Горлач Физика

покоя дейтрона, протона и нейтрона соответственно; Eγ = hν, или Е = hc/λ – энергия γ-кванта; Кp и Кn – кинетические энергии протона и нейтрона; h – постоянная Планка; с – скорость света в вакууме.

Дейтрон до реакции покоился, следовательно, его полная энергия

E

d

= E

0 d

+0 =m c2 .

d

Подставляя числовые данные16, получим уравнение

2,0135532 а.е.м.·931,49 МэВ/а.е.м.+ Eγ =

= (1,0072765 + 1,008665) а.е.м.·931,49 МэВ/а.е.м. + 2,3 МэВ.

Энергия γ-кванта Eγ = 4,54 МэВ, или Eγ = 4,54·1,602·10-13 Дж.

Из формулы Eγ = hc/λ

следует

λ = hc/Eγ .

Тогда длина волны

λ= hc =

6,63 10−34 3,00 108 .

λ = 0,27 пм.

Е γ

7,26 10−13

h

pγ =

6,63 10−34 Дж с

−21

кг м

Импульс фотона

=2,4 10

.

p = λ .

2,7 10−13 м

c

Пример 12. Освобождается или поглощается энергия в резуль-

тате ядерной реакции (см. условие предыдущей задачи)?

Решение. Энергетический эффект	ядерной реакции можно
выразить не только как Q = m c2 , где	m – дефект массы ядерной

реакции (разность масс частиц до и после реакции); с – скорость света в вакууме, но и Q = ΣКII – ΣКI, где ΣКI – суммарная кинетическая энергии частиц до реакции; ΣКII – то же после реакции. Энергия освобождается, если ΣКII > ΣКI, Q > 0 (эффект положителен), т. е. на осуществление реакции тратится энергии меньше, чем получается в результате её протекания. Ответ на вопрос задачи следует из сравнения величин ΣКI и ΣКII.

Полная энергия частицы складывается из энергии покоя и кинетической энергии: Е = Е0 + К. Поскольку кванты излучения не обладают массой, их энергия покоя равна нулю, Е0 = mc2 = 0. Тогда вся энергия γ-кванта Eγ = Кγ = 4,54 МэВ.

Кинетическая энергия образовавшихся частиц (протона и нейтрона) Kp + Кn = 2,3 МэВ оказывается меньше энергии налетающего кванта. Следовательно, энергетический эффект реакции отрицателен: 2,3 – 4,5 = –2,2 < 0. В данной реакции поглощается больше энергии, чем освобождается.

16 В задачах ядерной физики удобно использовать внесистемные единицы (см. прил. 4): 1 а.е.м. = 1,6605·10-27 кг; 1МэВ = 106 эВ =1,602176·10-13 Дж.

120

Пример 13. Ядро Li-6 захватывает медленный нейтрон с

образованием изотопа водорода H-3. Определить второй продукт реакции и его энергию.

Zx =? Ax=? Кх=?	Решение. Запишем схему ядерной реакции:
mLi-6 = 6,015126 а.е.м.	6	+	1	→ 3	+	A	,
mН-3 = 3,016049 а.е.м.	3 Li		0 n	1 H		Z X
mα = 4,002603 а.е.м.	где характеристики микрочастиц найдены в
mn =1,008665 а.е.м.	таблицах (прил. 6). Учитывая сохранение заряда
с2 = 931,49 МэВ/а.е.м.	(нижние индексы) и числа нуклонов17 (верхние
индексы), путём	несложных расчётов		получим		ZХ	= 2;	AХ = 4.

Следовательно, второй продукт реакции – это α-частица, или ядро изотопа гелий-4.

Энергетический эффект ядерной реакции

Q = c2·Δm, или Q = 931,49·Δm,

где Q – энергия, освобождаемая в ходе реакции, МэВ; m – разность

масс частиц до и после реакции, а.е.м.; m = (mLi-6 + mn) – (mH-3 + mα). Численные значения m = 0,005139 а.е.м.; Q = 4,787 МэВ.

Полагая, что исходные компоненты до реакции покоились, в соответствии с законами сохранения энергии и импульса имеем уравнения

	Q = КН-3 + Кα и				mH-3 υH-3=mα υα ;	=> 3 υH-3=4 υα .
Соотношения масс и скоростей α-частицы и ядра трития следую-
	mH-3	3	υH-3	4		К α		mH-3	3
щие:		= 4 и		= 3 .	Следовательно,		=		=		, учиты-
	mα		υα			К Н-3		mα		4

вая, что кинетическая энергия пропорциональна массе и квадрату скорости.

