1. Компоновка поперечного сечения пролетного строения.

Пролетное строение компонуется из пяти бездиафрагменных Т - образных балок, длиной 22 м., шириной 2,2 м. и высотой (1/20)l, что составляет 1,2 м. В поперечном направлении на монтаже балки объединяются монолитными стыками на петлевых выпусках. Свес тротуарной плиты - 0,25 м. с каждой стороны пролетного строения.

Балки приняты из бетона класса В30 предварительно напряженная арматура - К7 обычная - класса А — II.

Основные размеры поперечного сечения представлены на рисунке 1.

2. Определение геометрических характеристик поперечного сечения балки.

Для определения геометрических характеристик, первоначально необходимо сложное Т - образное поперечное сечение балки привести к более простому, состоящему из простых прямоугольников, при этом сохранив общую площадь первоначальной балки.

Первоначальное и приведенное сечения, а также размеры и буквенные сокращения представлены на рисунке 2.

Определяем площадь первоначальной фигуры. Для этого сложную фигуру разбиваем на более простые.

F₁ = (h'*(d - b)/2) + (R² - πR²/4) = (0,15 * (2,2 - 0,16)/2) + (0,3² – 3,14*0,3²/4) = 0,17235м ;

Соответственно, высота прямоугольника №1 в приведенной фигуре будет составлять 0,17 м.

F₂ = F_Tp + Fтрап= (0,12 + 0,1)*0,15 + 0,12*0,12*0,15 = 0,01695 м².

Соответственно, высота прямоугольника №3 в приведенной фигуре будет составлять 0,14 м.

Определяем площадь приведенной фигуры, путем разбивки ее на три простых прямоугольника.

F₁ = 0,17*2,1 = 0,374 м²;

F₂= 1,19*0,16 = 0,1424 м²;

F₃ = 0,14*0,4 = 0,056 м².

Определяем статический момент фигуры по формуле:

S_x = I(a_i*F_i) = 0,374*1,045+0,1424*0,515+0,056*0 = 0,464 м³.

где а, - высота до оси, проходящей через центр тяжести i - той фигуры, м.;

Fi - площадь i - той фигуры, м

Определяем координату «у» центра тяжести фигуры по формуле:

у_с= S_x/F = 0,464/0,5724 = 0,8109 м.

Определяем момент инерции фигуры по формуле:

I = (b*h³/12) + a²F

где, b- ширина, м.;

h - высота, м.;

а - высота до оси, проходящей через центр тяжести фигуры, м.

I₁ = (2,2*0,17³/12) + 0,2341²*0,374 = 0,0214 м⁴;

I₂= (0,16*0,89³/12) + (-0,2959)²*0,1424 = 0,0133 м⁴;

I₃= (0,4*0,14³/12) + (- 0,8109)²*0,056 = 0,0369 м⁴. Определяем суммарный момент инерции:

I_0бщ = Σ I_i = 0,0214+0,0133+0,0369 = 0,0716 м⁴.

Определяем момент от кручения по формуле:

I_кр - ¹/зΣ((b_i/δ_i) - 0,63) δ_i⁴

где, b_i, - большая сторона; δ_i - меньшая сторона.

I_кр1 = ¹/з ((2,2/0,17) - 0,63)*0,17⁴ = 0,00343 м⁴;

I_кр2 =¹/з ((0,89/0,16) - 0,63)*0,16⁴ = 0,00108 м⁴;

I_кр3 =¹/з ((0,4/0,14) - 0,63)*0,14⁴ = 0,00029 м⁴.

1_кр = ¹/з 0,00343+0,00108+0,00029 = 0,0048 м⁴.

3. Построение линий влияния давлений на балку.

Конструктивная схема, основные размеры и обозначения представлены на рисунке 3.

а, = а₀ + 2h = 0,2 + 2*0,15 = 0,5 м.

а, +1/3 = 0,5 + 2,2/3 = 1,23 м. |

а = max:

(2/3)* 1 = (2/3)*2,2 = 1,47 м.

Принимаем максимальный а = 1,47 м.

Построение расчетной схемы.

Таблица 1.- Сбор нагрузок.

