ИНЖЕНЕРНЫЙ АНАЛИЗ, МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОННЫХ УСТРОЙСТВ

5Пос. итерацроен: ией
k := 0.. 1	m := −10,−9.8.. 1				l := 50,49.00001.. −5
6Использостандартныхсления. функцвычий						(рис. 1	):
	2 π			Логарифм (l) := 28log(l)
Синусоида(m) := 60sin		m
0.068
			100
Логарифм(l)
Синусоида(m)			0
			100 20	0	20	40
					l, m
		Рис.Стандартные1 функцвычислени				ия

7Представление. численногорезультата:

w := 49 s

w = 49s

w = 4.9 × 101 s

8Выделение. выраженияцветом:

m		6.23+m			πm
J(m) := 52.73	+ e		− 2		m3

Использованиеед змеренияниц

q := 3673.3343Hz6

Complex1:= Complex1amp

Complex2:= Complex2V

XY := Complex1Complex

Вычвсимвольномслениявиде

1. Упрощениеалгебраическихвыражений:

2 acos (0)

17.0 simplify

w = 49.0000000s

w = 4.900E+001s

l2

H(l) := 34.75 +

3

l + 52.94 l5

q = 3.673× 103 1 s6

Complex1= 178.983− 56.741iA

Complex2= 624.253+ 34.435iV

XY = 1.137× 105 − 2.926i× 104 W

2 acos (0) float,15					e float ,40
3		+	47	simplify	3		+	47	simplify
19					19.0
			93					93

11

asin

1

simplify

asin(.5) simplify

a2 − 3 a − 4

2 a − 5 simplify

+

2

a − 4

e2 ln(a) simplify

sin(x)2 + cos (x)2 simplify

3i3 + (1 + i)2 simplify

1125 a2b simplify

30! simplify

2. Заменапеременнойподстан(

овка):

a + 3

substitute ,a

(b + 1)2

sin(θ)2 + cos (θ)4 substitute ,sin(θ)

u

a2

sin(θ)2 + cos (θ)4 substitute ,sin(θ) v ,cos (θ) u

3.

Разлнасожениеставляющие:

(a + b)4 expand

cos (5 θ) expand

4.

Разложенмножителина :

8238913765711factor

1

+

a

−

2 a

factor

a − 23

a + 4

a + 7

−5 a b c + 2 a c2 − a2 b − 2 a2 c + 3 b2 c + 6 b c2 − 3 a b2 factor

5Построение. полинома:

a2 − Q b2a2 + 2 b2a − a + a b collect ,a

a2 − Q b2 a2 + 2 b2 a − a + a b collect , b

6.

Поисккоэффициентовп

олинома:

4

2

2

sin(x)

+ 2 sin(x)

2

coeffs ,sin(x)

3 b z

− π z +

z − .3 a b coeffs ,z

3

cos (5 acos (θ)) coeffs ,θ

7.	Разложениевряд:
	sin(θ) series ,θ ,6							ln(a + 1) series , a, 6
8.	Разложениенапростыдроби:
		2 a2 − 3 a + 1					convert , parfrac , a		1		convert , parfrac,a
		a3 + 2 a2 − 9 a − 18							a4 − 1
	5		1
	a4 ∏				convert, parfrac, a →
			a +	n

n= 1

9.Поисксуммырядавсимвольномвиде:

12

3

∑ 3! ak23−k simplify k!3 − k!

k = 0

∞

∑ ak simplify k = 0

∞		n
∑	a		simplify
	n
n = 0 2		n!

10.Преобразованиекомплексногочиславидуa+bi:

cos (5i + 2) complex

11.Использнескключеословлькванодновременнои:ых

	a + 3		substitute , a		(b + 1)
			expand
	a2

N

∑ ak simplify k = 0

∞	(−1)ka2 k+1
∑			simplify
	2 k+1
k = 0 7		2 k + 1!

exp(5i + 2) complex

	a2	+ b5	substitute ,a		c + 1, b		c − 1
			factor

12Символьное. дифференцирование:

2 x2 + y	x

cosh (x)

13Символьное. интегрирование:

x2 ex

12 ln(x2 + b) +

⌠	∞
	2
	e− x	dx
⌡0

a

1

b 2

x2 exp(x) − 2 x exp(x) + 2 exp(x)

		x
	atan
		1
	b 2

⌠

a x2 dx

⌡

x + a

x2 + b

⌠c 3

x dx

⌡1

14. Поискпределов:

	lim	x2 + 2
		3 x + 6
	x → ∞

3 x + 1

lim

x → 7 + (x − 7)5

lim

3 x + 1

x → 7 − (x − 7)5

sin(x)

lim

x → 0 x

Пределсправа

Пределслева

15. Решениеуравнений						всимвольномвиде:
1			a	2	+ a + 2 solve ,a		1		a	2	+ a + 2.0 solve ,a	e	a		−1 solve ,a
2							2

