Лекции / Теория электромагнитного поля_каз / Лекция 9

Дәріс 9.

Тақырыбы: Электродинамиканың релятивистік тұжырымдамасы.

Дәріс жоспары:

1. Потенциалдардағы электромагниттік өріс теңдеулерінің коварианттылығы.

2. Электромагниттік өріс тензоры.

3. Бір инерциалдық жүйесінен басқа жүйеге көшкендені Е мен В –ның түрлендірулері.

Дәріс мәтіні:

Электромагниттік өріс шектік релятивистік обьект болып табылады. Өріс теңдеуі Лоренц түрлендіруіне ковариантты, яғни, есеп-қисаптың барлық инерциалды жүйелерде 1-ші формада ғана жазылады. Бұл жағдай Максвелл теңдеуі әдетте үшөлшемді түрде, ал ковариантты жазу үшін бұл теңдеу 4 өлшемді түрде қолданылатындықтан анықталмаған.

Электромагниттік өрістің негізгі теңдеуі және сандары есеп-қисаптың инерциалды жүйелерде дұрыс. Электромагниттік құбылыстың релятивистік сипаттамасы негізгі заңдар коварианттылығында және Лоренц түрлендіруіне қатысты электромагниттік шамаларының анықталған трансформациялық қасиеттерде байқалады:

(101)

Мұндағы матрица элементтері - Лоренц түрлендіруі.

, , , , яғни (102)

, . (103)

- ох және сәйкестенуі кезіндегі 1 жүйеден 2-ші жүйеге бағытталған қозғалыс жылдамдығының модулі теңдеу коварианттылығы электромагниттік өріс жүйесін сипаттайтын заряд деп аталатын шама скаляр немесе штрихталмаған жүйеден штрихталған жүйеге төмендегі заң бойынша өзгеру кезінде түзілетін Лоренц түрлендіруінің тензоры болуы керек.

(104a)

, (104б)

, (104в)

. (105)

Зарядтың релятивистік электродинамикаға инварианттылығы бастапқы принцип ретінде алынады.

, , (106)

, (107)

,

, (108)

Мұндағы -4- тоқ тығыздығының векторы.

Үзіліссіз теңдеуін 4 өлшемді түрде жазайық.

, (109)

,

(108) (110)

, . (111)

(11) өрнегі тоқ тығыздығының 4 өлшемді div болып табылады.

Электромагниттік өріс теңдеуінің коварианттылығын потенциалда көрсетейік.

, (112)

.

А, үшін потенциалдағы өріс теңдеуі.

, (113)

- болғандықтан, инвариантты шамалар. Потенциалдық калибровка шарты мына түрге келеді:

немесе

. (114)

(114) формуласы бойынша өріс потенциалдары шығады, олардан Е және В өріс векторына ауысуға болады. Бірақ біз Е және В формулаларын табудың оңай әдісін таңдаймыз.

Электромагниттік өріс тензоры 1 инерциалдық жүйеден 2-ші инерциалдық жүйеге өту кезіндегі Е және В түрлендіруі.

Өріс векторлары 1-инерциалдық жүйеден 2-инерциалдық жүйеге өткенде өзгереді. Оларды келесі тәсілмен есептеуге болады. Анықтама бойынша 2-ші рангтың антисимметриялық тензоры болатын шаманы қарастырайық:

. (115)

, Е= және (103)-ті пайдаланып, тензордың барлық элементтерін табуға болады.

(116)

(116) өрнегі - электромагнит өрісінің тензоры. Бұл жерде өрістің электр және магнит өрістері біріктірілгендіктен, тензор өрістің толық сипаттамасын береді.

(116) Максвелл теңдеуінің көмегімен ковариантты түрде жазылады:

(117)

мен (118)

Қорытындылар:

1. Бір тензорлы сипаттама көмегімен өрістің сипатталуы, оның электр және магниттіге бөлінетін бірлігімен шарты айтылады.

2. Максвелл теңдеуінің коварианттылығы электромагниттік өріс пен электродинамиканың негізгі заңдарының релятивистік табиғатын көрсетеді.

3. Бір инерциалдық жүйеден екіншісіне Е және В өріс векторларының түрленуінің формуласын табу үшін қарапайым жол сипатталады.

Бір инерциалдық жүйеден екіншісіне өту кезіндегі Е және В түрлендулерін, өріс инварианттылығын қарастырайық. Е және В проекциялары тензор компоненттерімен байланысты, сондықтан, 1-инерциалдық жүйеден 2-инерциалдық жүйеге өту кезіндегі олардың түрлену формулалары тензорлы шамаларының түрленуінің жалпы ережелерінен табылуы мүмкін.

.

(116)-ға сәйкес ,

Онда

(119)

υ→ -υ кері түрлендіру кезінде

(120)

Мысал. Электр өрісінің басқа есеп-қисап жүйелеріне түрленуі. Кейбір ИСЖ-де тек электр өрісі ғана болсын. Басқа жүйелерде электр де магнит өрісі де болсын. Е және В арасындағы байланыс формуласымен өрнектеледі. Магнит өрісі электр өрісіне және жүйе қозғалысының бағытына перпендикуляр. .

Мысалдан электр мен магнит өрісі есеп-қисап жүйесінің таңдауынан тәуелді екені көрінеді.

Релятивистік физикада қатысты емес абсолют шама - Лоренц түрлендіруінің инвариантты маңызды болады. (116) тензор түйіншектерін есептеу.

(121)

Себебі .

(119) формуланы тікелей қолданып, өріс векторларының инвариантты және скаляр туындыны мынаған тең екеніне көз жеткіземіз:

. (122)

Кеңістіктің әр нүктесіндегі инвариантты шамалар ИСЖ-н таңдауға тәуелді емес. Кейде оларды 1 жүйеден 2-не ауысқан кездегі өрісті есептеуі кезінде қолданған ыңғайлы.

Мысал 2. Қозғалыстың релятивистік емес жылдамдық кезінде өріс векторының түрлену формуласы . (120) теңдеу жүйесінен:

(123)

, және ескермейміз, өйткені өрістің зарядқа әсері Лоренц күшімен берілгендіктен, ал проекциясы электр құраушысымен салыстырғанда oz өсіне магнит құраушысы аз болады. Басқа проекциялар үшін де осылай. (123)-тен, өрістің электр және магнитке бөлінуінің қатысты сипаттамасы қозғалыстың релятивистік емес жылдамдықтары кезінде орын алады.

Әдебиеттер:

1. Джексон Дж. Классическая электродинамика. М.: Физматгиз, 1962.

2. Новожилов Ю.В., Яппа Ю.А. Электродинамика. М.: Физматгиз, 1978.

3. Смайт В. Электростатика и электродинамика. М.: ИЛ, 1954.

4. Фейнман Р., Лейторн Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. М.: Мир, 1967. Т. 4,5.

5. ЕА.Туров. Материальные уравнения электродинамики. М.Наука.1983

6. В.В. Батыгин, И.Н.Топтыгин, Электродинамика. М. Наука. 2001