Задание18

Описание проблемной ситуации: Компания специализируется на производстве технических средств оснащения офисов (компьютеры, CD ROM’ы, принтер). В последнее время спрос на её продукцию резко вырос. Поскольку у фирмы есть потенциальная возможность привлечения дополнительных средств для расширения производства, руководство принимает решение наращивать мощности выпуска. Кроме традиционных методов реализации своих товаров путем продаж, компания имеет возможность сдавать их в аренду. При этом сдавать в аренду можно отдельные единицы продукции (принтеры, компьютеры, CD ROM’ы), а можно покомплектно. Продукция является складируемой. Особенностью экономических условий существования фирмы является сильный инфляционный процесс.

Итак, руководство компании в кратчайший срок должно решить:

- каков должен быть график ввода новых мощностей

- привлекать дополнительные средства для развития путем продажи акций или с помощью кредитов

- продавать или сдавать в аренду свою продукцию

- выбрать по комплектную реализацию или отдельных единиц

Цель: Выбрать оптимальную стратегию развития компании с точки зрения максимизации её прибыли.

Рассмотреть все возможные схемы формализации. Выбранный способ моделирования довести до программной реализации.

Придумать несколько отношений для данного задания. Реализовать несколько запросов с помощью операций реляционной алгебры и реляционного исчисления.

Дискретно - стохастические модели.

• Явления в объекте моделирования рассматриваются как процессы, изменяющиеся во времени и описывающиеся с помощью временных рядов. Шаг времени постоянный, и его размер зависит от целей разработчика модели (секунда, три недели, месяц и т.д.).

• В таких моделях учитывается случайность.

Дискретно-стохастическая модель больше всего подходит в данной ситуации.

1. Дискретность. Наша фирма рассчитывает свою стратегию на год. Поэтому за шаг изменения времени мы принимаем один месяц. Брать непрерывное время не имеет смысла, т.к. решение об изменение объёма производства и расчёт прибыли производятся фирмой раз в месяц, хотя процесс производства и реализации идут постоянно. Кроме того, фирма берёт кредит и выплачивает долг ежемесячно, т.е. дискретно. И наконец амортизационные отчисления от стоимости продукции, которая сдаётся в аренду, также производятся раз в месяц.

2. Стохастичность. Т.к. мы будем рассматривать спрос, учитывающий случайность, связанную с внешними факторами, а процент инфляции находить с помощью датчика случайных чисел, то наша модель стохастичная.

Для построения таких моделей используются два аппарата:

• конечно-разностные уравнения

• вероятностные автоматы.

Вероятностный автомат - это такой дискретный преобразователь информации, который имеет более одного состояния и функционирование которого зависит только от состояния памяти.

В конечно-разностных уравнениях переменные имеют вид y_t, y_t-1 .... y_t-k, т.е. они определены для конкретных моментов времени.

В нашем случае удобнее и легче применять конечно-разностные уравнения.

Дискретно - детерминированные.

• Время дискретно.

• Случайности нет или ей пренебрегают из-за не существенности с позиции исследователей.

Такие модели строятся при помощи конечно-разностных уравнений и конечных автоматов.

В нашем случае такая модель не подходит, т.к. спрос и инфляция случайные величины.

Непрерывно - стохастические модели.

• Время непрерывно, т.е. явления, рассматриваемые в таких моделях, являются непрерывными процессами.

• Учитывается случайность.

Такие системы моделируются при помощи теории массового обслуживания.

Нам такая модель не подходит, потому что у нас дискретно время.

Непрерывно - детерминированные модели.

• Время непрерывно

• Не учитывается случайность.

Основной инструмент моделирования в таких случаях - дифференциальные уравнения.

Наша фирма учитывает случайность при моделировании спроса и инфляции и использует дискретное время, поэтому эта модель неприемлема.

Агрегаты.

Это класс обобщённых схем. Обобщённая схема в состоянии заменить все частные, но она сложнее и приводит к увеличению и значительному усложнению вычислений. Этой схемой имеет смысл пользоваться, когда частные схемы или совсем не работают, или работают плохо.