№	Нагрузка	q^н. т/м	yt-	q, т/м
1.	Асфальтобетонное покрытие. р = 2,3 т/м ; δ = 0,07 м	0,161	1,5	0,2415
2.	Защитный слой. р = 2.4 т/м^3; δ = 0,04 м.	0,096	1,3	0,125
3.	Гидроизоляция. р= 1,8 т/м^3; δ = 0,01 м.	0,018	1,3	0,023
4.	Выравнивающий слой. р = 2,4 т/м^3; δ - 0,03 м.	0,072	1,3	0,094
5.	Плита проезжей части. р = 2,4 т/м^3; δ = 0,15 м.	0,36	1,1	0,396
6.	Σ	0,707		0,88

Сбор нагрузок производим по следующим формулам:

q^н = p* δ;

Определяем нагрузку от колеса тележки.

р_т^н = P_T/(a₁*b₁) = 5,5/(1,47*0,9) = 4,157 т/м².,

где, Р_т - нагрузка на колесо тележки = 5,5 т.

Рт = Рт^н *γ_fт*(l +μ),

где, γ_fт - изменяется в пределах 1,2 - 1,5 (при l= 30м. и l = 0 м. соответственно).

В данном примере, γ_fт = 1,2;

(1+μ)=1 +(45-l)/135 ≥ 1 = 1 + (45-2,2)/135 = 1,317 ≥ 1.

Рт = 4,157*1,2*1,317 = 6,57 т/м².

p_v^H = ν/b= 1,1/0,9= 1,222 т/м²,.

где, ν - полосовая нагрузка =1,1 т/м.

Pν = p_v^H * γ_fт (l + μ) = 1,222*1,2*1,317 =1,931 т/м²,

где γ_fν = 1,2.

Построение эпюры моментов.

Схема балки и эпюры представлены на рисунке 4.

Из условия Σm = 0, находим опорные реакции от нормативной и расчетной нагрузок.

R_b^н = (q^н*l*l/2 + p_т^н*bi*l/2 + p_v^н*bi*l/2)/l = (0,707*2,2*1,1 + 4,157*0,9*1,1 + 1,222*0,9*l,1)/2,2 = 3,198 т.

R_b = (q*l*l/2 + p_т*b_i*l/2 + p_ν*bi*l/2)/l = (0,88*2,2*1,1 + 6,57*0,9*1,1 + 1,931*0,9*1,1)/2,2 = 4,793 т.

Определяем М₀ от нормативной и расчетной нагрузок по формуле:

M₀ = R_b*l/2-q*l/8

М₀" = 3,198*1,1-0,707*0,275 = 3,32 т*м

М₀ = 4,793*1,1 - 0,88*0,275 = 5,03 т*м.

Особенности определения изгибающих моментов от нагрузки НК - 80.

Если для НК - 80 а > 1,2 м., то принимаем а = 1,2 м.

Коэффициенты надежности для НК - 80:

γ_f = 1

1,3 при 1 = 1м.

(1+ μ) =

1,1 при 1 > 5м.

Путем интерполяции получаем (1 + μ) = 1,23.

М_авт

За расчетный момент принимаем : М_расч = mах

М_НК-80

b₁^НК-80=1,1м.

а₁ +l/3 = 0,5 + 2,2/3 = 1,23 м.

а = max:

(2/3)*l = (2/3)*2,2=1,47м.

т.к. 1,47 > 1,23, принимаем а = 1,23 м.

p_НК-80^н =10/(1,2*1,1) = 7,576 т/м².

p_НК-80 = 7,576*1*1,23 = 9,318 т/м².

Определяем опорные реакции от нагрузки НК - 80, из условия E_m = 0.

R_b^н = (q^н*l*l/2 + p_НК-80^н *b₁^НК-80*l/2)/1 = (0,707*2,2*1,1 + 7,576* 1,1 *1,1)/2,2 = 4,94 т.

R_b = (q*l*l/2 + p_НК-80 * b₁^НК-80*l/2)/l = (0,88*2,2*1,1 + 9,318*1,1 *1,1)/2,2 = 6,09 т.

М₀^н = 4,94*1,1 - 0,707*0,275 = 5,24 т*м

М₀ = 6,09*1,1 - 0,88*0,275 = 6,46 т*м.