Кинетическая энергия α-частицы: Кα = (3/7)·Q = 2,052 МэВ.

Задание 26. Фотоэффект. Эффект Комптона

1.Построить график зависимости кинетической энергии электронов, вылетающих из вольфрама в результате фотоэффекта, от энергии падающих квантов в интервале от 4,6 до 10 эВ.

2.Рентгеновские фотоны с длиной волны 2,436 пм, упруго сталкиваясь со свободными электронами, передают им 30 % своей энергии. Определить длину волны рассеянного излучения.

3.Калий облучается монохроматическим синим светом (λ = 480 нм).

Какова максимально возможная кинетическая энергия Кm испускаемых при этом фотоэлектронов?

17 Нуклоны – собирательное название частиц, входящих в состав ядра, – протонов и нейтронов.

121

4. Энергия зелёного света (λ = 0,48 мкм), падающего на литиевый катод фотоэлемента, за промежуток времени 20 с составила 12 мДж. Определить силу тока насыщения.

5. В табл. 12 приведены длины волн λ излучения, падающего на катод фотоэлемента, и соответствующие задерживающие напряжения Uз, при которых фотоэффект прекращается.

Таблица 12

λ, нм	255	315	365	465
Uз , B	2,40	1,50	0,90	0,35

Зная заряд электрона, вычислить работу выхода электрона из катода и красную границу фотоэффекта.

6. Возможен ли фотоэффект из цезия под действием красного света (λ = 656 нм)?

7.Электроны, выбиваемые с поверхности металла ультрафиолетовым светом, имеют скорость υ = 3,0 Мм/с. Пренебрегая работой выхода, определить энергию падающих квантов света.

8.При рассеянии на некоторый угол θ длина волны рентгеновских

лучей по сравнению с первоначальной (λ0 =1,00 нм) изменилась на Δλ = 0,24 нм. Найти угол θ и энергию, переданную электрону отдачи.

9.По графику зависимости задерживающего Uзнапряжения от частоты падающего света (рис. 42)

определить красную границу фотоэффекта и работу	В
	4
выхода электрона из металла.	3
10. Из таблицы, где приведены работы выхода	12
электрона (см. прил. 6), выбрать те вещества, на
	0
								ν,10
которых можно наблюдать фотоэффект при облуче-					5 10				14 Гц

нии синим светом с длиной волны λ = 450 нм.	Рис. 42

Задание 27. Спектры водородоподобных атомов

1.Проведя вычисления длин волн, подтвердить или опровергнуть

утверждение: “При переходе электрона с уровня ni = 2 на уровень nf = 1 атом водорода испускает фотон такой же длины волны, что и при переходе однократно ионизованного атома гелия (Не+) с уровня

ni = 4 на уровень nf = 2”.

2. Определить длинноволновую границу λмакс серии Пашена (nf = 3) в спектре атома водорода.

122

3.В области чувствительности человеческого глаза (от 0,40 до 0,78 мкм) находится несколько спектральных линий излучения атомарного водорода. Найти границы видимой части спектра водорода.

4.Атом водорода перешёл из состояния, описываемого главным

квантовым числом n1 = 2, в другое возбуждённое состояние n2, поглотив квант с энергией ε ≈ 3 эВ. Определить квантовое число n2.

5.Найти границы энергий квантов (εmin и εmax) первой инфракрасной серии в спектре атома водорода (серии Пашена).

6.Электрон в однократно ионизованном атоме гелия находится в основном состоянии. Какая наименьшая энергия потребуется для полного отрыва этого электрона от атома?

7.Найти коротковолновую границу (λmin) серии Бальмера в спектре атома водорода.

8.Альфа-частица присоединяет электрон, образуя однократно ионизованный атом гелия. Процесс сопровождается излучением. Пренебрегая кинетической энергией свободного электрона, определить максимальную энергию излучаемого кванта.

9.Во сколько раз энергия ионизации иона гелия (Не+) больше энергии ионизации атома водорода?

10.Примесь однократно ионизованного гелия в атомарном водороде обнаруживается с помощью спектрального анализа. Каково смещение Δλ спектральных линий этих атомов, соответствующих переходам электрона с третьего уровня на второй?

Задание 28. Рентгеновские спектры18

1.Вычислить длину волны Кα-линии в рентгеновском спектре молибдена и соответствующую энергию фотона.

2.Ускоряющее напряжение, приложенное к электронно-лучевой трубке телевизора, равно 30 кВ. Найти максимальную энергию квантов и минимальную длину волны рентгеновского излучения.