Из этого следует, что в нашем случае такую схему лучше не использовать.

СОДЕРЖАТЕЛЬНОЕ ОПИСАНИЕ.

Основной целью деятельности фирмы является максимизация её прибыли. Одним из первых вопросов, который должна решить фирма в своём стремлении к прибыли, - это определить уровень производства. Чтобы разобраться в основаниях принятия того или иного решения необходимо понять, каким образом измеряется прибыль. Общая (валовая) прибыль представляет собой разницу доходов от продаж продукта (или валового продукта) и сумм, затраченных на его производство (или валовых издержек).

ВАЛОВЫЙ ДОХОД - ВАЛОВЫЕ ИЗДЕРЖКИ = ВАЛОВАЯ ПРИБЫЛЬ

Фирма выбирает тот уровень производства, при котором она получает наибольшие прибыли, а это не всегда то же самое, что наивысший уровень производства.

Важнейшим фактором, определяющим уровень производства фирмы и измеряющим её эффективность, являются издержки. С их же помощью определяется и тот объём производства, при котором валовая прибыль максимальна.

Изготовление любого товара требует затрат экономических ресурсов. В силу своей относительной редкости все ресурсы имеют цены.

Издержки, которые фирма несёт при производстве заданного объёма производства, зависят от возможности изменения количества всех занятых ресурсов. Количество некоторых ресурсов - труда, сырья, топлива, энергии и т.д. - может быть изменено очень быстро. Другие требуют большего времени для освоения (например, мощности).

Поскольку на изменение имеющихся в производстве ресурсов требуется разное время, то следует различать краткосрочный и долгосрочный периоды.

Долгосрочный период - это период изменяющихся мощностей. Т.о., хотя рассматриваемый срок (один год) и не очень велик, для нашей фирмы это будет долгосрочный период.

Чтобы определить общие (валовые) издержки производства различных объёмов продукции и издержки в расчёте на единицу продукции, необходимо объединить данные о производстве с информацией, о ценах на ресурсы.

Издержки делятся на постоянные и переменные:

Постоянные издержки - это такие издержки, которые не меняются в зависимости от изменения объёмов производства. К таким издержкам относятся часть отчислений на амортизацию зданий, страховые взносы, жалование высшему управленческому персоналу и т.д. Постоянные издержки остаются неизменными даже при нулевом уровне производства.

Переменные издержки - это такие издержки, величина которых меняется с изменением объёмов производства. К ним относятся затраты на сырьё, оборудование, транспортные расходы и т.д. Прирост суммы переменных издержек, связанный с увеличением производства на одну единицу не постоянен. Переменные издержки - это издержки, которыми предприниматель может управлять, величина которых может быть изменена путём изменения объёмов производства.

Для решения вопроса максимизации прибыли применяется маргинальный анализ. Он заключается в исследование того, что произойдёт, если фирма решит увеличить выпуск своей продукции на единицу. Доход от производства дополнительной единицы продукции представляет собой предельный доход MR.. Предельная прибыль MP исчисляется как разность между предельным доходом и предельными издержками MC.

ПРЕДЕЛЬНЫЙ ДОХОД - ПРЕДЕЛЬНЫЕ ИЗДЕРЖКИ = ПРЕДЕЛЬНАЯ ПРИБЫЛЬ

Предельный доход - это дополнительный доход, получаемый фирмой от каждой дополнительно произведённой единицы продукции. По мере роста производства величина предельного дохода уменьшается, поскольку фирмы, чтобы реализовать как можно больше своей продукции, в конечном счете, вынуждены снижать цены, кроме случая с чистой конкуренцией.

Предельный доход = разнице в валовом доходе при переходе от производства (n - 1) к n-й единице продукции

= цене n-й единице за вычетом убытка на предыдущих единицах продукции, вызванного уменьшением цены.

Однако при совершенной конкуренции продажа дополнительных единиц не оказывает никакого влияния на цену и поэтому предельный доход = цене.