13

	sin(θ)						1			tan(θ) solve ,θ	a3 − 5 a2 − 4 a + 20 > 0 solve ,a
					3
	αz + 1				e− α solve ,z
	z − β

a4 − 3 a3 + 17.2 a2 − 3 a + 60.5 solve ,a

16Решениесистемы. уравненийсимвольномвиде:

Given

x + 2 π y

a

4 x + y

b

Find(x,y)

Given

x2 + y2

R2

x + y

c

Find(x,y)

Given

x2 + y2

R2

(x − α)2 + y2

R2

Find(x,y)

17Алгебраическ. операцматрицамив мвольном: де

с	1	a			λ	2	1 − λ
	с2
				A(λ) :=	0
M(a , b , с) := −b		−a				1	−2
					0
1 b с3						0	−λ
M(a,b ,с) + A(λ)				M(a, b ,с)A(λ)2				M(a , b , с)2
18Транспон. матрвсимввидецр:ольваномие
M(a,b ,с)T →				A(λ)T →
19П.обрискматрицывсимвольномнойвиде:

A(λ)− 1

20П.определискматрвсимвольномвидетеляцы:

M(a,b,с)

21Использова. прямогоиобратногопреобразованияФурьеие:

								1		1		1		1
	1	exp	−1	t2 fourier, t →		1	8 2		π 2		exp(−2ω2) simplify → 2	2	π 2		exp(−2ω2)
2						2
		8
		2πe− 2 ω2			invfourier ,ω
22Использова. прямогоиобратногие											опреобразовЛаплас: ания
	exp(−a t) laplace,t										sin(b t) laplace,t

14

1

(s + a)

invlaplace,s

23Использова. прямогоиобратнZпреобразованияие: го

n ztrans ,n

sin(a n) ztrans ,n

Вектораиматрицы

1Выполнен. вычислоперацмеждуивт кторамильныхматрицамий:

		4.5						0
v :=		0.7				w :=		−1
	−67							1
	11.32 0.45			3.29	4
u :=		5	6	7.03	8
		9	10	11	12

2Изменение. размемат: ровиц

UV:= augment(u,v)

UA := stack (u ,AT)

b

(s2 + b2) invlaplace ,s

z

z − 1 invztrans ,z

z

z − e

invztrans ,z

w + v v 2

			2	3
	A :=		7	2	u A =
			−11.37	7
			−5	4

UV

UA =

3.	Поискпараметвекторовиматриц:
	length ( w) = 3	cols(UV) = 5	min(UA)
	last( w)	rows(UV) =	max(UA)
4.	Извлечениеизисхо	днойматрицывектора	-стоивеклбцаи	тора-строки:

UV0, 0 =		UV0, 1 =
UV1, 0 =		UV1, 1 =
UV 0	=	UV 1	=
(UAT) 0 =		(UAT) 3 =

5Извлече. ниисхозематдрнойматрицыугой,номеньшихразмеров:

submatrix(UV,1,2,0,3) =

6Устано. пераргуменвогоматрицлениетличногонуля:а

ORIGIN:= −1

UA− 1, 0 =

UV0, 4

UV	, 4	=
2

UV 2 =

(UAT) 4 T =

submatrix(UA, 1, 4, 1, 2) =

UA3, − 1 =

ORIGIN:= 0

7Использование. ста ндартныхвекторныхиматрфункцийоперацийчных:

15

3.02		−1.05	2.53
M :=	4.33	0.56	−1.78		−v =		v =		tr(M) =
−0.83		−0.54	1.47
rank(M) =			∑v =			v		v
norm2(M) =				norm1(M) =			norme(M) =	normi(M) =
cond1(M) =				cond2(M) =			conde (M) =		condi (M) =
Оптимизацпоискрешенийя
1Решение. одногоуравсоднизвестнымнения								(рис. 2, 3)		:
cos (x)	x + .5			x := 1		root (cos (x) − x − 0.5, x)				x:= 0,0.01.. 1
			1.5
		cos(x)
		x+.5	1
			0.5 0	0.2		0.4	0.6		0.8	1
							x
		Рис.Решение2 уравсоднизвестнымненияодн(							орешение)
sin(x)	−.3		root(sin(x) + 0.3,x,2,4) =				x:= 0,0.01.. 1
			1
		sin(x)
		− 0.3	0
			1 0	2	4	6	8	10	12	14
							x
		Рис.	3 Решениеуравсоднизвестнымнения(					много решений)

