T-R-DU2015
.pdfУВОДЗІНЫ
Тыпавыя разлікі па тэме: "Дыферэнцыяльныя ўраўненні" прызначаны для студэнтаў I курса ўсіх спецыяльнасцей факультэта ФIТ. Асноўная мэта тыпавых разлікаў: - прывучыць студэнтаў працаваць самастойна і садзейнічаць больш глыбокаму засваенню імі дадзенага матэрыялу.
Тыпавыя разлікі "Дыферэнцыяльныя ўраўненні" складаюцца з наступных частак:
1)тэарэтычная частка, у якую ўваходзяць асноўныя тэарытычныя пытанні раздзела "Дыферэнцыяльныя ўраўненні". Гэтыя пытанні могуць быць прапанаваны пры абароне тыпавых разлікаў, здачы заліку ці экзамену;
2)агульная частка з практыкаваннямі, якія знаходзяцца ў аснове тэмы "Дыферэнцыяльныя ўраўненні". Гэтыя практыкаванні абавязкова павінен умець рабіць студэнт;
3)індывідуальныя заданні для кожнага студэнта па варыянтах;
КАРОТКІ БЕЛАРУСКА-РУСКІ СЛОЎНІК
Дыферэнцыяльнае ўраўненне |
– дифференциальное уравнение |
(звычайнае) 1га, 2га, nга |
(обыкновенное) 1го, 2го, nго |
парадку |
порядка |
лінейнае дыферэнцыяльнае |
– линейное дифференциальное |
ўраўненне (з пастаяннымі |
уравнение (с постоянными |
каэфіцыентамі) |
коэффициентами) |
лінейнае аднароднае |
– линейное однородное |
ўраўненне |
уравнение |
лінейнае неаднароднае |
– линейное неоднородное |
ўраўненне |
уравнение |
характарыстычнае ўраўненне |
– характеристическое уравнение |
агульнае рашэнне |
– общее решение |
частковае рашэнне |
– частное решение |
лінейна незалежныя функцыі |
– линейно независимые функции |
(рашэнні) |
(решения) |
лінейна незалежная сістэма |
– линейно независимая система |
функцый |
функций |
метад падбору (частковых |
– метод подбора (частных |
рашэнняў) |
решений) |
метад варыяцыі адвольных |
– метод вариации произвольных |
пастаянных |
постоянных |
тоеснасць |
– тождество |
няяўны |
– неявный |
агульны выгляд |
– общий вид |
2
I.ТЭАРЭТЫЧНЫЯ ПЫТАННІ
1.Што называецца дыферэнцыяльным ураўненнем?
2.Што называецца агульным рашэннем дыферэнцыяльнага ўраўнення?
3.Што называецца частковым рашэннем дыферэнцыяльнага ўраўнення першага парадку?
4.Што называецца лінейным дыферэнцыяльным ураўненнем другога парадку?
5.Якое лінейнае дыферэнцыяльнае ўраўненне другога парадку называецца аднародным?
6.Сфармуляваць тэарэму аб структуры агульнага рашэння лінейных аднародных дыферэнцыяльных ураўненняў другога парадку.
7.Сфармуляваць тэарэму аб структуры агульнага рашэння лінейных неаднародных дыферэнцыяльных ураўненняў другога парадку.
8.Напісаць агульнае рашэнне лінейнага аднароднага дыферэнцыяльнага ўраўнення другога парадку з пастаяннымi каэфiцыентамi ў наступных выпадках:
а) рэчаісных і розных каранѐў характарыстычнага ўраўнення; б) рэчаісных і роўных каранѐў характарыстычнага ўраўнення; в) камплексных каранѐў характарыстычнага ўраўнення.
9.Для чаго і ў якіх выпадках ужываецца метад падбору частковых рашэнняў?
10.Для чаго і ў якіх выпадках ужываецца метад варыяцый адвольных пастаянных?
11.Лiкавыя метады знаходжання частковага рашэння дыферэнцыяльнага ўраўнення першага парадку.
3
ІІ. ВАРЫЯНТЫ РАЗЛІКОВЫХ ЗАДАННЯЎ ВАРЫЯНТ 1
Знайсці агульнае рашэнне дыферэнцыяльнага ураўнення:
1. dy xy xy3 dx 0 .
Знайсці частковае рашэнне дыферэнцыяльнага ўраўнення:
2. |
y y tgx |
1 |
, |
y 0 0. |
cos x |
||||
Знайсці агульны выгляд частковага рашэння: |
||||
3. |
y 3y 4 y f (x) |
|||
а) f (x) 2e 4x ; |
в) f (x) (1 x) e x ; |
|||
б) |
f (x) e x sin x; |
г) f (x) xex . |
||
Метадам падбору частковых рашэнняў знайсці:
а) агульнае рашэнне дыферэнцыяльных ураўненняў:
4. y 2 y y e x ; 5. 4 y y 5y x2 ;
б) частковае рашэнне дыферэнцыяльнага ўраўнення:
|
|
10y sin x, |
y 0 y' 0 0. |
6. y |
2y |
Знайсці частковае рашэнне сістэмы дыферэнцыяльных ураўненняў:
dx |
|
5x 3y 2e 3t , |
||
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
x 0 1, y 0 0. |
|
7. dt |
|
|
||
|
dy |
|
t |
|
|
|
x y 5e , |
||
|
|
|||
dt |
|
|||
8. Задачу 6 рашыць метадам аперацыйнага злiчэння.