3.При переходах электрона в атоме с L- на К-слой испускаются рентгеновские лучи с длиной волны 78,8 пм. Какой это атом?

4.Поверхность металла обстреливается электронами, разогнанными до скорости υ = 0,80с, где с – скорость света в вакууме. Процесс сопровождается рентгеновским излучением. Найти коротковолновую границу спектра тормозного излучения.

18 При решении задач на рентгеновские спектры используются постоянные экранирования: для К-серии σ = 1; для L-серии σ = 7,5.

123

Длина волны λ, пм Рис. 43

5.Определить наибольшую длину волны К-серии рентгеновского излучения трубки с медным анодом.

6.На диаграмме (рис. 43) изображён спектр рентгеновского излучения. Найти максимальную кинетическую

энергию электронов, падающих	на антикатод
		ь				K
рентгеновской трубки.		т I				β	Kα
		о
		с
7. Из какого вещества изготовлен анод рентге-		н I
		с I
		в
новской трубки, для которой	распределение	и
		т
		н
		е
			I
интенсивности излучения по спектру имеет вид,
		И I
		н
изображённый на рис. 43?			|	|	|		| | |	|
			30		50		70	90

8. Для определения постоянной Планка h, измерили наименьшая длина волны (λмин = 21 пм)

излучения, генерируемого рентгеновской трубкой при ускоряющем напряжении 60 кВ. Скорость света в вакууме и заряд электрона известны. Какое значение h получили по приведённым данным?

9.Найти наибольшую длину волны L-серии характеристического излучения, генерируемого рентгеновской трубкой с железным антикатодом. Постоянная экранирования σ = 7,5.

10.Кванты какой наибольшей энергии излучает рентгеновская трубка, работающая при ускоряющем напряжении 50 кВ?

Задание 29. Тепловое излучение

1. Температура внешней поверхности кирпичной стены здания 17 °С. Сколько тепла теряет за сутки стена площадью 100 м2 при температуре окружающей среды –13 °С? Интегральная поглощательная способность красного кирпича аТ = 0,9.

2.Металлическая заготовка, нагретая до 1000 К, излучает с поверхности 1 см2 за одну секунду четыре джоуля тепловой энергии. Определить коэффициент черноты заготовки.

3.Поток тепловой энергии от лампы накаливания с вольфрамовой нитью составляет 25 Вт при температуре нити 2400 К. Найти площадь излучающей поверхности, зная, что лампа излучает в три раза меньше, чем излучало бы чёрное тело при той же температуре.

4.Сколько энергии излучает оштукатуренная стена с одного квадратного метра своей поверхности за сутки при температуре 300 К? Интегральная поглощательная способность штукатурки 0,91.

124

5.Максимум спектральной плотности энергетической светимости

чёрного тела приходится на длину волны λm = (1450 ± 3) нм. Мощность излучения с поверхности площадью S = (10,00 ± 0,05) см2

составляет Pизл = (904 ± 9) Вт. Найти интервал, в котором находится постоянная Стефана – Больцмана σ по этим данным, используя значение постоянной в законе смещения Вина b = 2,898 мм·К.

6.Температура внутренней поверхности муфельной печи при открытом отверстии площадью 30 см2 равна 1,3 кК. Отверстие печи излучает как чёрное тело. Сколько тепла рассеивается стенками за одну минуту, если потребляемая печью мощность составляет 1,5 кВт?

7.На рис. 44 показано распределение энергии по спектру теплового излучения чёрного тела. Определить температуру тела и максимальное значение спектральной плотности энергетической светимости rλ m.

rλ

8. Найти спектральную плотность энергети-

ческой светимости чёрного тела на длине

волны, соответствующей максимуму распре-

деления энергии по спектру теплового

излучения (рис. 44). Оценить, не прибегая к

интегрированию,

энергию, излучаемую в

интервале длин волн от 0,75 до 0,85 мкм с

0

0,4 0,8 λ, мкм

площади 1,0 см2

поверхности данного тела за

Рис. 44

одну секунду.

9.При какой температуре чёрного тела имеет место данная зависимость спектральной плотности энергетической светимости от длины волны (см. рис. 44)? Оценить долю излучаемой энергии в инфракрасном диапазоне (0,8 ≤ λ ≤ 1,6 мкм) по отношению ко всей энергии теплового излучения данного тела.

10.Какова температура стального цилиндра диаметром 12 мм и длиной 100 мм, если он излучает со всей своей поверхности 12 Дж энергии за одну минуту? Поглощательную способность принять равной 0,16. Нагревается или охлаждается цилиндр, если температура окружающей среды 300 К?