Предположим, в нашем случае фирма существует в условиях чистой конкуренции.

Предельные издержки - это издержки фирмы на производство дополнительной единицы продукции. Если производство растёт, предельные издержки первоначально уменьшаются, но затем увеличиваются. Это происходит из-за того, что точка максимальной эффективности фирмы находится между максимальным и минимальным уровнями выпуска продукции. Если выпуск продукции увеличивается, но ещё не достиг этой точки, издержки на производство каждой дополнительной единицы продукции (предельные издержки) снижаются. После достижения точки максимальной эффективности вступит в силу закон убывающей доходности и предельные издержки возрастут.

Кривая предельных издержек имеет вид:

МС

МС^min кол-во

продукции

Концепция предельных издержек имеет стратегическое значение, поскольку она позволяет определить те издержки, величину которых фирма может контролировать наиболее непосредственно. Т.о. эти издержки показывают издержки, которые фирма понесёт, увеличив свою продукцию на единицу и одновременно издержки, которые она сэкономить в случае сокращения объёма на единицу.

Предельная прибыль - это разность между предельным доходом и предельными издержками. Равно как и предельные издержки и предельный доход, предельная прибыль до определённого уровня выпуска продукции будет положительной, но по достижении его станет отрицательной, а отрицательные прибыли - это то же самое, что и убытки.

Как же фирма выходит на уровень производства, при котором величина прибыли будет максимальной? Если производство дополнительной единицы приводит к увеличению валового дохода в большей степени, чем издержек (предельные издержки с расширением производства растут), фирма должна наращивать мощности. Если же производство дополнительной единицы приводит к увеличению дохода в меньшей степени, чем издержек (предельная прибыль меньше нуля), фирма, которая ставит перед собой цель максимизации прибыли, не должна наращивать производство.

Поскольку предельная прибыль меняет свой знак, когда объём производства превышает определённый уровень, на котором рабочая сила и оборудование используются наиболее эффективно, уровень выпуска, при котором она получает максимальную прибыль, достигается тогда, когда предельная прибыль становится равной нулю.

Таким образом, чтобы максимизировать свою прибыль фирма должна пользоваться следующим правилом:

ПРЕДЕЛЬНЫЙ ДОХОД = ПРЕДЕЛЬНЫЕ ИЗДЕРЖКИ

Пусть в нашем случае будет совершенная конкуренция, тогда это правило запишется в виде:

ЦЕНА = ПРЕДЕЛЬНЫЕ ИЗДЕРЖКИ

Руб.

MC

MR

Максимальная выпуск прибыль продукции

Инфляция.

Инфляция - обесценивание бумажных денег, находящихся в обращении, т.е. падение их покупательной способности, проявляющееся в повышении цен на все товары и услуги. Вызывается комплексом причин, действующих в сфере производства, денежного обращения и государственных финансов; важнейшие из них: взвинчивание цен монополиями, чрезмерное развитие кредита, огромные непроизводственные расходы государства.

Т.к. известно, что особенностью экономических условий существования фирмы является сильный инфляционный процесс, то это ожидаемая инфляция, поэтому фирма может принять меры по предотвращению негативных последствий, которые в противном случае отразятся на её реальном доходе. Реальный доход - то количество товаров и услуг, которые можно купить на сумму номинального дохода, т.е. тех денег, которые фирма получила от реализации своего товара.

Для того чтобы инфляция не сократила реальных доходов нашей фирма, она пересчитывает цены и издержки каждый месяц, умножая их на соответствующий индекс инфляции:

inf_t = +1,

где INF_t - процент инфляции.

Процент инфляции - INF_t - дискретно-стохастическая величина и рассчитывается следующим образом:

INF_t = (1 + s) * 100%,

где s = R (R = random), если R < 0.5 и

s = R - 0.5, если R ³ 0.5

Выплата суммы долга равными платежами.

Т.к. фирма принимает решение о наращивание мощностей, то ей нужны средства для покупки нового оборудования. Для этого фирма берёт кредит в банке на один год с ежемесячной выплатой долга равными суммами. Ставка кредита неизменна, но сумма платежа индексируется каждый месяц с учётом инфляции.

