Лин. алгебра. Разд. материалы
..docРабочая программа курса линейной алгебры для специальности
«мат. методы и исследования операций в экономике», очное отделение, 3-й семестр. Лекции.
1. Линейные пространства. Линейная зависимость и линейная независимость векторов.
Ранг системы векторов. Базис, координаты, размерность. Подпространства. Сумма и пересечение подпространств. Соотношение между размерностями.
2. Линейные оболочки. Размерности линейных оболочек. Линейные многообразия (гиперплоскости). Морфизмы линейных пространств. Линейные формы. Сопряжённое пространство. Размерность. Сопряжённый базис.
3. Морфизмы линейных пространств (линейные операторы). Образ и ядро линейного
оператора. Эпи, моно и изоморфизмы. Матрица линейного оператора.
4. Алгебра матриц. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц. Обратная
матрица. Определители. Основные свойства.
5. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре. Теорема об умножении определителей.
Формула для вычисления обратной матрицы.
6. Системы линейных алгебраических уравнений. Матрица системы. Правило Крамера. Фундаментальная система решений однородной системы линейных алгебраических
уравнений. Общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений.
7. Теорема Кронекера-Капелли о совместности неоднородной системы. Геометрический
смысл общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений.
8. Евклидово пространство. Определение. Примеры. Ортонормированный базис (ОНБ).
Процесс ортогонализации.
9. Проекция вектора на подпространство и ортогональная составляющая. Определитель Грама. Свойства и геометрический смысл. Метод наименьших квадратов решения несовместных систем.
10. Переход к новому базису. Матрица перехода. Преобразование координат вектора и коэффициентов линейной формы при переходе к новому базису. Изменение матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.
11. Инвариантные подпространства линейного преобразования. Собственные векторы и собственные значения линейных преобразований. Характеристическое уравнение. Условие диагонализируемости матрицы линейного преобразования.
12. Понятие эквивалентности линейных операторов. Инварианты матрицы линейного преобразования. Операторы в евклидовом пространстве. Сопряжённые операторы.
13.Самосопряжённые операторы и их матрицы в ОНБ. Ортогональные преобразования и их матрицы в ОНБ. Приведение матрицы самосопряжённого оператора к диагональному виду. Полная система инвариантов матрицы самосопряжённого оператора.
14.Билинейные формы. Симметричные и кососимметричные билинейные формы. Изменение матрицы билинейной формы при переходе к новому базису. Канонический вид матрицы кососимметричной билинейной формы.
15.Квадратичные формы. Канонический вид. Нормальный вид квадратичной формы. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду. Закон инерции квадратичных форм.
16.Квадратичные формы в евклидовом пространстве. Соответствие между квадратичными формами и самосопряжёнными операторами. Существование канонического ОНБ для квадратичных форм в евклидовом пространстве.
17.Классификация линий и поверхностей второго порядка. Приведение к каноническому виду уравнений линий и поверхностей второго порядка.
Рабочая программа курса линейной алгебры для специальности
«мат. методы и исследования операций в экономике», очное отделение, 3-й семестр.. Семинары.
1.Линейные пространства. Линейная зависимость и независимость векторов. Ранг системы векторов.
2 Подпространства, линейные оболочки, гиперплоскости. Линейные формы.
Линейные операторы. Матрица линейного оператора.
3. Вычисление определителей второго и третьего порядка.
Нахождение ранга матрицы.
4. Операции над матрицами. Умножение матриц. Обратная матрица.
Решение матричных уравнений.
5. Системы линейных алгебраических уравнений. Правило Крамера. Фундаментальная система решений однородной системы уравнений.
6. Условие совместности и общее решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений.
7. Контрольная работа №1
8. Евклидово пространство. Основные метрические соотношения. Ортогонализация.
9. Нахождение проекции вектора на подпространство.
Метод наименьших квадратов решения несовместных систем.
10. Определитель Грама. Вычисление расстояний между линейными многообразиями.
11. Переход к новому базису. Матрица перехода.
12. Собственные векторы и собственные значения линейных преобразований. Характеристическое уравнение.
13. Приведение матрицы линейного преобразования к каноническому виду в случае простого спектра.
14. Приведение матрицы линейного преобразования к каноническому виду в случае кратных или комплексных корней характеристического уравнения.
15. Операторы в евклидовом пространстве. Ортогональная матрица.
16. Приведение матрицы самосопряжённого оператора к каноническому виду. Эквивалентность операторов. Инварианты.
17. Контрольная работа №2.
18. Билинейные формы. Симметричные и кососимметричные билинейные формы.
Канонический вид матрицы кососимметричной билинейной формы.
19. Квадратичные формы. Канонический вид. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду.
20. Нормальный вид квадратичной формы. Эквивалентность квадратичных форм. Инварианты.
22. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональными преобразованиями. Выдача домашнего задания.
23.Кривые второго порядка. Приведение к каноническому виду уравнения кривой второго порядка.
24. Определение центра и осей симметрии поверхности второго порядка.
25. Канонический вид уравнения поверхности второго порядка. Инварианты.
Приём домашнего задания.
Типовые варианты контрольных работ и домашнего задания.
Контр. № 1.
|
1) Пусть L1=((a1 ,a2)); L2=((b1 ,b2)).
Найти базисы в пространствах L1 , L2 , (L1 + L2) и (L1 L2).
|
|
2) Найти обратную матрицу
|
|
|
|
|
|
3(1). Решить матричное уравнение:
|
3(2). Найти матрицы, перестановочные с данной
|
|
|
4) Найти матрицу ортогонального проецирования на плоскость, заданную уравнением 5x+3y+2z=0 |
5) Найти общее решение системы
|
|
Контр. № 2.
