының түзілуінде үлкен роль атқаратынын түсіндіреді.

Әлсіз өзараәрекеттесу элементар бөлшектердің бір-біріне түрленулерге жауапты және де үлкен ара-қашықтықтарда болмайды.

Сонымен, электромагниттік өзараәрекеттесу зарядталған бөлшектерді басқару үшін қолданылады, ал бұл оның маңыздылығын білдіреді. УТС мәселелері, үдеткіш иондық және плазмалық қозғауыштар, электронды, радиотехникалық, медициналық және көптеген құралдар электродинамика заңдарының негізінде жасалған.

Электрлік заряд және тоқ. Тоқ пен зарядтың тығыздығы.

Заряд пен оның физикалық қасиеттерімен байланысқан электродинамиканың алғашқы жағдайларын қарастырайық.

а) Электрлік q заряд шамасы әрқашанда е=|е| минималды мәнге еселі шама болып табылады: q=n|e|, n=±1,±2.., мұндағы |e|=1,6·10^-19[Кл].

Зарядтың дискреттілігі жайындағы қорытынды М. Фарадейдің /1834ж/ электролиз заңдарының негізінде 1881ж Г.Л.Гельмгольц пен Д.Стонеммен жасалды. Олармен бұл заңдардың негізінде элементар зарядтың мәнін есептелінген.

Кейіннен 1895ж Г.Лоренц реалды түрде болатын элементар зарядтардың (электрондардың) жағдайлары негізінде электромагнетизм теориясын құрды.

1909ж Р.Э. Миликкен элементар зарядтың тікелей экспериментальды өлшеуі жүргізілді. Өлшеулердің қазіргі кездегі әдістер зарядты |е| ондаған үлестерге дейінгі дәлдікпен өлшеуге мүмкіндік береді. Сонымен еркін күйде элементар бөлшектен кем зарядтың болмауы тәжірибе жүзінде дәлелденген.

Кварк теориясы құрылғаннан кейін, |q|=e/3 мен 2е/3 бөлшектік зарядтарды іздеудің көптеген тәжірибелік әрекеттері жасалған болатын, бірақ олар сәтсіз аяқталды.

Қазіргі уақытта тәжірибе жүзінде еркін күйдегі бөлшектік зарядтардың жоқ екені дәлелденген.

б) Оң және теріс элементар зарядтардың теңдігі.

Тәжірибе жүзінде салыстырмалы ~10²¹ дәлдікпен оң және теріс элементар зарядтардың (|q_e|-|q_p|)/|q_ep|≤10^-21 –ке тең екендігі анықталды.

Бұған жақсы дәлел электростатикалық өрісте~10^-19 дәлдікпен тексерілген жеке атомдар нейтралдылығы бола алады.

в) Электрлік заряд аддитивті қасиетке ие,

яғни q₁ және q₂ екі зарядтың бірігуі кезінде қорытқы заряд мынаған тең болады: q=q₁+q₂

г) Атомдардың электрлік нейтралдығынан тағы бір басты қасиетті көруге болады: Электр зарядының шамасы Лоренц түрлендірулеріне қатысты инвариантты болып табылады, яғни оның жылдамдығынан тәуелді емес.

m_p>>m_e болғандықтан, атомдағы электронның жылдамдығы ядродағы протонның жылдамдығынан артық болуы тиіс. Егер зарядтың шамасы жылдамдықтан тәуелді болса, онда атомдардың электрлік нейтралдығы бұзылар еді. Шындығында бұл іс жүзінде болмайды, және бұл берілген қасиеттің күшті дәлелі бола алады.

Нүктелі зарядтар. Зарядтың тығыздығы және оның кеңістікте таралуы.

Электрон немесе протонның қозғалысы олардың зарядының қозғалысын шарттайды. Сондықтан әр уақытта зарядтың қозғалысы жайында айтып, оның тасымалдаушылары жөнінде сөз қозғамауға да болады. Егер зарядпен қоса массасы айтарлықтай мәнге ие болса, онда тасымалдаушының басқа да қасиеттерін ескеруге тура келеді.

Электр теориясында элементар заряд нүктелік, ал электрон нүктелік құрылымсыз бөлшек болып есептеледі.

Электрон зарядының модулі кіші мәнге ие болғандықтан, макроқұбылыстарда зарядтың дискреттілігі ешқалай байқалмайды, себебі оларда элементар зарядтардың үлкен саны қатысады.

Мысалы:

а) Сыйымдылығы С=10мкф конденсатордың астарларында U=100В кернеуі кезінде N=7·10¹⁵ электрон бар.

б) I=1А тоқ кезінде өткізгіштің көлденең қимасынан секундына ~6·10¹⁸ электрон өтеді.