Т.к. М₀^н и М₀ больше при расчете по нагрузке НК - 80, дальнейший расчет проводим по нагрузке НК - 80.

Координаты эпюры моментов определяются по следующей формуле:

М = М_п*К

Таблица 2. Значения «К».

Значение n1	l/2	Опоры.
n1<30	К = + 0,5;-0,25	К=+0,25;-0,8
30< n1<100	К = +0,6;-0,25
n1>100	К = + 0,7;-0,25

n₁=D*l³/(GI_K)

где, GI_K - жесткость на кручение (G = 40% от Ев);

D - цилиндрическая жесткость.

D = E_B*h³/12(l-ν³) = 0,0325*0,17³/12*(1 - 0,2³) = 0,00001

где, Ев - модуль упругости бетона (Ев = 0,0325 т/м );

h - толщина плиты;

ν - коэффициент Пуассона (ν = 0,2).

n₁ = (0,00001*2,2³)/(0,0325*0,4*0,0277) =1,7

По значению n₁ определяем «К».

Определение координат эпюры изгибающих моментов.

От нормативной нагрузки:

Для l/2:

М^н = 5,24 * 0,5 = 2,62 т*м;

М^н = 5,24 * (- 0,25 ) = - 1,31 т*м.

Для опор:

М^н = 5,24 * (- 0,8 ) = - 4,192 т*м;

М^н = 5,24 * 0,25 = 1,31 т*м.

От расчетной нагрузки:

Для l/2:

М = 6,46 * 0,5 = 3,23 т*м;

М = 6,46 * (- 0,25 ) = - 1,615 т*м.

Для опор:

М = 6,46 * ( - 0,8 ) = - 5,168 т*м;

М = 6,46 * 0,25 = 1,615 т*м.

4. Определение коэффициента поперечной установки

Для определения линии влияния давления на балку, используем метод внецентренного сжатия с учетом кручения балки.

Схема к расчету и линия влияния представлена на рисунке 6

n = 6 — число балок;

х — координата единичной силы;

a_i — расстояние до балки;

m = 12 — коэффициент;

I_kp — крутящий момент;

I — момент инерции

R_j2 рассчитываем аналогично.

Коэффициенты поперечной установки определяются по следующим формулам:

1. Коэффициент от полосовой нагрузки:

1 — для первой колонны

S_i=

0,6 — для второй колонны

2. Коэффициент от нагрузки от тележки:

3. Коэффициент от нагрузки НК - 80:

4. Коэффициент от пешеходной нагрузки: К_п=ω = ½(1,17 + 0,91) * 1,5 = 0,557

ω — площадь линии влияния под тротуаром.

5. Определение усилий в сечении балки.

Схема к расчету представлена на рисунке 7

l = L – 2a = 22 – 2*0,4 = 21,2 м

Определение производим путем загружения линии влияния.

1. Первое загружение — колонны в пределах проезжей части + тротуары.

S_I = S_q + S_v + S_t + S_п

2. Второе загружение - колонны в пределах габарита, тротуары не загружены.

S_II = S_q + S_v' + S_t'

2. Третье загружение — НК в пределах проезжей части.

S_III = S_q + S_hk

S_q = q*ω= 4,575*56,18 =144,66

где q — погонная постоянная расчетная нагрузка;

ω — площадь линии влияния от поперечной силы.

q = q_пч*d + q_б=0,4835*2,2+0,5724*1,1*2,4=2,575 т/м

где q_пч — вес 1 м² проезжей части, т;

q_б — вес погонного метра балки, т.

S_v = ν*K_ν * ω *γ_fν*(l +μ)

γ_fν = 1,2

S_ν = 1,1*0,4268*56,18*1,2*1,18 = 37,35

S_ν' = 1,1*0,692*56,18*1,2*1,18 = 60,55

S_t = Р_т*К_т* γ_fт *(1 + μ)*(y₁ + y₂)

1,5 при λ = 0

γ_fт =

1,2 при λ > 30 м.

Методом интерполяции определяем необходимое γ_fт = 1,32.