U - сумма кредита

w - процентная ставка.

Тогда - разовый платёж

Кроме того, каждый месяц фирма должна выплачивать проценты c оставшегося долга по ставке - w.

Тогда выплаты процентов составят:

1. Первый месяц: U*w

2. Второй месяц: (U - )*w = U*w -

3. Третий месяц: (U - 2*)*w = U*w -

Т.о., выплачиваемые займодавцу ежемесячные проценты представляют собой убывающую арифметическую прогрессию с первым членом U*w и разностью (-). Легко убедиться в том, что срочная выплата также следует убывающей арифметической прогрессией, первый член которой U/12+U*w , а разность равна (-U*w / 12).

Из этого следует, что срочная выплата составит:

1. В первом месяце: Y₁ = U * (+ w)

2. Во втором месяце: Y₂ = U * (+ w) -

Теперь можно составить формулу срочного платежа в момент t (t = )

Y_t = U_t * w + u

где U_t - остаток долга на этот месяц;

u = U₁/12 (U₁ - первоначальная сумма долга)

U_t+1 = U_t *

ß

U_t = U_t-1 *

Т.к. темп инфляции достаточно высок, то, по соглашению, с банком, срочная сумма выплаты индексируется каждый месяц с учётом инфляции (т.е. умножается на соответствующий индекс).

Y_t = (U_t * w + u) * inf_t = (* U_t-1 * w + ) * inf_t =

СПРОС.

У нас имеется три графика спроса:

1. Спрос на компьютеры

2. Спрос на CD ROM’ы

3. Спрос на принтеры.

Пусть спрос на компьютеры в 1.5 раз больше, чем спрос на принтеры или CD ROM’ы, а спрос на CD ROM’ы равен спросу на принтеры.

Все графики спроса возрастают линейно, поэтому для них можно написать следующие зависимости:

D_{c t} = D_{п t} = y * t + b

D_{к t} = 1.5 * (y * t + b)

Но т.к. мы рассматриваем долгосрочный период, то в структуре отрасли могут происходить какие-либо изменения. Например, образовались новые фирмы, также специализирующиеся на производстве средств оснащения офисов или наоборот разорились некоторые из фирм-конкурентов. Кроме того, другие фирмы могли изменить свои цены. Поэтому нельзя не учитывать случайности, которая связана с влиянием внешней среды.

Уравнения спроса запишутся тогда в виде:

D_{с t} = D_{п t} = y * t + b + l_t * b_t

D_{к t} = 1.5 * (y * t + b + l_t * b_t),

где b - количество товара, на которое реальный спрос отличается от прогнозируемого.

l - определяет, будет реальный спрос больше или меньше прогнозируемого и задаётся следующим рядом распределения:

l =

На основе этого ряда распределения можно составить моделирующий алгоритм для l:

1. Генерация R.

2. If R <= 0.3 then l = -1

3. If R > 0.3 and R <= 0.7 then l = 0

4. If R > 0.7 then l = 1

Но т.к. фирма не знает, каковы будут отклонения, то мы можем построить только графики прогнозируемого спроса:

D_t

D_t0

t

Ввод новых мощностей.

Предположим, что фирма знает предельные издержки каждой дополнительной единицы, которую она собирается производить.

Тогда, согласно маргинальному анализу, она может определить максимальную прибыль для каждого из возможных способов реализации.

1. Продажа по единицам.

Цена i-го предмета - р_i Þ предельные издержки = Мс_i1

i - компьютер, принтер или CD ROM.

Теперь нужно определить объём производства, при котором предельные издержки

последней единицы = МСк₁, МС_с1, МС_п1. Допустим это Q_к1 , Q_c1 ,Q_п1 соответственно

1. Продажа по комплектам.

Комплект состоит из трёх предметов: компьютера, принтера и CD ROM’a, со скидкой j% от общей цены.

Цена комплекта - L.