-
Найти ОНБ в подпространстве, заданном уравнением
2x1+x2+2x3+x4=0
2) Найти X1 и X , если подпространство L задано системой:
X=
-
Найти расстояние между прямыми a0+ta1 и b0+tb1, а также ближайшие точки на этих прямых.
-
Найти собственный ОНБ оператора А, заданного в каноническом базисе матрицей
||А||=
Домашнее задание.
-
Квадратичную форму F(x; y)=
привести к каноническому виду методом
Лагранжа. Найти нормальный вид формы. -
Найти канонические коэффициенты методом Якоби.
-
Найти канонический ОНБ квадратичной формы.
-
Уравнение линии
привести к каноническому виду, найти
каноническую систему координат, назвать
и нарисовать эту линию.
-
Уравнение поверхности
привести к каноническому виду с помощью
инвариантов, назвать и нарисовать эту
поверхность.
Вопросы для подготовки к экзаменам по линейной алгебре для студентов специальности мат. методы и исследования операций в экономике. Третий семестр.
1. Линейные пространства. Определение. Примеры.
2. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов.
3. Ранг системы векторов.
4. Базис пространства. Размерность. Свойства координат.
5. Подпространства. Сумма и пересечение подпространств.
Соотношение между размерностями.
6. Линейные оболочки. Размерности линейных оболочек. Гиперплоскости.
7. Линейные формы. Сопряжённое пространство. Размерность. Сопряжённый базис.
8. Морфизмы линейных пространств (линейные операторы).
9. Эпи, моно и изоморфизмы. Матрица линейного оператора.
10. Алгебра матриц. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц.
11. Определители. Основные свойства.
12. Вычисление определителей с помощью элементарных преобразований матриц.
13. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре.
14. Теорема об умножении определителей.
15. Обратная матрица. Формула для вычисления обратной матрицы.
16. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.
17. Системы линейных алгебраических уравнений. Матрица системы.
18. Правило Крамера решения системы линейных алгебраических уравнений.
19. Теорема о нетривиальной совместности однородной системы.
Фундаментальная система решений.
20. Теорема Кронекера-Капелли о совместности неоднородной системы.
Геометрический смысл общего решения неоднородной системы.
21. Евклидово пространство. Определение. Примеры.
22. Существование ортонормированного базиса (ОНБ).
23. Процесс ортогонализации.
24. Проекция вектора на подпространство и ортогональная составляющая.
25. Определитель Грама. Свойства и геометрический смысл.
26. Метод наименьших квадратов решения несовместных систем.
27. Линейное преобразование пространства. Матрица линейного преобразования.
28. Переход к новому базису. Матрица перехода.
29. Преобразование координат вектора и коэффициентов линейной формы при переходе к
новому базису.
30. Изменение матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.
31. Инвариантные подпространства линейного преобразования. Вид матрицы линейного преобразования в базисе, часть векторов которого образует базис инвариантного подпространства
32. Собственные векторы и собственные значения линейных преобразований
33. Характеристическое уравнение.
34. Линейная независимость собственных векторов с различными собственными значениями.
35. Нахождение координат собственных векторов.
36. Условие диагонализируемости матрицы линейного преобразования.
37. Понятие эквивалентности линейных операторов.
38. Инварианты матрицы линейного преобразования.
39. Вычисление инвариантов матрицы.
40. Операторы в евклидовом пространстве. Сопряжённые операторы.
41. Самосопряжённые операторы и их матрицы в ОНБ.
42. Ортогональные преобразования и их матрицы в ОНБ.
43. Ортогональность собственных векторов самосопряжённого оператора с различными собственными значениями.
44. Существование собственного ОНБ для самосопряжённого оператора.
45. Билинейные формы. Симметричные и кососимметричные билинейные формы.
46. Изменение матрицы билинейной формы при переходе к новому базису.
47. Канонический вид матрицы кососимметричной билинейной формы.
48. Квадратичные формы. Канонический вид.
49. Нормальный вид квадратичной формы.
50. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду.
51. Положительно определённые квадратичные формы.
52. Закон инерции квадратичных форм.
53. Определение канонических коэффициентов с помощью угловых миноров.
54. Критерий Сильвестра положительной определённости квадратичной формы.
55. Эквивалентность квадратичных форм в линейном пространстве.
56. Квадратичные формы в евклидовом пространстве.
57. Соответствие между квадратичными формами и самосопряжёнными операторами.
58. Существование канонического ОНБ для квадратичных форм в евклидовом пространстве.
59. Полная система инвариантов квадратичных форм в евклидовом пространстве.
60. Инварианты уравнений линий второго порядка.
61. Инварианты уравнений поверхностей второго порядка.
62. Классификация линий второго порядка.
63 .Эллипсоиды и гиперболоиды.
64 .Параболоиды.
Темы рефератов.
1. Линии второго порядка как конические сечения.
2. Нильпотентные операторы.
3. Жордановы нормальные формы.
4. Канонический вид матрицы линейного оператора над полем комплексных чисел.
5. Канонический вид матрицы линейного оператора над полем действительных чисел.
6. Эрмитовы пространства.
7. Самосопряжённые операторы в эрмитовом пространстве.
8. Нормальные операторы в эвклидовом и эрмитовом пространствах.
9. Метод наименьших квадратов решения несовместных систем.
10. Псевдообратная матрица и исследование несовместных линейных систем.
11. Функции от матриц.
12. Дифференциальное исчисление матриц.
13. Системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка.
14. Системы линейных дифференциальных уравнений высших порядков.