Задание 30. Волны де Бройля

1. В электронно-лучевой трубке электроны разгоняются до скорости 100 Мм/с. Используя релятивистское соотношение между кинетической энергией и импульсом частицы, определить дебройлевскую длину волны.

125

2.На грань кристалла никеля падает параллельный пучок электронов. Кристалл поворачивают, увеличивая угол скольжения θ, и измеряют интенсивность отражённого пучка. Когда угол θ достигает 64°, наблюдается максимум первого порядка. Полагая расстояние между атомными плоскостями кристалла равным d = 0,20 нм, определить длину волны де Бройля и скорость электронов.

3.Найти дебройлевскую длину волны для электрона, имеющего

кинетическую энергию К = Е0, где Е0 – энергия покоя данной частицы (см. прил. 6).

4.Параллельный пучок моноэнергетических электронов направлен на узкую щель шириной a = 1,0 мкм. Ширина центрального дифракционного максимума (расстояние между минимумами первого

порядка) на экране, удалённом от щели на расстояние L = 20 см, составляет ℓ = 48 мкм. Определить скорость электронов.

5.В однородном магнитном поле с индукцией 10 мТл по круговой траектории диаметром 10 мм движется электрон. Какова длина волны де Бройля для данного электрона?

6.Определить длину волны де Бройля для протона, обладающего кинетической энергией: а) 0,10 МэВ; б) 1,0 ГэВ.

7.Оценить длину волны де Бройля для атома водорода, движущегося cо скоростью 1 км/с.

8.Моноэнергетический пучок нейтронов падает на кристалл с периодом решётки 0,15 нм. Брэгговское отражение первого порядка наблюдается, когда угол скольжения пучка равен 30°. Определить дебройлевскую длину волны для данных частиц.

9.Оценить дебройлевскую длину волны для протона, имеющего

кинетическую энергию К = ¼Е0, где Е0 = mc2 – энергия покоя частицы; m – масса частицы; c – скорость света в вакууме.

10.На узкую щель шириной 1,0 мкм направлен параллельный пучок электронов со скоростью 3,65 Мм/с. Учитывая волновые свойства частиц, определить расстояние между минимумами первого порядка (ширину центрального максимума) в дифракционной картине, полученной на экране, отстоящем на 10 см от щели.

Задание 31. Соотношения неопределённостей

1. Неопределённость скорости при движении электрона в атоме водорода составляет Δυ = 0,10υ. Найти неопределённость координаты электрона. Применимо ли здесь понятие траектории электрона?

126

2. Возбуждённое состояние атома длится в среднем около τ = 10-8 с, после чего атом переходит в основное состояние, испуская фотон. Средняя длина волны излучения <λ> = 410 нм. Оценить неопределённость длины волны.

3. Пучок электронов, ускоряемый в электронной лампе с разностью потенциалов между анодом и катодом U = 30 кВ, приобретает максимальную скорость υ. Найти неопределённость х координаты

электрона вблизи анода, полагая	υ
	x	=0,015.
	υ

4.Электрон, обладающий кинетической энергией 1,5 кэВ, оставляет в камере Вильсона19 туманный след шириной 1,0 мкм. Вычислить относительную неопределённость импульса электрона.

5.На фотографии, полученной с помощью камеры Вильсона, ширина трека электрона составляет 1,0 мм, а протона – 2,0 мм. Оценить неопределённости скоростей электрона и протона.

6. Среднее время жизни атома в возбуждённом состоянии равно τ = 10 нс. При переходе атома в основное состояние испускаются кванты с энергией около 10 эВ. Оценить естественную ширину Δλ спектральной линии излучения, используя соотношение неопределённостей.

7.При движении вдоль оси 0х неопределённость скорости частицы

составляет Δυх = 1 см/с. Вычислить неопределённость координаты х для электрона и для броуновской частицы массой 0,1 пг.

8.Неопределённость координаты частицы, оставившей след в пузырьковой камере, заполненной жидкостью, принимается равной диаметру пузырька d = 1,0·10-7 м. Найти неопределённости в измерении скоростей с помощью этой камеры: а) электрона; б) α-частицы.

9.Исходя из соотношения неопределённостей, оценить размытость

Еэнергетического уровня в атоме водорода для основного состояния и для возбужденного состояния со временем жизни τ = 10-8 с.

10.Рубиновый лазер создаёт импульс красного света (λ = 693,4 нм) длительностью 10 пс и мощностью 2,0 ГВт. Найти неточность в измерении энергии лазерного импульса и относительную неопределённость энергии фотона.