2Решенсистемы. NлинейуравненийсNыхеизвестными:

0.3 w + 0.2 x + 6.6 y − 1.1 z						1				0.3	0.2	6.6	−1.1				1
											−1.8	−0.3	6.5				0.1
−7.3 w + 9.7 x + 10.9 y − 4.1 z								.0	M :=	4.5					v :=
										−7.3	9.7	10.9	−4.1			0.01
4.5 w − 1.8 x − 0.3 y + 6.5 z					.1					8.1	−2.7	8.7	8.9			0.001
8.1 w − 2.7 x + 8.7 y + 8.9 z					.00

16

soln := lsolve(M,v)

soln

3Реше. системыNнелинейныхиеуравненийсNнеизвестными:

x := 1

y := 1

Given

x2 + y2

1

x + y

2

Find(x,y) =

4Поиск. приближенногорешениясистемыуравнений:

x := 1

y := 1

Given

(x + 1)2 + (y + 1)2

3

x − y

2

Minerr(x,y) =

Find(x,y) =

5Поиск. всехкорнейполинома:

−.35

10

−0.35 z5 + 10 z4 +

1

π z2 + 45 z − cos ( 3)

0

0

v :=

1

3

π

3

45

−cos (

3)

polyroots (v) =

Постродвумеграфиковрныхе

(рис. 4)

1Исхо. функциядляная

екартовойсистемыкоординат:

n := −100,−99.99.. 10

2π

n

Func (n)

:= 26 sin

n

+

2

67

3 35 n

2Исхо. функцсистемыдполярнойные:

M := 1

m := 0,0.4.. M

θ(m) :=

π

m

4 M

r(m) := 12 m

x(m) := r(m) cos (θ(m))

y(m) := −r(m) sin(θ(m))

XY(m) := 12 (M − m) − i 6 m

17

Полярная система координат
110	100	90	80	70
					60
120
130						50
140							40
150							30
160							20
170							10
180							0
190		0	20	40	60	80	100 120
							350
200							340
210					96		330
220							320
230						310
240					300
250	260 270		280	290
x
y
Действительная часть XY
Мнимая часть XY

Рис. По4. строениедвумерныхграфиков

Построениетрехмерныхграфиков

1Построение. поверхности(

z):

M := 3			x:= −M.. M		mn := 0.				y := −M.. M
Θ(x,y) := (x mn)		2	+ (y mn)	2	z		:=	sin(π Θ(x,y))
					x+ M , y+ M			Θ(x,y)
2Создание. проекционногографикасозд(					атьпроекциютрехмерногографика
z наплоскость			XY).
3Создание. 3	-хмерныхгистп(ограммстроить3					-хмернуюгистограмму				G в

матричвиде,одлин,ввуомистде):юка

	N := 1		G:= submatrix(z,M − N,M + N,M − N,M + N)
4. Созданиеточечныхграфиков:
•	Наосновема	трицыданных	G
•	Наосновевекторовданных(		xyz):

18

x := z 1	y := z 5	z := z 15
• Наосноветрехмернойфункции		F(xyz):
F(x,y,z) := 3 x + 10y + 56
5. Созданиевектпсоздать(лярногопровекпциютонаплолярного		с-
кость XY наоснове	матрицы G).

Работасданными

1Импортирование. экспортирданныхпомстандартныхваниещью

функций WRITEPRN и READPRN. 2Прием. передачаданныхсиспоальтезованиемпр.огранативныхм

Программирование

Программадляпоискасовпадающихзначенийдвухматрицах:

1	17.5			3		10
					0	11
3	.3
			b :=		7	13
a := 2	π			8		45
7	21.15				1	π
8	9					75
				5

Результат:

intersect (a,b)T = ( 1 3 7 8 3.142)

Анимация (рис. 5)

f(x) := x sin(x)			f'(x) :=	d	f(x)	y(a,x) := f'(a) (x − a) + f(a)
				dx
a := π +	FRAME		a = 3.142			x:= 0,0.1.. 16 π
	5

19

25
20
15
10
5
5	0	5	10	15	20	25
10
15
20
25
		Рис5А.	нимацияв	Mathcad

20