S_t = 11*0,408*1,32*1,18*(5,3 + 4,55) = 68,95

S_t'= 11*0,74*1,32*1,18*(5,3 + 4,55) = 124,89

S_п = P_п*K_п* ω * γ_fп *(l + μ)_п

P_п = 400 - 2k > 200 кг/м² = 0,2 т/м²

P_n = 400 - 2*21,2 = 357,6 кг/м² = 0,3576 т/м²

γ_fп = 1,2

S_п = 0,3576*0,557*56,18*1,2*1,18 = 15,85

S_hk = P_hk*K_hk* γ_fнк *(1 + μ)*(y₁ + у₂ + у₃ + y₄)

Р_нк = 20 т;

γ_fнк = 1,0;

1,3 при λ = 1,0

(1 + μ) =

1,1 при λ ≥ 5 м.

S_hk = 20*0,396*1,0*1,1*(4,1+4,7+5,3+4,7) = 163,78

S_I = 144,66+37,35+68,95+15,85 = 266,81

S_II = 144,66+60,55+124,89 =330,1

S_III = 144,66+163,78 = 308,44

S_q ^н= q*ω= 136,94

S_ν^н = 1,1*0,4268*56,18 = 26,37

S_ν'^н = 1,1*0,692*56,18 = 42,76

S_t ^н= 11*0,408*(5,3 + 4,55) = 44,27

S_t'^н= 11*0,74*(5,3 + 4,55) = 80,18

S_п = 0,3576*0,557*56,18= 11,19

S_hk = 20*0,396*(4,1+4,7+5,3+4,7) = 148,9

S_I ^н= 136,94+26,37+44,27+11,19 = 218,77

S_II ^н= 136,94+42,76+80,18 =259,88

S_III ^н= 136,94+148,9 = 285,84

6. Подбор поперечного сечения арматуры

Подбор поперечного сечения арматуры производится по огибающей эпюре моментов балки таким образом, что значения М_оп верхней ветви — для подбора верхней сетки (С1), а значение Mi/г нижней ветви — для подбора нижней сетки (С2). Момент на 1 погонный метр плиты.

Схема к определению поперечного сечения арматуры представлена на рисунке 5.

Существует три метода определения поперечного сечения арматуры:

Рисунок 5 - Схема поперечного сечения арматуры

М < М_пр = R_B*b*x(h₀ - х/2)

R_b*b*x=R_s*A_s

х – высота сжатой зоны бетона;

As – площадь поперечного сечения арматуры;

R_B – расчетное сопротивление бетона (15,5 МПа=1550 т/м²);

R_s – расчетное сопротивление арматуры (340 МПа=34000т/м²);

М – изгибающий момент;

b – армируемый погонный метр балки;

h₀ – высота от верха плиты до нижней арматуры (h-a);

Перед подбором необходимо задаться:

1. Диаметр арматуры. d_apм = 10, 12, 14 мм. Принимаем диаметр 12 мм.

2. Толщина защитного слоя бетона. Для верхнего слоя а_защ — 5 см, для нижнего слоя а_защ — 3 см.

Найдем количество арматур в нижней зоне. Определяем высоту сжатой зоны бетона, решая квадратное уравнение. Из полученных результатов выбираем наименьший из получившихся корней уравнения:

5,168=1550*1*x*(0,14 – x/2)

х= 0,026 м

A_s= R_b*b*x/ R_s=1550*1*0,026/34000=1,185 *10^-3 м²

Количество стержней рассчитывается по формуле:

n = A_s/f_s=1,185*10^-3/1,53*10^-4= 7,75 => 8 стержней

f_s — площадь стержня, м².

f_s = πd²/4=3,14*0,014²/4=1,53 *10^-4 м²

Допускается не менее пяти стержней на один погонный метр.

Распределительная арматура:

А_р = ¼*1,185*10^-3 = 0,000296 м²

f_p = 3,14*0,006²/4 = 0,000028 м²

n = 0,000296/0,000028 = 10,6 ≈ 12 стержней.

Определим количество арматур в верхней части плиты. Расчет ведем аналогично.