Көп жағдайда, заряд кеңістікте үздіксіз таралған деп санап, оның дискреттілігін ескермеуге болады.

Зарядтың кеңістікте таралуы келесі формуламен анықталатын оның көлемдік тығыздығымен сипатталады:

(1.1)

Мұндағы Vo- физикалық шексіз аз көлем.

Бұл анықтама зарядтың дискретті емес екенін болжайды.

(1.1) => ρ [Кл/м³]-мен өлшенеді.

(1.1)=> dq=ρdV. Онда

(1.2)

Нүктелі бөлшек (заряд) үшін ρ-ды анықтау үшін q заряд r_о нүктесінде шоғырланған деп есептейік. Онда ρ=ρ(r) мына қасиеттерге ие болады:

ρ(r)=0, егер r≠r_о және ρ(r₀)≠0.

Мұнда , мұндағы V₀- ішінде заряд орналасқан көлем.

Осыдан келесіні аламыз│ρ(r₀)│=∞=>

Нүктелі зарядтың көлемдік тығыздығы r₀ нүктесінде ғана нольден өзгеше және әр уақытта бұл нүктеде шексіздікке ұмтылады.

Мұндай функцияны келесідей анықталатын Дирактың δ-функциясы арқылы беруге болады :

; мұндағы

Дирактың үшөлшемді δ- функциясы : δ(r)=δ(x)·δ(y)·δ(z),

егер нүкте

δ-функциясының келесі қасиетін ескере отырып,

нүктелік зарядтың көлемдік тығыздығын келесі түрде жазуға болады

ρ(r,t)=qδ(r(t)-r₀); (1.4)

Енді зарядтардың концентрация деген түсінікті енгізейік.

Анықталған таңбалы зарядтардың концентрациясы келесі қатынаспен анықталады:

-зарядтар саны, -олардың алатын көлемі.

Онда зарядтың тығыздығы:

Әрине n± бір мағынаға ие және жеткілікті үлкен болуы үшін көлемге көп заряд енуі керек.

Егер заряд жұқа қабатта бет бойынша таралған және де бақыланушы нүктеге дейінгі қашықтық қабаттың енінен үлкен болса, онда толықтай заряд бұл бет бойынша келесі формуламен анықталатын зарядтың беттік тығыздығымен жинақталады:

Кл/м² (1.5)

Аналог түрінде бір өлшемді жағдайда зарядтың сызықтық тығыздығын енгізуге болады, оның мағынасы ұзындық бірлігіне сәйкес келетін заряд мөлшері.

Электр тогы. Тоқ күші және тоқтың тығыздығы.

Зарядтың қозғалысы оның жылдамдығының бағыты бойынша зарядты тасымалдауына әкеледі. V-_i әр түрлі жылдамдықтарға ие әр түрлі зарядтардың қозғалысы нәтижесінде V_ф физикалық көлемнің ішінде зарядтың орташа тасымалдауы пайда болады.

Электрлік тоқ деп зарядтың реттелген қозғалысын айтамыз. Қозғалыстың оң бағыты ретінде оң зарядтардың қозғалыс бағыты алынады.

dS беті арқылы өтетін электр тогының ең басты сипаттамасы тоқ күші болып табылады, ол келесі формуламен анықталады:

Берілген нүктедегі тоқтың тығыздығы деп бағыты оң зарядтың қозғалыс бағытымен сәйкес келетін векторды айтамыз және де ол мынаған тең:

- зарядтардың жылдамдығының бағытымен сәйкес келетін вектор.

Оң зарядтың тоқ тығыздығының бағыты олардың жылдамдық бағытымен сәйкес келеді, ал теріс зарядтың оған қарама-қарсы.

Теріс зарядты жылдамдық бағытына қарама-қарсы тасымалдау оң зарядты жылдамдық бойынша тасымалдауына эквивалентті. Сондықтан егер тоқ q<0 (e^-) қозғалыспен шартталатын болса, онда тоқ q>0 қозғалыспен шартталған деп есептеу жеңіл болады, себебі олардың орын ауыстыруы j-мен сәйкес келеді. I мен j.q^- v^- байланыстыратын қатынасты табайық.

Тапқанымыз:

Соңғы S беті арқылы өтетін тоқ күші ∫dI-ге тең, яғни

(1.7)

Егер электр тоғы өткізгіш бойымен өтетін болса, онда

мен =>

Тоқ күші – 1 секунд ішінде өткізгіштің көлденең қимасы арқылы өтетін электр мөлшері.