L = (p₁ + p₂ + p₃) * (1 - j) =*(1 - j)

Найдём такой объём производства, при котором MC₂ = L. Он равен Q_o2. Причём это обозначает, что количество компьютеров, CD ROM’ов и принтеров, при котором фирма получит максимальную прибыль, используя этот способ реализации одинаково и равно Q_o2, т.е. Q_к2 = Q_с2 = Q_п2 = Q_о2.

3. Сдача в аренду по единицам.

Арендная плата за i-ю единицу составляет а_i = P_i * (1 - r_i) - S_i,

где P - цена i-го предмета на момент сдачи в аренду, т.е. P_it = S_it-1

S - цена i- го предмета с учётом амортизации за тот срок, на который компьютер был сдан в аренду.

i = (компьютер, CD ROM, принтер)

S_{i в месяц} = P_i -

Условие максимальной прибыли при сдаче в аренду i-ой единицы можно записать в следующем виде: МC_i3 = а_i (здесь при расчете, а используется первоначальная цена)_. Из этого равенства можно найти объёмы производства, максимизирующие прибыль: Q_к3, Q_с3, Q_п3.

4. Сдача в аренду по комплектам.

Как и при покомплектной продаже сдаются в аренду сразу все три предмета со скидкой f% от общей суммы.

Арендная плата за комплект - N.

N = (1 - f) *

Объём производства, при котором МC_i4 = N равен Q_o4 Þ Q_к4 = Q_с4 = Q_п4 = Q_о4.

Какой бы фирма не использовала способ реализации, при данной цене она не может производить i-го товара больше, чем Q, т.к. предельная прибыль q-й единицы равна 0, а значит валовая прибыль максимальна. Каждая следующая единица будет убыточна, т.к. её предельная прибыль меньше 0.

Если фирма использует все четыре способа реализации, то максимальная прибыль от реализации i- го предмета будет достигаться при объёме, который можно найти следующем образом:

Q’_i = , где m - способы реализации; i - компьютер, принтер или CD ROM.

Спрос на продукцию нашей фирмы возрастает, поэтому она наращивает мощности, т.е. покупает дополнительное оборудование. Значит, объём производимой продукции будет постоянно увеличиваться.

Наша фирма принимает решения использовать все четыре способа реализации, но в таком их соотношении, чтобы получать максимально возможную прибыль при том объёме производства, который она собирается достигнуть в какой-то из рассматриваемых месяцев. Т.к. на протяжении года фирма не будет изменять цены (только индексировать их с учётом инфляции), то она может расширять производство i-го предмета до количества равного Q’_i.

Найдём долю каждого из способов реализации в формировании предложения i-го предмета.

Примем Q’ за 1 и найдем, сколько процентов будет составлять каждый способ:

Z_{i m} = i - компьютер, принтер или CD ROM; m = (способы реализации).

Т.о. график ввода новых мощностей будет выглядеть так:

M

Q_mi/C мощности

t

Математическая модель.

V_t - объём производимой продукции в момент t

V’_t - дополнительный объём продукции

M_t - дополнительные мощности

E_t - затраты на дополнительные мощности

C_t - производительность (одинаковая для всех видов оборудования)

k_t - количество продукции, оставшееся на складе

O_t - продукция, вернувшаяся из аренды

ОP_t - объём продаж

Dol_t - доля в общем объёме имеющейся продукции

j_tm - количество продукции, которое будет реализовано m-ым способом

j’_tm - дополнительная продукция, которая будет реализована m-ым способом

D_t - реальный спро, учитывающий случайность

D’_t - прогнозируемый спрос, не учитывающий случайность

Н - стоимость оборудования (одинаковая для всех видов оборудования)

TC_t - общие издержки

AFC - общие постоянные издержки

AVC_t - общие переменные издержки

m - способы реализации: 1 - продажа единицы

2 - продажа в составе комплекта

3 - сдача в аренду единицы

4 - сдача в аренду в составе комплекта

i - виды продукции: 1 - компьютер

2 - CD ROM

3 - принтер