Для лучшего уяснения всех нюансов, возникающих при применении правил Кирхгофа, рассмотрим пример достаточно разветвленной цепи.

Пример 2.10. В схеме на рис. 2.16 Ом,Ом,В,В. Определить токи во всех ветвях цепи. Внутренними сопротивле­ниями источников пренебречь.

Решение. Произвольно расста­вим токи на всех участках цепи (от узла до узла). Всего требуется определить шесть токов.

В цепи четыре узла. Применяем первое правило Кирхгофа для трех узлов D, Н и В:

Узел D: .

Узел Н: .

Узел В: .

Уравнение для узла F записывать нет необходимости, поскольку оно является просто следствием (линейной комбинацией) уравнений для узлов D, В и Н. Можно сформулировать общее правило: если в цепи имеется n узлов, то первое правило Кирхгофа имеет смысл применить для (n-1) узла.

Так как в задаче шесть неизвест­ных, для ее решения нам необходимо записать шесть уравнений. Оставшиеся три уравнения получим, применяя второе правило Кирхгофа для каких-либо трех замкнутых контуров в цепи таким образом, чтобы все ЭДС и сопротивления входили в систему уравнений. Учитывая, что внутренние сопротивления пренебрежимо малы, получим:

Контур АВНFGA: .

Контур ВСDHB: .

Контур DEFHD: .

Далее подставляем численные значения ЭДС и сопротивлений и решаем систему уравнений. Ответ: А,А,А,А,А,А. Токииполучились отрицательными, следовательно, они направлены в стороны, противоположные указанным на рис. 2.16.

2.8. Закон Ома в дифференциальной форме. Электронная теория проводимости

Запишем закон Ома в другом виде. Для этого введем векторную величину, ориентированную по локальному направлению тока и называемую плотностью электрического тока:

, (2.21)

где ток, текущий в проводнике, аплощадь поперечного сечения проводника. В результате получим:

.

Величина называется удельной проводимостью (- удельное сопро­тив­ле­ние). Учитывая, чтонапряженность электрического поля в провод­нике, получим:

. (2.22)

Уравнение (2.22) представляет собой закон Ома в дифференциальной форме. Плотность тока прямо пропорциональна напряженности электрического поля в проводнике. Предполагается, что сама проводимость от напряженности электрического поляне зависит. Однако на практике наблюдаются отклонения от линейной зависимости. Например, если при достаточно сильных полях скорость упорядоченного движения электронов достигает скорости звука в металле (м/с), то возбуждаются звуковые колебания кристаллической решетки металла, что приводит к уменьшению времени свободного пробега электронов, и, следовательно, падению величины проводимости.

Каким образом можно теоретически обосновать законы Ома (2.2) и (2.22)? Ясно, что для этого необходимо детально рассмотреть движение электронов внутри проводника и понять природу электрического сопротивления. Мы рассмотрим классическую электронную теорию сопротивления металлов (теория Друде – Лоренца), созданную в конце XIX– началеXXвеков. Для начала рассмотрим движение электронов в проводнике.

В металлах имеются свободные электроны, которые могут двигаться по всему объему металла. Если потенциалы концов проводника равны, то электроны движутся хаотически, и сила тока равна нулю. Скорость такого хаотического движения можно приблизительно оценить, рассматривая их движение подобно тепловому движению молекул газа. Среднеквадратичная скорость такого движения находится из условия , откуда при комнатных температурах (К) получаем:

(м/с).

Столь высокие скорости, конечно, обусловлено очень малой массой электронов. Такая оценка будет более точной для полупроводников, где концентрация свободных электронов не очень велика. Для металлов, вообще говоря, пользоваться выводами молекулярно-кинетической теории нельзя из-за большой концентрации электронов проводимости. Более точная, квантовая теория показывает, что скорость хаотического движения электронов в металлах м/с и практически не зависит от температуры.

Если же на концах провода создать разность потенциалов, то на хаотическое движение электронов наложится их упорядоченное движение от более низкого потенциала к более высокому. Другими словами, под действием электрического поля каждый электрон приобретает некоторую добавочную скорость . Будем называть ее дрейфовой скоростью, а упорядоченное движение электронов – дрейфом электронов. Наложение на хаотическое движение электронов дрейфового движения приведет к тому, что у электронов появится преимущественное направление движения, т.е. возникнет электрический ток.

Ток и его плотность определяются величиной дрейфовой скорости электронов. За время через некоторое сечение проводауспевают пролететь только те электроны, которые изначально находятся не далее чем на расстоянииот сечения, т.е. электроны, находящиеся в объеме. Пустьконцентрация свободных электронов в проводнике, тогда число электронов, прошедших за времячерез сечение провода. Заряд, который они перенесли. Тогда сила тока, а плотность тока:

. (2.23)

Пример 2.11. Оценить скорость дрейфового движения электронов в медном проводнике сечением 1 мм²при силе тока 1 А, считая что на каждый атом меди приходится один свободный электрон.