Осыған дейін тоқ бір таңбалы зарядтың қозғалысымен шартталған деп есептедік. Енді q>0 және q<0 кезінде қозғалыстың жалпы жағдайларын қарастырайық. Бұл жағдайда:

ρ=ρ₊+ρ_{-_} => j=ρ₊v₊+ρ_{-_}v_- немесе

j=ρv j=j₊+j_

Сонымен, тоқ әр түрлі заряд тасымалдаушылар қозғалыстарымен шартталынатын болса, онда тоқтың қорытқы тығыздығы әр типті зарядтардың тоқ тығыздықтарының алгебралық қосындысына тең.

Кулон заңы.

Кулон заңы r ара-қашықтықта орналасқан вакуумдағы екі нүктелік q₁ және q₂ зарядтардың өзараәрекеттесетін F күшін анықтайды:

(2.1)

Оны 1185ж Шарль мен Кулон анықтады.

Өзараәрекеттесу процесі келесідей сипаттауға болады:

а: Нүктелік заряд, мысалы, кеңістіктегі q₁ заряды кернеуі мынаған тең болатын электр өрісін тудырады:

(2.2)

б. Бұл өрісте орналасқан q₂ нүктелі зарядқа сол өрістегі күштер әсер етеді:

F=q₂E (2,3)

(2.2)-ні (2.3)-ге қоя отырып, (2.1)-ді аламыз. Кулон занының мұндай тұжырымдамасы 1831–1855жылдары Фарадеймен енгізілді және жақын әрекеттесу концепциясына деген атқа болды. Бұған дейін оның жұмысы алыс әрекеттесу концепциясымен байланыста болды, яғни зарядтардың өзара байланысы ешқандай өріссіз орындалады. Ара қатыстырғыштың алғашқы функциясы алғашқыдай Ғаламдық Эфир атты болды, 1864ж Максвелл өзінің электромагниттік өріс теңдеулерін ұсындырды және олардың механикалық түсініктемесі болуын ескерді. Тек 1889ж Герц электромагниттік толқындарды тәжірибе жүзінде ашып, Максвелл теңдеулерін қазіргі түрде тұжырымдады. Ол зарядтардың өзара байланысы үшін кеңістікте өріс қажет екендігін айтты.

Гаусстың электростатикалық теоремасы.

Кеңістіктегі барлық нүктелерінде анықталған А(x,y,z) векторы болсын.

Бұл жағдайда кеңістікте А векторлық өріс берілген деп есептейді. Кеңістікте берілген А(r) вектордың сызығы оның әрбір нүктесіндегі жанамасы А векторының бағытының сәйкес келетін сызықты айтамыз. Сәйкесінше бұл анықтамаға сәйкес электр өрісінің сызығы деп, жанамасы әрбір нүктесінде Е кернеуіне сәйкес келетін сызықты айтамыз. Өрістің кернеуінің векторлық модулі Е сызықтардың тығыздығымен сипатталады: сызықтардың тығыздығы көп болған сайын, |Е| өрісінің модулі көп болады.

Кейбір S бетті қарастырайық. Интеграл

Ф_А = ∫A·dS, (2.4)

S беті арқылы өткен А векторының ағыны деп аталады.

Векторлық ағынның мағыналық түсініктемесі келесідей:

Тұйықталаған бет арқылы өтетін өрістің векторлық Ф_А=∫АdS ағыны бетпен шектелген көлемнің ішіндегі өріс сызығының пайда болу мен жойылу қарқындылығымен сипатталады.

Нүктелік q заряд S бетпен тұйықталған V көлемнің ішінде орналассын. S беті арқылы өтетін Е электр өріс векторының ағыны мен осы бетпен тұйықталған q зарядтың арасындағы байланысты анықтайық

(2.5)

Бұл Гаусстың электростатикалық теоремасы болып табылады:

Тұйықталған бет арқылы өтетін электр өрісінің ағыны осы бұл бетпен тұйықталған зарядтың ε₀-ке қатынасымен анықталады.

Теореманың толық тұжырымдамасын алу үшін зарядтың кеңістікте таралуын қарастырып алу керек.

Өрістердің суперпозиция принципі:

Егер нүктелік q зарядтар жүйе болса, онда кеңістіктің әрбір нүктесіндегі электр Е өрісінің кернеулігі әрбір зарядпен тұғызылатын электр E_i өріс кернеуліктерінің қосындысына тең.

E=∑E_i (2.6)

Суперпозиция принципі – тәжірибелі факт және электродинамиканың бір фундаментальді жағдайларының ешбір дәлелсіз қолданылатын бірі болып табылады.

Сондықтан:

Сонымен

вакуумдегі тұйықталған бет арқылы электр өрісінің ағыны, көлемнің ішінде тұйықталған зарядтардың қосындысының электрлік тұрақтыға қатынасын айтады.