3,23=1550*1*x*(0,12 – x/2)

х= 0,018 м

A_s= R_b*b*x/ R_s=1550*1*0,018/34000=8,2*10­­­­­^-4 м²

Количество стержней рассчитывается по формуле:

n = A_s/f_s=8,2*10^-4/1,13*10^-4=7,26 => 8 стержней

f_s — площадь стержня, м².

f_s = πd²/4=3,14*1,2²/4=1,13*10^-4 м²

Распределительная арматура:

А_р = ¼*8,2*10^-4 = 0,000205 м²

f_p = 3,14*0,006²/4 = 0,000028 м²

n = 0,000205/0,000028 = 7,32 ≈ 8 стержней.

Конструирование сетки представлено на рисунке 6.

Рисунок 6 - Конструирование сетки

7. Проверка прочности балки по поперечной силе

7.1 Определение поперечной силы в опорных сечениях балки

Схема к расчету представлена на рисунке

l = L – 2a = 22 – 2*0,4 = 21,2 м

а = 0,4 м

Определение производим путем загружения линии влияния.

1. Первое загружение — колонны в пределах проезжей части + тротуары.

Q_I = Q_q + Q_v + Q_t + Q_п

2. Второе загружение - колонны в пределах габарита, тротуары не загружены.

Q_II = Q_q + Q_v' + Q_t'

2. Третье загружение — НК в пределах проезжей части.

Q_III = Q_q + Q_hk,

Q_q = q_р*ω,

где q_р — погонная расчетная постоянная нагрузка от веса балки;

ω — площадь линии влияния от поперечной силы.

Q_q = 2,575*10,6 = 27,295 т

Q_v = ν*K_ν * ω *γ_fν*(l +μ),

γ_fν = 1,2

Q_ν = 1,1*0,4268*10,6*1,2*1,18 = 7,047 т

Q_ν' = 1,1*0,692*10,6*1,2*1,18 = 11,42 т

Q_t = Р_т*К_т* γ_fт *(1 + μ)*(y₁ + y₂)

Q_t = 11*0,408*1,32*1,18*(1+0,93) = 13,49 т

Q_t' = 11*0,74*1,32*1,18*(1+0,93) = 24,47 т

Q_п = P_п*K_п* ω * γ_fп*(l + μ)_п

γ_fп = 1,2

Q_п = 0,3576*0,557*10,6*1,2*1,18 = 2,99 т

Q_hk = P_hk*K_hk* γ_fнк *(1 + μ)*(y₁ + у₂ + у₃ + y₄)

Р_нк = 20 т;

γ_fнк = 1,0;

1,3 при λ = 1,0

(1 + μ) =

1,1 при λ ≥ 5 м.

Q_hk = 20*0,396*1,0*1,1*(1+0,94+0,89+0,83) = 31,88 т

Q_I = 27,295 + 7,047 + 13,49 + 2,99 = 50,822 т

Q_II = 27,295 + 11,42 + 24,47 = 63,185 т

Q_III = 27,295 + 29,88 = 57,175 т

Определение поперечной силы в опорных сечениях балки от нормативной нагрузки.

Q_q^н = 25,83 т

Q_v^н = ν*K_ν * ω

Q_ν ^н= 1,1*0,4268*10,6= 4,97 т

Q_ν' ^н= 1,1*0,692*10,6 = 8,07 т

Р_т*К_т* (y₁ + y₂)

Q_t ^н= 11*0,408*(1+0,93) = 8,66 т

Q_t' ^н= 11*0,74(1+0,93) = 15,71 т

Q_п = P_п*K_п* ω

Q_п ^н= 0,3576*0,557*10,6= 2,11 т

Q_hk = P_hk*K_hk*(y₁ + у₂ + у₃ + y₄)

Q_hk ^н= 20*0,396*(1+0,94+0,89+0,83) = 29,98 т

Q_I ^нн= 25,83+4,97+8,66+2,11= 41,57т

Q_II ^н= 25,83+8,07+15,71= 49,61т

Q_III ^н= 25,83 +29,98= 55,81т

7.2 Подбор поперечного сечения арматуры

Схема к расчету представлена на рисунке 9 .

Рисунок 9 – Схема к подбору поперечного сечения арматуры

∑m₀ = 0

M_пp = R_b*b_f'*x(h₀-x/2)

∑y = 0

R_p*A_p - R_b*b_f'*x = 0

Для определения арматуры по вышеприведенным формулам, необходимо определить х (высота сжатой зоны бетона), затем из уравнения определить Ар. В инженерной практике используются уравнения для подбора арматуры.

h₀ ≈ 0,875h

h₀=0,875*1,2=1,05 м

R_b=155 кг/см²

Получив α, по таблице получаем ζ = 0,953

Определяем суммарную площадь арматуры:

Определяем площадь поперечного сечения пучка:

n = 49 — число проволок в пучке;

d = 0,5 см — диаметр одной проволоки.

