1. Линейная алгебра

   1. Матрицы: определение, размерность, действие над матрицами.

Матрица - совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов.

- прямоугольная

- квадратная

Действия:

Сложение. Если имеются матрицы и , тогда суммой матриц будет матрица Ех:

Произведение. Можно умножить только согласованные матрицы.

и-согласованные, и - не согласованные

= так, что для любых i и j

Ех: =

Умножение.

Любую матрицу можно умножить на постоянное число. λ×А=В b_ij= λ×a_ij

Транспонирование.

A^т – полученная из А путем замены каждой строки столбцом с тем же номером.

2. Определители: определение, правило исчисления определители 2 и 3 порядка.

Определитель – некоторое число, вычисляющееся по определенным правилам:

Определители второго порядка.

, определитель

Определители третьего порядка.

, .

3. Определители: миноры, алгебраическое дополнение.

Если задана матрица 3его порядка, то МИНОРОМ a_ij называется определитель на 1 порядок меньше, полученный вычеркиванием i строки и j столбца.

Ех: ,

Алгебраическим дополнением матрицы называется его минор взятый со знаком «+» если место элемента четное и со знаком «-», если место нечетное. Четность/Нечетность места элемента определяется суммой N строки и M столбца, на пересечении которых находится элемент a_ij

4. Произведение матриц, транспонировка матриц.

Произведение. Можно умножить только согласованные матрицы.

и-согласованные, и - не согласованные

= так, что для любых i и j

Ех: =

Транспонирование.

A^т – полученная из А путем замены каждой строки столбцом с тем же номером.

5. Свойства определителей

• ;

• Если все элементы некоторого ряда определителя равны 0, то определитель равен 0;

• Если все элементы некоторого ряда имеют общий множитель, его можно вынести за знак определителя;

• Перестановка двух столбцов или двух строк равносильно умножению на -1

• Определитель у которого каждый элемент некоторого ряда является суммой двух слагаемых равен сумме двух определителей

• Если две строки или два столбца матрицы паралелльны, то определитель равен 0

• Если матрица А имеет 2 пропорциональных ряда, то ее |A| =0

• Если к элементу некоторого ряда прибавить соответственный элемент другого ряда, умноженный на α, то величина определителя не изменится.

• Если в определителе какой либо ряд есть линейная комбинация 2х других, то определитель равен 0

• Теорема о разложении определителя:

Определитель матрицы равен сумме произведения элементов некоторого ряда на алгебраический дополнения этих элементов

6. Формула Крамера

Решение систем 3х уравнений с тремя неизвестными x,y,z

Числа x₀, y₀, z₀ называются решением системы, если в результате подстановки этих чисел в систему вместо x, y, z, все три уравнения обращаются в тождество.

Формула Крамера.

, , .

Если =0 то система не имеет решений , или имеет бесконечное множество решений.

Если система имеет одно единственное решение.

2. Аналитическая геометрия

1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Расположение прямой на плоскости в зависимости от знаков k и b.

y=kx+b.

k=tgα – Угловой коэффициент

Расположение прямой в зависости от знаков к и б:

• k>0, b>0

y=x+2

• k>0, b<0

y=x-2

• k<0, b>0

y=-x+2

• k<0, b<0

y=-x-2

2. Полярные координаты. Связь полярных и прямоугольных координат.

Полярная система состоит из некоторой точки О – полюса и луча АО, исходящего из точки О соответственно. ОА – полярная ось.

(ρ;φ) – полярные координаты

ρ=OM – полярный радиус.

φ – полярный угол. Это угол, на который поворачивается ось ОА до совмещения с ОМ.

Обычно

Связь полярных и прямоугольных координат.

Предпологается, что начало прямоугольной системы координат совпадает с полюсом, а ось абсцисс совпадает с полярной осью.

3. Дифференциальные исчисления

1. Производная: Определение, геометрический и физический смысл.

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при

Геометрический смысл: Производная – это угловой коэффициент касательной в заданной точке.

Физический смысл: Производная – мгновенная скорость точки в момент времени t₀

2. Правила дифференцировки элементарных функций.

3. Определение сложной функции, правило их диф-ки.

Функция, аргумент которой является функцией – сложная функция.

,дифференцируется последовательно:

4. Дифференциал функции: определение, свойства.

4. Интегральные исчисления

1. Определенный интеграл: определение, свойства.

Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю

При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на обратный.

 Если промежуток интегрирования [a,b] разбит на конечное число частичных промежутков, то определенный интеграл, взятый по промежутке [a,b], равен сумме определенных интегралов, взятых по всем его частичным промежуткам.

Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

Определенной интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций.

2. Метод интегрирования ф-ции вида . Замена переменной (линейная перестановка)

Если функция имеет вид , то используется линейная подстановка.

3. Метод интегрирования произведения функций . Привести пример.

Используется подстановка общего вида – используется тогда, когда под интегралом стоит произведение двух функций, причем одна из них напоминает или равна производной от другой функции, в таком случает первую обозначают за t.

4. Метод интегрирования произведения функций . Привести пример.

Используется подстановка общего вида – используется тогда, когда под интегралом стоит произведение двух функций, причем одна из них напоминает или равна производной от другой функции, в таком случает первую обозначают за t.

5. Метод интегрирования произведений функций . Привести пример.

Используется подстановка общего вида – используется тогда, когда под интегралом стоит произведение двух функций, причем одна из них напоминает или равна производной от другой функции, в таком случает первую обозначают за t.

6. Метод интегрирования по частям (для неопределенного инт-ла)

Этот метод используется тогда, когда u и v разнородные функции (Ex: алгебраическая/тригонометрическая).

Суть метода: часть подынтегрального выражения замещают на u, а остальную на dv и применяют формулу.

-Если под интегралом стоит произведение алгебраической функции и тригонометрической, то алгебраическую замещают на u, а тригонометрическую на dv.

-Если под интегралом стоит произведение алгебраической и логарифмической, то за u обозначают логарифмическую.

7. Определенный интеграл: формула Ньютона-Лейбница Метод интегрирования по частям в определенном интеграле.

, Для интегрирования по частям

8. Применение определенного интеграла: площадь произвольной трапеции.

- площадь криволинейной трапеции.

Фигура может быть ограничена кривыми с двух сторон.

5. Дифференциальные уравнения

1. Линейное однородное дифур-е 2ого порядка с пост. коэф. Характеристическое уравнение. Решение уравнения, когда корни характер. ур-я – комплексные числа.

p и q – постоянные коэффициенты,, для решения такого уравнения составляют характеристическое уравнение ():

D<0, нет действительных корней. Корни – комплексные числа.

Общее решение:

2. Дифур с разделенными переменными. Решение уравнения вида . Дифур с разделяющимися переменными. Решение уравнения вида .

;

3. Дифур с разделяющимися переменными. Решение уравнения вида .

4. Определение дифура. Порядок дифура. Геометрическое представление решений.

Дифференциальное уравнение – это уравнение в котором неизвестная функция входит под знаком производной. Порядок дифференциального уравнения определяется наибольшим порядком производной, входящим в данное уравнение.

Геометрическое представление – семейство кривых изображенных на одной плоскости

5. Линейное однородное дифур-е вида . Общее решение уравнения популяций.

6. Линейное однородное дифур-е 2ого порядка с пост. коэф. Характеристическое уравнение. Решение уравнения, когда корни характер. ур-я и разные действительные числа.

p и q – постоянные коэффициенты,, для решения такого уравнения составляют характеристическое уравнение ():

Общее решение:

7. Линейное однородное дифур-е 2ого порядка с пост. коэф. Характеристическое уравнение. Решение уравнения, когда корни характер. ур-я и равные действительные числа.( )

p и q – постоянные коэффициенты,, для решения такого уравнения составляют характеристическое уравнение ():

D=0 ,

Общее решение:=

6. Теория вероятности

1. Классификация событий. Определение достоверного, недостоверного, равновозможных, случайного и противоположного событий. Привести примеры.

Событие – всякий факт, который может произойти в результате некоторого опыта, наблюдения, эксперимента. Ех: попадание в цель при выстреле.

Достоверное событие. Событие, наступающее всегда. Ех: Приходит новолуние

Недостоверное (невозможное). Событие, которое никогда не произойдет. Ех: В Грибканале плавает птеродактиль.

Случайное. Ех: авария на АЭС

Противоположные. Одно событие исключает другое. недостоверное событие.

Ех: Зима и Лето в одной и той же точке пространства Земли.

Равновозможные. События, с одинаковыми условиями появления, и нет оснований утверждать, что одно из них имеет преимущество появления. Ех: выпадение орла/решки.