Егер соңғы өрнектің оң және сол бөліктегі шамаларын толықтырып жазсақ, онда Гаусстың электростатикалық теоремасының жалпы формасы келесі түрге ие болады:

(2.7)

(2.7) теңдеу түріндегі Гаусстың теоремасы Максвелл теңдеулер жүйесіндегі теңдеулерінің бірі деп аталады.

(2.7) теңдеу қорытындысы нүктелі заряд (2.2) өрісі үшін негізделген болатын, сондықтан Гаусс теоремасының негізі Кулон заңы болып табылады. Басқаша былай айтуға болады: Гаусс теоремасы Кулон заңының интегралдық тұжырымдамасы, яғни зарядтар электр өрісті туғызады деген қорытындыға әкеледі.

Гаусс теоремасының дифференциалдық формасы.

(2.11)

Гаусстың электростатикалық теоремасының физикалық негізі келесідей: электр өрісінің көзі мен ағуы сәйкесінше оң және теріс зарядтар болып табылады.

Электростатикалық өрістің потенциалдылығы.

Өрістің потенциалдылық шарты.

Күштік өріс потенциалды деп аталады, егер өрістің ішіндегі орын ауыстыруы кезіндегі күштер жұмысы тек жолдың алғашқы және соңғы нүктелерінен тәуелді болса және траектория формасынан тәуелсіз болса.

немесе:

тұйық контур арқылы орын ауыстыруы кезінде өрістің күштер жұмысы нөлге тең болса

электростатикалық өріс потенциалды.

-потенциалды өрістің дифференциалдық тұжырымдамасы.

Скалярлы потенциал

Зарядтың орын ауыстыру кезінде жұмыс траекториядан тәуелсіз болғандықтан, онда оны скалярлық функциясы арқылы сипаттауға болады, ал оның мәндерінің айырмасы оның жұмысын анықтайды.

болғандықтан, теңдеуінің теңдеуінің жалпы шешімі келесідей болады:

,

мұндағы (3.1)

(3.1) жүйедегі «-» таңбасы тарихи түрде пайда болды және -нің потенциалдың кему жағына бағытталғанын көрсетеді.

потенциалы да өрісін сипаттайды, яғни потенциал кез келген φ₀ тұрақтыға дейін дәлдікпен анықталған және оның сандық мәні болмайды. Сондықтан -ді кеңістіктің кез келген нүктесінде беруге болады. Бұл процедура нормалдау деп аталады. Қарапайым жағдайда (міндетті емес): немесе

Зарядтың 1 нүктеден 2 нүктеге орын ауыстыруы кезінде меншікті жұмысы :

Сонымен, физикалық мәнге потенциалдың абсолютті мәні емес, ал нүктелер арасындағы потенциалдар айырмасы ие: екі нүктенің арасындағы потенциалдар айырымы олардың арасындағы оң бірлік зарядтың орын ауыстыру кезіндегі жұмысқа тең.

Бұнда біз келесіні ескердік:

Нүктелік зарядтың потенциалы .

егер :

Нүктелік зарядтар жүйесінің потенциалы.

, мұндағы

Көлем бойынша үздіксіз таралған заряд потенциалы.

Бүкіл көлемді көлемдерге бөліп тастаймыз, олардың әр біреулерінде заряды бар, 4 пунктегі формуланы қолдансақ:

,

мұндағы - көлемнен потенциалын анықтайтын нүктеге дейінгі ара-қашықтық.

Бет бойынша таралған заряд өрісінің потенциалы.

Аналогия түрде :

Скалярлық потенциалдық қасиеті:

а) Ақырлы тығыздығы бар зарядтың таралуы кезіндегі потенциалдың ақырлығы.

п.5 –тағы формуланы сфералық координаталар үшін жазсақ:

Ақырлы тығыздығы бар ақырлы V облысында таралған зарядтар жүйесінің потенциалы – ақырлы.

Зарядты анықтау нүктесіндегі нүктелік зарядтың шексіз үлкен потенциалы оның заряд тығыздығының жалған шексіздігімен сипатталады:.

б) Потенциалдың үздіксіздігі.

, бірақ - кеңістіктің барлық нүктелерінде ақырлы болуы тиіс.

Сонымен потенциал координаталары бойынша ақырлы туындыларға ие болатын үздіксіз және ақырлы функция болып табылады.

Бұл қасиеттер және шарт потенциалы үшін дифференциалдық теңдеулерді шешу үшін маңызды.

Ирншоу теоремасы:

Кулон күшінен басқа күштер болмайтын орнықты бола алатын қозғалмайтын зарядтар конфигурациясы болмайды.

Немесе:

Қозғалмайтын зарядтардың тұйық жүйесі орнықты тепе-теңдік күйде бола алмайды (тек зарядтардың арасында Кулон күші болса ғана).