4
ВАРЫЯНТ 2
Знайсці агульнае рашэнне дыферэнцыяльнага ураўнення:
1. xy2 x dx y xy dy 0 .
Знайсці частковае рашэнне дыферэнцыяльнага ўраўнення:
2. y' y cosx cosx sin x, y 0 0.
Знайсці агульны выгляд частковага рашэння:
3. y 5y 6 y f (x)
а) f (x) 5ex ; |
в) f (x) 3x2 5; |
б) f (x) 6 cos x; |
г) f (x) xe3x . |
Метадам падбору частковых рашэнняў знайсці:
а) агульнае рашэнне дыферэнцыяльных ураўненняў:
4. 3y y 4 y x ex ; |
5. 9 y 6 y y sin 2x ; |
б) частковае рашэнне дыферэнцыяльнага ўраўнення:
|
|
2 |
y 0 0, |
|
|
6. y |
7 y x , |
||||
|
y 0 2 . |
Знайсці частковае рашэнне сістэмы дыферэнцыяльных ураўненняў:
|
dx |
x 2 y 1 , |
|
|
|||
|
|
|
|
x 0 1, |
y 0 2 . |
||
7. |
dt |
||||||
|
dy |
t |
|
|
|||
|
|
|
|
2x 3y e , |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
dt |
|
|
||||
8. Задачу 6 рашыць метадам аперацыйнага злiчэння.
5
ВАРЫЯНТ 3
Знайсці агульнае рашэнне дыферэнцыяльнага ураўнення
1. xydx (1 y2 )
1 x2 dy 0
Знайсці частковае рашэнне дыферэнцыяльнага ўраўнення:
2. y x y, y(0) 7 .
Знайсці агульны выгляд частковага рашэння:
3. y 6 y 10 y f (x)
а) f (x) 8 cos8x; |
в) f (x) e 3x cos x; |
б) f (x) 3e 3x ; |
г) f (x) xe3x . |
Метадам падбору частковых рашэнняў знайсці:
а) агульнае рашэнне дыферэнцыяльных ураўненняў:
4. 5 y 2 y x 4 ; 5. y 6 y 9 y e 3x ;
б) частковае рашэнне дыферэнцыяльнага ўраўнення:
|
6y cos6x, |
y 0 0, |
|
6. y |
y 0 3. |
Знайсці частковае рашэнне сістэмы дыферэнцыяльных ураўненняў:
dx |
4x y e 2t , |
|
||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
||||
|
|
|
|
x 0 1, |
y 0 0. |
|
7. dt |
|
|
||||
|
|
dy |
2x y 5 |
, |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
dt |
|
|||
8. Задачу 6 рашыць метадам аперацыйнага злiчэння.
6
ВАРЫЯНТ 4
Знайсці агульнае рашэнне дыферэнцыяльнага ураўнення
1. ye2 x dx 1 e2 x dy 0
Знайсці частковае рашэнне дыферэнцыяльнага ўраўнення:
|
y, |
y 0 1. |
2. y ctgx 2 |
Знайсці агульны выгляд частковага рашэння:
3. y 2 y y f (x)
а) f (x) 5xex ; |
в) f (x) 2 e 2x ; |
б) f (x) 5x2 6x 7; |
г) f (x) cos x 3sin x. |
Метадам падбору частковых рашэнняў знайсці:
а) агульнае рашэнне дыферэнцыяльных ураўненняў:
4. y 6 y 7 y ex ; |
5. y 2 y y sin x ; |
б) частковае рашэнне дыферэнцыяльнага ўраўнення:
|
|
|
|
2 |
y 0 0, |
|
|
6. y |
4 y |
8y x , |
|||||
|
|
y 0 2 . |
Знайсці частковае рашэнне сістэмы дыферэнцыяльных ураўненняў:
dx |
3x 4 y e2t , |
|
|||
|
|
|
|||
|
|
x 0 1, |
y 0 0 . |
||
7. dt |
|
||||
|
|
dy |
2t |
|
|
|
|
x 2 y 3e , |
|
||
|
|
|
|||
dt |
|
||||
8. Задачу 6 рашыць метадам аперацыйнага злiчэння.
