Метрические пространства
1. Определение. Основные примеры метрических пространств
Определение:
Метрическим
пространством
называется пара
,
где
– некоторое множество и
–вещественная функция, удовлетворяющая
для всех
следующим аксиомам:
А1.
и
;
А2.
(аксиома симметрии);
А3.
(аксиома треугольника).
Определение:
Функция
называется расстоянием
или
метрикой
на
.
Если множество
наделить другой метрикой
,
то получим другое метрическое пространство.
Примеры метрических пространств
1. Пространство изолированных точек.
Произвольное
множество
и
2. Множество
действительных чисел с расстоянием
образует метрическое пространство
.
3. Множество
упорядоченных групп из
действительных чисел
с
называется
– мерным арифметическим евклидовым
пространством
.
Доказательство.
Для того, чтобы доказать, что пространство является метрическим, необходимо проверить выполнимость аксиом.
Пусть
,
,
.
А1.
и
,
,
…,
,
т. е.
.
А2.
.
А3. Проверим,
выполняется ли в
аксиома треугольника. Запишем аксиому
в виде:
.
Полагая
,
,
получим
и
.
Для доказательства
этого неравенства используется
неравенство Коши–Буняковского
.
Действительно,
,
т.е.
.
Следовательно, аксиома треугольника выполнена, и рассматриваемое множество с заданной метрикой является метрическим пространством.
Что и требовалось доказать.
4. Множество
упорядоченных групп из
действительных чисел
с
.
Это метрическое пространство обозначается
.
5. Множество упорядоченных групп из действительных чисел с . Это метрическое пространство обозначается .
Примеры 3, 4 и 5 показывают, что один и тот же запас точек может быть по-разному метризован.
6. Множество
всех непрерывных действительных функций,
определенных на сегменте
с расстоянием
.
Обозначают это метрическое пространство
как и само множество точек пространства:
.
В частности, вместо
пишут
.
7. Через
обозначается метрическое пространство,
точками которого служат всевозможные
последовательности
действительных чисел, удовлетворяющие
условию
,
и метрика определяется формулой
.
Доказательство.
Так как
,
то
имеет смысл при всех
.
Т.е. ряд
сходится, если
и
.
Покажем, что
удовлетворяет аксиомам.
Аксиомы 1, 2 очевидны. Аксиома треугольника примет вид:
.
Все ряды являются сходящимися.
Неравенство
справедливо для любого
(см. пример 3). При
получаем неравенство для
.
Что и требовалось доказать.
8. Рассмотрим
совокупность всех функций, непрерывных
на отрезке
и
.
Такое метрическое пространство
обозначается
и называется пространством непрерывных
функций с квадратичной метрикой.
9. Рассмотрим
множество всех ограниченных
последовательностей
действительных чисел. Определим
.
Это метрическое пространство обозначается
.
10. Множество
упорядоченных групп из
действительных
чисел с расстоянием
,
где
– любое фиксированное число
,
представляет собой метрическое
пространство, обозначаемое
.
Рассмотренная в
этом примере метрика
превращается в евклидову метрику при
(см. пример 3) и в метрику примера 4 при
.
Можно показать, что метрика
(см. пример 5) является предельным случаем
.
11. Рассмотрим
всевозможные последовательности
действительных чисел, удовлетворяющие
условию
,
где
– некоторое фиксированное число, а
расстояние определяется формулой
.
Имеем метрическое пространство
.
12. Пусть
– множество всех бесконечных
последовательностей –комплексных
чисел
.
Определим
.
Имеем метрическое пространство.
Определение:
Пусть
– метрическое пространство и
– любое подмножество
.
Тогда
с той же функцией
,
которая теперь определена для
,
представляет собой метрическое
пространство, которое называется
подпространством
пространства
.