Решение. Скорость дрейфового движения электронов рассчитаем по формуле (2.23). Для этого определим концентрацию электронов проводимости или равную ей по условию задачи концентрацию атомов меди. Число атомов меди объемаV:, гдепостоянная Авогадро,количество вещества,плотность меди,молярная масса меди. Тогда концентрация атомовм^-3. Находим скорость дрейфового движения:

.

Этот пример позволяет сделать вывод о том, что скорость дрейфового движения электронов значительно меньше скорости их теплового движения.

Теперь проанализируем природу электрического сопротивления. Классическая электронная теория сопротивления металлов предполагает, что при движении в электрическом поле электроны сталкиваются с ионами кристаллической решетки металла. При каждом столкновении с ионами решетки электроны полностью теряют скорость дрейфового движения, приобретенную в результате разгона в электрическом поле. После столкновения электрон снова разгоняется в электрическом поле, приобретая дрейфовую скорость, затем при столкновении с ионом решетки опять теряет ее и т. д. Такие столкновения и ответственны за сопротивление металла. Имея в виду законы классической физики, рассмотрим движение электрона в соответствии со вторым законом Ньютона. В промежутке между двумя столкновениями на электрон действует сила со стороны электрического поля :. Под действием этой силы электрон приобретает ускорениеи приобретает дрейфовую скорость. Пустьсреднее время между соударениями электрона с ионами решетки. Тогда в момент времениэлектрон сталкивается с ионом и его дрейфовая скорость падает до нуля. График зависи­мости скорости дрейфового дви­же­ния от времени представлен на рис. 2.17. Такое кусочно-равно­ус­ко­ренное движение можно пред­ста­вить как равномерный дрейф электрона со средней скоростью

.

Тогда по формуле (2.23) плотность тока:

. (2.24)

Итак, выражение (2.24) по форме совпадает с (2.22). Плотность электрического тока прямо пропорциональна напряженности электрического поля в проводнике. Сравнивая (2.24) и (2.22), можно сделать вывод о том, что удельная проводимость и удельное сопротивление соответственно имеют вид

,.

В современной физике применение классических теорий для описания поведения мельчайших частиц (например, молекул, атомов, электронов) решает вопрос, как правило, лишь частично. Ряд эффектов остается необъясненным. Однако классические теории по праву занимают свое место во всех разделах физики, и прежде всего, из-за своей простоты, наглядности. Именно противоречивые результаты классических теорий привели к необходимости создания «новой» квантовой физики, получившей свое развитие в XXвеке.

Среднее время между столкновениями электронов с атомами решетки можно представить как , гдесредняя длина свободного пробега электрона, т.е. расстояние, которое он пролетает за время между двумя последовательными соударениями, атепловая скорость движения электронов. Тогда для удельного сопротивления получим формулу

,

из которой видно, что чем больше концентрация свободных электронов и длина их свободного пробега, тем меньше сопротивление. Это вполне закономерно. Кроме того, теория объясняет рост сопротивления при повышении температуры, поскольку , то и. Впрочем, на практике наблюдается линейная зависимость(см. формулу (2.4)).

Помимо температурной зависимости сопротивления остаются и другие вопросы, которые классическая теория объяснить не в состоянии. Сформулируем некоторые из них. На электросопротивления металлов значительно влияют механическая и термическая обработка, а также примеси. Удельное сопротивление технической меди при 20 ⁰С составляет 0,0172 мкОмм (и далее все сопротивления приведены для этой температуры). После холодной протяжки сопротивление медной проволоки возрастает до 0,0177 мкОмм. Сопротивление возрастает даже при наматывании проволоки на катушку. Очевидно, сопротивление чувствительно к небольшим нарушениям кристаллической структуры. Еще более удивительна разительная зависимость сопротивления от ничтожных примесей. Тщательная очистка уменьшает сопротивление меди до 0,0169 мкОмм. Достаточно добавить к меди всего 1 % марганца, и ее удельное сопротивление возрастает до 0,048 мкОмм, т.е. почти в 3 раза! Заметим, что сопротивление чистого марганца – 0,05 мкОмм. Аналогичным образом действуют добавки железа, кобальта, иридия и другие. Если бы сопротивление металлов происходило от столкновений электронов с атомами решетки, то 1 % примесей должен был бы влиять на сопротивление гораздо слабее.

Очень большим сопротивлением обладают сплавы, содержащие примеси в большой пропорции. Например, константан, состоящий из 60 % меди и 40 % никеля, имеет удельное сопротивление 0,44 мкОмм, в то время как у чистой меди оно равно 0,017 мкОм/м, а у никеля – 0,072 мкОмм. Наибольшим удельным сопротивлением (1 мкОмм) обладает нихром, который широко используются в нагревательных приборах.

Удивительным является также тот факт, что температурная зависимость сопротивления сплавов совсем другая, чем у чистых металлов. Сопротивление сплавов также возрастает с температурой, но гораздо слабее по сравнению с сопротивлением чистых металлов. Например, удельное сопротивление константана в интервале температур от 0 ⁰С до 400⁰С меняется всего лишь от 0,441 до 0,448 мкОмм. С точки зрения классической теории сопротивление сплава должно складываться из сопротивлений его составных частей, поэтому все перечисленные факты этой теорией не объясняются.

Понять природу электрического сопротивления можно с использованием законов квантовой механики. Согласно квантовой механике электрон (и другие микрообъекты) имеет одновременно свойства и частицы, и волны. Поскольку расстояние между атомами кристаллической решетки оказывается порядка длины волны электрона, он проявляет волновые свойства. В квантовой теории протекание электрического тока через металл описывается как распространение электронных волн. Удивительным следствием этой теории является тот факт, что в идеальной, т.е. строго периодической кристаллической решетке, электронные волны распространялись бы без всяких помех. Распространение электронных волн по атомным коридорам можно сравнить с распространением света по световоду с зеркальными стенками или распространением радиоволн по волноводам (металлическим трубкам). Если поверхность волновода неровная, имеет зазубрины, то волны как бы разбиваются о них, т.е. рассеиваются и поглощаются. Атомный коридор кристалла со строго упорядоченным расположением атомов можно сравнить с идеальным волноводом. На языке классической физики это означает, что электроны бы совсем не сталкивались с ионами кристаллической решетки! Откуда же тогда возникает сопротивление, как тогда электроны отдают свою энергию решетке? Оказывается, что рассеяние и поглощение электронных волн происходит только при нарушении строгого порядка в расположении атомов. Идеальных кристаллов не существует, кристаллическая решетка всегда имеет какие-то дефекты. Кроме того, ионы кристаллической решетки не покоятся, а совершают тепловые колебания, что также нарушает строгий порядок в расположении атомов. Таким образом, электроны сталкиваются только с дефектами кристаллической решетки. Причем при комнатных температурах они в основном рассеиваются вследствие колебаний решетки. При низких температурах основную роль в сопротивлении начинают играть структурные дефекты решетки (дислокации, вакансии и др.).

Квантовая теория довольно просто объясняет температурную зависимость сопротивления, а также все выше перечисленные факты. При увеличении температуры интенсивность тепловых колебаний ионов кристаллической решетки возрастает, следовательно, она становится более неупорядоченной, и сопротивление металла возрастает. Внедрение примесных атомов также вызывает серьезные искажения структуры кристаллической решетки, и, как следствие, резкое увеличение сопротивления (один атом примеси может изменить положение сотен атомов кристалла). Если охлаждать металл, то часть сопротивления, происходящая от теплового движения атомов, падает, остается только структурная часть. Когда тепловая часть сопротивления становится гораздо меньше структурной, при дальнейшем понижении температуры сопротивление почти не меняется. Сплавы имеют неупорядоченную структуру, поэтому структурная часть сопротивления сплавов больше тепловой части даже при высоких температурах. Этим объясняется слабая зависимость сопротивления сплавов от температуры.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Дайте определения силы электрического тока, напряжения на участке цепи.

2. Сформулируйте закон Ома для однородного участка цепи.

3. От чего зависит электрическое сопротивление проводника?

4. Длину проволоки вытягиванием увеличили в два раза. Как изменится её сопротивление?

5. Сформулируйте закон Джоуля - Ленца.

6. Чему равны работа и мощность электрического тока на участке цепи сопротивлением R?

7. Какое количество теплоты потребляет 100-ваттная лампочка за секунду?

8. Определите сопротивление 100-ваттной лампочки, рассчитанной на напряжение 220 В.

9. Запишите законы последовательного и параллельного соединения проводников.

10. В квартире включены две лампочки сопротивлением по 110 Ом каждая и плитка с сопротивлением 20 Ом. Определить силу тока, расходуемого на питание данной сети.

11. Дайте определение ЭДС источника тока.

12. Сформулируйте закон Ома для полной цепи.

13. Что называется током короткого замыкания источника?

14. Построить графики зависимости а) тока, б) напряжения на клеммах источника в) мощности, выделяемой во внешней цепи, от величины внешнего сопротивления.

15. Объясните принцип работы химических источников тока.

16. Сформулируйте закон Ома для неоднородного участка цепи.

17. Через аккумулятор течёт ток. Сравните разность потенциалов на клеммах аккумулятора с его ЭДС.

18. Сформулируйте правила Кирхгофа. В каких случаях их целесообразно применять?

19. Запишите закон Ома в дифференциальной форме.

20. Объясните, что такое дрейфовое движение электронов. Как велика скорость этого движения?

21. В чём заключается природа электрического сопротивления металлов? Как объяснить увеличение сопротивления металлов при повышении температуры? Почему сопротивление сплавов слабо зависит от температуры?