7
ВАРЫЯНТ 5
Знайсці агульнае рашэнне дыферэнцыяльнага ураўнення
1. xy y 1 x2
Знайсці частковае рашэнне дыферэнцыяльнага ўраўнення: |
|
2. x2 1 y 2xy2 0, |
y 0 1. |
Знайсці агульны выгляд частковага рашэння:
3. y 6 y 5 y f (x)
а) f (x) 5xex ; |
в) f (x) x2 4; |
б) f (x) 5 sin x; |
г) f (x) ex cos x. |
Метадам падбору частковых рашэнняў знайсці:
а) агульнае рашэнне дыферэнцыяльных ураўненняў:
4. 3y 4 y 7 y 2e x ; |
5. y 2 y y x2 4; |
б) частковае рашэнне дыферэнцыяльнага ўраўнення:
|
|
2y sin x, |
y 0 0, |
|
6. y |
2y |
y 0 0. |
Знайсці частковае рашэнне сістэмы дыферэнцыяльных ураўненняў:
dx |
3x 2 y 4e 5t , |
|
|||
|
|
|
|
||
|
|
|
|||
|
|
|
x 0 1, |
y 0 0 . |
|
7. dt |
|
||||
|
|
dy |
x 2 y 5 , |
|
|
dt |
|
||||
8. Задачу 6 рашыць метадам аперацыйнага злiчэння.
8
ВАРЫЯНТ 6
Знайсці агульнае рашэнне дыферэнцыяльнага ураўнення
1. x2 y2 y 1 y .
Знайсці частковае рашэнне дыферэнцыяльнага ўраўнення:
2. 4 x2 y xy 4,
Знайсці агульны выгляд частковага рашэння:
3. y 4 y f (x)
а) f (x) x3 4; |
в) f (x) (x 3) e 4x ; |
б) f (x) 2 cos 4x; |
г) f (x) sin x 2x. |
Метадам падбору частковых рашэнняў знайсці:
а) агульнае рашэнне дыферэнцыяльных ураўненняў:
4. 2 y 2 y xe x ; |
5. y 6 y 9 y cos3x ; |
б) частковае рашэнне дыферэнцыяльнага ўраўнення:
|
|
10y x 2, |
y 0 5, |
|
6. y |
6y |
y 0 0. |
Знайсці частковае рашэнне сістэмы дыферэнцыяльных ураўненняў:
dx |
y 5cost , |
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|||||
x 0 1, |
y 0 10. |
|||||
7. dt |
||||||
|
dy |
2x y 3, |
|
|||
dt |
|
|||||
8. Задачу 6 рашыць метадам аперацыйнага злiчэння.
9
ВАРЫЯНТ 7
Знайсці агульнае рашэнне дыферэнцыяльных ураўненняў:
1. y x ln x y 3 ln x .
Знайсці частковае рашэнне дыферэнцыяльнага ўраўнення:
2. y sin x y ln y, |
|
e, |
|
y 2 |
e 2.718. |
Знайсці агульны выгляд частковага рашэння:
3. y 4 y 5 y f (x)
а) |
f (x) 8e 2x ; |
в) |
f (x) e 2x cos x; |
б) |
f (x) x3 3x; |
г) |
f (x) 5e 2x sin x. |
Метадам падбору частковых рашэнняў знайсці:
а) агульнае рашэнне дыферэнцыяльных ураўненняў:
4. 4 y y 5y 3ex ; |
5. y 6 y 9 y sin 3x ; |
б) частковае рашэнне дыферэнцыяльнага ўраўнення:
|
|
2 |
y 0 0, |
|
|
6. y |
5y 5x x , |
||||
|
y 0 3. |
Знайсці частковае рашэнне сістэмы дыферэнцыяльных ураўненняў:
dx |
y 2e t , |
|
||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
||||
|
|
|
|
x 0 0, |
y 0 0 . |
|
7. dt |
|
|
||||
|
|
dy |
2 |
|
|
|
|
|
|
x t , |
|
||
|
|
|
|
|||
dt |
|
|||||
8. Задачу 6 рашыць метадам аперацыйнага злiчэння.
10
ВАРЫЯНТ 8
Знайсці агульнае рашэнне дыферэнцыяльных ураўненняў:
1. sin 2 xy cos x y 1 . |
. |
Знайсці частковае рашэнне дыферэнцыяльнага ўраўнення:
2. 1 ex yy ex , |
y 0 1. |
Знайсці агульны выгляд частковага рашэння:
3. y y f (x)
а) |
f (x) 2 cos 2x; |
в) |
f (x) 2 sin x; |
б) |
f (x) x2 5; |
г) |
f (x) e 2x sin 2x. |
Метадам падбору частковых рашэнняў знайсці:
а) агульнае рашэнне дыферэнцыяльных ураўненняў:
4. 3y 2 y 5y xe x ; |
5. y 6 y 9 y cos3x ; |
б) частковае рашэнне дыферэнцыяльнага ўраўнення:
|
|
8y 2x 3, |
y 0 0, |
|
6. y |
4y |
y 0 0. |
Знайсці частковае рашэнне сістэмы дыферэнцыяльных ураўненняў:
|
dx |
2x y, |
|
|
|||
|
|
|
|
x 0 1, |
y 0 1. |
||
7. |
dt |
||||||
|
dy |
t |
|
|
|||
|
|
|
|
2 y x 5e , |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
dt |
|
|
||||
8. Задачу 6 рашыць метадам аперацыйнага злiчэння.