Определяем число пучков:

Расположение пучков в балке представлено на рисунке .

Рисунок – Расположение пучков в балке

7.3 Определение геометрических характеристик

приведенного сечения балки

Схемы к расчету представлены на рисунке .

Рисунок – Схемы к определению геометрических характеристик

приведенного сечения балки

Е_р — модуль упругости арматуры;

Е_b — модуль упругости бетона.

Площадь арматуры:

А_Р =∑n_i * f_n = 4 * 9,62 = 38,48 см²

Приведенная площадь:

A_red=A_b+A_s*m = 5724 + 38,48*5,54 = 5937,18 см²

Положение центра тяжести арматуры

Статический момент (схема к определению представлена на рисунке ) арматуры относительно оси:

Рисунок – Схемы к определению статического момента

S_red=S_b+m*A_p*a = 464166+5,54*38,48*6,625=465578,31 см³

Положение центра тяжести приведенного сечения

y_red=S_red/A_red=465578/5937,18=78,4 см

Момент инерции приведенного сечения

I_red= I_b+A_b(y_red - y_b)²+m*A_p(y_red – a)²,

I_red =7,16*10⁶+5724*(78,4-81,16)²+5,54*38,48*(78,4-6,625)= 8,3*10⁶ см⁴

4. Определение потерь

Схемы к определению потерь представлены на рисунке .

Рисунок – Схемы к расчету потерь

7.4.1 Потери от релаксации арматуры.

,

— величина предварительного напряжения = R_p.

R_p,ser — нормативное сопротивление арматуры на растяжение.

2. Потери от деформации анкеров.

,

где - длина пучка;

= 2 мм на каждый анкер.

2. Потери от трения.

,

где е = 2,78;

σ = 0,25;

θ_i — углы перегиба.

Углы перегиба определяется из образованных отогнутыми и горизонтально лежащих арматурными пучками прямоугольных треугольников

θ = 0,113 рад.

θ = 0,107 рад.

Так как, углы различаются на очень малую величину, примем средний угол за расчетный

θ _ср= 0,11 рад

2. Потери от быстронатекающей ползучести.

N =∑σ_pi * А_Рi,

где N — сила предварительного напряжения;

σ_pi — напряжение в пучке с учетом первых трех потерь.

σ_p1=R_p – σ₁ – σ₂ =10450-775,04-327,24=9347,72 кг/см

σ_p2=R_p – σ₁ – σ₂ – σ₃=10450-775,04-327,24-289,74=9058 кг/см

N= 9,62*(9347,72*2+9058*2) = 354126 кг

σ_вр — напряжение в арматуре с учетом первых трех потерь на уровне центра тяжести арматуры;

R_bp ≈ 0,8*R_b = 0,8*155 = 124 — передаточная прочность бетона.

=> для определения потерь применяем следующую формулу:

7.4.5 Потери от усадки бетона

При натяжении на упоры, потеря от усадки бетона равна:

σ₅ = 40 МПа = 400 кг/см²

7.4.6 Потери от ползучести

N =∑σ_pi * А_Рi

где N — сила предварительного напряжения;

σ_pi — напряжение в пучке с учетом первых пяти потерь.

σ_p1=R_p – σ₁ – σ₂ – σ₄- σ₅ =10450-775,04-327,24-63,155-400=8884,565 кг/см

σ_p2=R_p – σ₁ – σ₂ – σ₃– σ₄- σ₅ =10450-775,04-327,24-289,74-63,155-400=8594,825 кг/см

N= 9,62*(8884,565 *2+8594,825 *2) = 336303,46 кг

σ_вр — напряжение в арматуре с учетом первых пяти потерь на уровне центра тяжести арматуры;

R_bp ≈ 0,8*R_b = 0,8*155 = 124 — передаточная прочность бетона.

=> для определения потерь применяем следующую формулу: