- •Оглавление
- •Введение
- •1. Электростатика
- •1.1. Закон Кулона
- •1.2. Электрическое поле и его характеристики
- •1.3. Связь напряженности электрического поля и потенциала
- •1.4. Электрическое поле точечного заряда. Принцип суперпозиции
- •1.5. Графическое изображение электрических полей. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности
- •1.6. Теорема Гаусса для электрического поля в вакууме
- •1.7. Проводники в электрическом поле
- •1.8. Электрическое поле в диэлектриках
- •1.9. Теорема Гаусса для электрического поля в диэлектриках
- •1.10. Конденсаторы
- •1.11. Энергия электрического поля
- •1.12. Потенциальность электрического поля. Теорема о циркуляции
- •2. Постоянный электрический ток
- •2.1. Закон Ома для однородного участка цепи
- •2.2. Работа и мощность электрического тока. Закон Джоуля - Ленца
- •2.3. Последовательное и параллельное соединение проводников
- •2.4. Источники тока. Закон Ома для полной цепи
- •2.5. Химические источники тока. Элемент Вольта
- •2.6. Закон Ома для неоднородного участка цепи
- •2.7. Правила Кирхгофа
- •Для лучшего уяснения всех нюансов, возникающих при применении правил Кирхгофа, рассмотрим пример достаточно разветвленной цепи.
- •2.8. Закон Ома в дифференциальной форме. Электронная теория проводимости
- •3. Магнетизм
- •3.1. Магнитное поле. Сила Лоренца
- •3.2. Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях
- •3.3. Сила Ампера
- •3.4. Рамка с током в магнитном поле
- •3.5. Эффект Холла
- •3.6. Вычисление магнитной индукции. Закон Био-Савара-Лапласа
- •3.7. Циркуляция и поток вектора магнитной индукции
- •3.8. Работа по перемещению контура с током в магнитном поле. Работа электродвигателя
- •3.9. Индуктивность
- •3.10. Закон электромагнитной индукции
- •3.11. Правило Ленца
- •3.12. Явления при замыкании и размыкании тока. Энергия магнитного поля
- •3.13. Генераторы и электродвигатели
- •3.14. Трансформаторы
- •3.15. Природа электромагнитной индукции
- •3.16. Магнитное поле в веществе
- •3.17. Теорема о циркуляции магнитного поля в веществе. Напряженность магнитного поля
- •3.18. Молекулярная теория магнетизма
- •3.19. Ток смещения. Уравнения Максвелла
- •3.20. Природа магнетизма
- •4. Электромагнитные колебания и волны
- •4.1. Колебательный контур
- •4.2. Колебательный контур с затуханием
- •4.3. Вынужденные колебания в lcr-контуре
- •4.4. Переменный ток в электрических цепях
- •4.4.1. Активное, индуктивное и емкостное сопротивления
- •4.4.2. Закон Ома для переменного тока. Активное и реактивное сопротивления
- •4.4.3. Метод векторных диаграмм
- •4.4.4. Эффективные напряжение и ток
- •4.4.5. Мощность в цепи переменного тока
- •4.5. Электромагнитные волны
- •4.5.1. Шкала электромагнитных волн
- •4.5.2. Получение электромагнитных волн
- •4.5.3. Энергия электромагнитных волн. Вектор Умова-Пойнтинга
- •Список литературы
1.3. Связь напряженности электрического поля и потенциала
Предположим, что нам известен потенциал электрического поля во всех точках пространства. Как найти напряженность поля в некоторой точке?
Выберем в пространстве, где существует электрическое поле, декартову прямоугольную систему координат. Перенесем некоторый пробный заряд q вдоль оси x на малое расстояние . Тогда работа электрического поля по перемещению зарядаq из одной точки в другую
,
где и () – начальная и конечная координаты заряда, а– изменение потенциала заряда.
С другой стороны по определению элементарная работа силы (на небольшом участке траектории) есть скалярное произведение векторов и приращения радиус-вектора :
,
где проекции вектора силы на соответствующие оси прямоугольной системы координат.
Так как заряд перемещается вдоль оси , то его координатыине меняются:. Следовательно, получаем:
.
Приравнивая правые части полученных для величины выражений:, для проекции вектора напряженности на осьx получим:
, (1.9)
т.е. проекция вектора напряженности электрического поля на ось x равна производной потенциала по направлению оси x, или, другими словами, равна градиенту потенциала в этом направлении.
Аналогично, смещая заряд вдоль оси или вдоль оси, можно найти величины проекцийи:
, (1.9,а)
. (1.9,б)
Итак, все три компоненты вектора напряженности электрического поля известны:
. (1.9,в)
Вектор, стоящий справа в последнем уравнении, называется градиентом скалярной функции и обозначается. Таким образом
, (1.10)
т.е. две характеристики электрического поля – напряженность и потенциал связаны друг с другом. Зная потенциал в каждой точке пространства, где существует электрическое поле, можно определить вектор напряженностив каждой точке этого пространства, и наоборот.
1.4. Электрическое поле точечного заряда. Принцип суперпозиции
Определим напряженность и потенциал электрического поля точечного заряда q на расстоянии r от него. Поместим некоторый «пробный» положительный заряд на расстоянииr от заряда . Тогда на заряд действует сила, модуль которой определяется выражением (1.1)
.
По определению напряженности поля (1.3) находим
. (1.11)
Таким образом, величина напряженности электрического поля точечного заряда обратно пропорциональна квадрату расстояния от заряда до точки наблюдения. Согласно (1.3) вектор направлен так же, как и сила, действующая на «пробный» положительный заряд. Если зарядположительный, то векторнаправлен вдоль радиус-вектора(рис.1.3, а), проведенного от точечного заряда в точку наблюдения. Если заряд отрицательный, то векторнаправлен против вектора(рис. 1.3, б). Таким образом, для проекции векторана направление радиус-вектора, проведенного от точечного заряда в точку наблюдения, получится формула
, (1.11,а)
(1.11,б)
Теперь определим потенциал поля точечного заряда, для которого формула (1.10) имеет следующий вид
,
где проекция вектора напряженности электрического поля на направление радиус вектора, проведенного от точечного заряда в точку, где определяются характеристики поля. Подставляя в нее значение из (1.11,а), получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
,
далее интегрируем:
,
где С – константа интегрирования. На бесконечно большом расстоянии () получим. Имея ввиду нулевое значение потенциала бесконечно удаленных точек, полагаем. Таким образом, потенциал поля точечного заряда
. (1.12)
Как потенциал, так и напряженность электростатического поля, подчиняются принципу суперпозиции, который является важнейшим свойством электрического поля. Согласно этому принципу, напряженность поля (потенциал), создаваемая в какой-либо точке пространства системой зарядов, равна векторной (скалярной, с учетом знаков) сумме напряженностей (потенциалов), создаваемых в этой точке каждым из зарядов
, (1.13)
Принцип суперпозиции для напряженностей полей точечных зарядов следует из того опытного факта, что сила электрического поля , действующая на «пробный» заряд, равна векторной сумме сил, с которыми каждый из зарядовидействует в отсутствии другого на заряд(рис. 1.4). Отсюда и следует правило векторного сложения напряженностей электрических полей. Действительно, исходя из определения (1.3) напряженности электрического поля следует:
,
где и- напряженности полей одного из зарядов в отсутствии другого. Аналогичные рассуждения, конечно, можно провести не только для двух, но и для любого количества зарядов.
Пример 1.1. Определить потенциальную энергию взаимодействия двух точечных зарядов и.
Решение. Рассмотрим движение заряда в поле заряда. Пусть заряд, первоначально находившийся на расстоянииот зарядав точке с потенциалом, перемещается по произвольной траектории в точку с потенциалом, находящуюся на расстоянииот заряда. Тогда, согласно (1.7), работа электрического поля зарядапо перемещению зарядаравна:
.
Работа кулоновских сил, как сил потенциальных, не зависит от способа перемещения зарядов иотносительно друг друга и определяется выражением (1.8). Сравнение полученного результата и формулы (1.8) показывает, что потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов определяется выражением:
(1.15)
в предположении, что при бесконечно большом расстоянии между зарядами . Потенциальная энергия взаимодействия зарядов положительна, если заряды отталкиваются, и отрицательна, если заряды притягиваются.