19 Камера Вильсона, или туманная камера – прибор, в котором наблюдаются траектории микрочастиц вследствие конденсации пересыщенного пара по пути их движения. Капельки жидкости образуют туманный след вдоль траектории частицы – трек.

127

Задание 32. Частица в потенциальной яме

1.Частица находится на втором уровне (n = 2) в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Какова

вероятность Р обнаружить частицу в интервале координат от x1 = 0 до x2 = ½ℓ, где ℓ – ширина ямы.

2.Оценить длину волны излучения при переходе электрона между

уровнями ni = 2 и nf = 1 при условии, что данная частица находится в бесконечно глубокой потенциальной яме шириной ℓ = 0,05 нм.

3.Микрочастица находится в одномерной потенциальной яме бесконечной глубины на уровне с квантовым числом n = 2. При каких значениях координаты х (0 < х < ℓ, где ℓ – ширина ямы) плотность распределения вероятности нахождения частицы максимальна?

4.Состояние частицы в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме описывается квантовым числом n = 2. Найти те координаты х (0 ≤ x ≤ ℓ, где ℓ – ширина ямы), где плотность распределения вероятности нахождения частицы минимальна.

5.Электрон находится на первом уровне (n = 1) в одномерной потенциальной яме бесконечной глубины шириной ℓ = 50 пм. Какую энергию должен получить электрон, чтобы перейти на уровень с квантовым числом n = 3?

6.Частица находится на первом уровне (n = 1) в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Найти координату частицы в промежутке 0 ≤ x ≤ ℓ (ℓ – ширина ямы), где плотность распределения вероятности обнаружения частицы максимальна.

7.В одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме шириной ℓ находится электрон в основном состоянии (n = 1). Какова вероятность обнаружить частицу в интервале координат 0 ≤ x ≤ ⅔ℓ ?

8.Найти наименьшее из возможных значений энергии электрона, находящегося в прямоугольной бесконечно глубокой потенциальной яме шириной ℓ = 0,2 нм.

9.Микрочастица находится в одномерной потенциальной яме с

бесконечно высокими стенками		на первом	возбуждённом уровне
(n = 2). Какова	вероятность Р	обнаружить	частицу в интервале
координат от x1 =	⅔ℓ до x2 = ℓ, где ℓ – ширина ямы.

10. Электрон находится в основном состоянии (n = 1) в одномерной потенциальной яме бесконечной глубины. Оценить ширину ямы ℓ, при которой наименьшая собственная энергия электрона сравнима с энергией покоя данной частицы.

128

Задание 33. Радиоактивность

1.Вычислить вероятность распада отдельного ядра цезия-137 в течение: а) 15 суток; б) 30 суток.

2.Сколько дней нужно выдержать сыр, прежде чем употреблять его в пищу, если он произведён из молока, загрязнённого радиоактивным изотопом I-131? Начальная активность превышает допустимую

в1000 раз.

3.Естественная радиоактивность морской воды 12,00 Бк/кг. После сброса в море изотопа Cs-137 общей активностью 650·103 кюри20 удельная активность воды повысилась на 0,10 Бк/кг. Оценить объём воды в море, считая, что изотоп распределился равномерно. Через сколько дней удельная активность воды будет превышать естественную не более чем на 5 %?

4.Определить возраст деревянных предметов, удельная активность изотопа углерода С-14 в которых составляет 3/5 удельной активности этого изотопа в только что срубленных деревьях.

5.С целью диагностики заболевания человеку ввели внутривенно 1,0 мл раствора, содержащего искусственный радиоизотоп натрий-24 активностью 2000 Бк. Активность 1,0 мл крови, взятой через 5,0 ч, оказалась равной 0,27 Бк. Определить объём крови человека.

6.В табл. 14 представлены результаты измерения активности радиоактивного препарата. Построить график зависимости A(t), где А – активность; t – время распада, и определить период полураспада.

					Таблица 14
t, ч	0	10	20	30	40
А, 1011 Бк	4,60	3,83	3,19	2,66	2,22

7.Биологическая ткань массой 0,2 кг получила эквивалентную дозу

от нейтронного облучения Нn = 0,8 Зв и такую же дозу – от γ-излучения (Нγ = Нn). Определить общую поглощённую дозу D и поглощённую энергию W, учитывая соответствующие коэффициенты биологической эффективности (см. прил. 6).

8.Человек получает дозу облучения D = 0,18 мГр в год за счёт распада радиоизотопов калия, содержащихся в мышцах. Сколько ядер

20 1 кюри = 1 Ки = 3,7·1010 Бк.

129