Решение задач в начальной школе

Решение задач в начальной школе

1. Сюжетная задача как цель и средство обучения.

2. Подготовительная работа к обучению детей решению задач.

3. Знакомство с простой задачей.

4. Семантический анализ текста задачи.

1. Сюжетная задача как цель и средство обучения

Обучение решению задач в начальных классах является тради­цией русской методической школы. Первый русский учебник по математике для детей младшего возраста Л.Ф. Магницкого «Ариф­метика» (1703) содержал практически все виды задач, включаемые сего'дня в учебники математики начальных классов. В то же время решение задач является наиболее проблемной частью изучения ма­тематики для большинства детей.

Под задачей в начальном курсе математики подразумевается специальный текст, в котором обрисована некая житейская ситуа­ция, охарактеризованная численными компонентами. Ситуация обязательно содержит определенную зависимость между этими численными компонентами. Таким образом, текст задачи можно рассматривать как словесную модель реальной действительности.

Непосредственно ситуация обычно задается в той части задачи, которая называется условием.

Завершается ситуация требованием найти неизвестный компо­нент. Требование может быть выражено в форме вопроса. Одни численные компоненты в задаче заданы — они называются данные, другие необходимо найти — их называют искомые.

В условии задачи указываются связи между данными числами, а также между данными и искомым — эти связи определяют выбор арифметических действий, необходимых для решения задачи.

«Решить задачу — значит раскрыть связи между данными и иско­мым, заданные условием задачи, на основе чего выбрать, а затем вы­полнить арифметические действия и дать ответ на вопрос задачи»1.

Согласно этому определению, для полноценной работы над за­дачей ребенок должен:

1) уметь хорошо читать и понимать смысл прочитанного;

2) уметь анализировать текст задачи, выявляя его структуру и взаимоотношения между данными и искомым;

3) уметь правильно выбирать и выполнять арифметические дей­ствия (и следовательно, быть хорошо знакомым с ними);

4) уметь записывать решение задачи с помощью соответствую­щей математической символики.

Технологически при решении задачи ребенок как минимум дважды выполняет «перекодировку» словесно заданной ситуации задачи — сначала переводя ее в краткую запись, рисунок или схе­му, для выявления связей между данными и искомым, а затем еще раз переводя выявленную зависимость на язык математических знаков и символов (запись решения).

Фактически под решением задачи можно понимать процесс «пе­рекодировки» учеником словесно заданного сюжета, имеющего численные компоненты и характерную структуру, на язык ариф­метической записи (запись решения).

Для эффективного выполнения такой «перекодировки» ребе­нок должен свободно владеть анализом предложенной словесной структуры. Как уже было отмечено, под характерной структурой подразумевается опознаваемое в тексте условие и требование.

Условие — та часть текста, в которой задана сюжетная ситуация, чис­ленные компоненты этой ситуации и связи между ними. В стандартной формулировке условие выражается одним или несколькими повество­вательными предложениями, содержащими численные компоненты.

Требование — та часть текста, в которой указана (названа, обозна­чена) искомая величина (число, множество). В стандартной форму­лировке учебников начальных классов требование обычно выражено вопросом, начинающимся словом «Сколько...?» и заканчивающимся знаком вопроса. Именно на эти внешние частные признаки условия и требования привыкают ориентироваться дети, если стандартные формулировки используются учителем (учебным пособием) посто­янно и в большинстве случаев. При таком подходе у ребенка форми­руется негибкий (конвергентный) стереотип восприятия этих при­знаков задачи, и любое незначительное видоизменение структуры тек­ста может представлять для ребенка значительные трудности.

Например, следующие тексты будут создавать проблему при ра­боте над задачей, если ребенок привык к стандартным формули­ровкам:

Сколько'литров молока надо отлить из 20-ти литрового би­дона, чтобы в нем осталось 8 литров?

Задача начинается с вопроса, который соединен с условием в сложное предложение через запятую.

Найти скорость катера, который за 3 часа удалился от при­стани по течению на 120 км. Скорость течения реки 5 км/ч.

В формулировке требования отсутствует слово «сколько» и знак вопроса. Вопрос «замаскирован» в условии, которое разбито на два повествовательных предложения.

Такие тексты в методике обучения математике младших школь­ников принято называть трансформированными. Можно приду­мать и другие варианты таких трансформированных текстов, но при этом следует отметить, что тексты последнего варианта явля­ются характерными для формулировки задач в среднем и старшем звене. Иными словами, именно эти структуры — перспективная линия, к которой следует готовить детей, имея в виду преемст­венность обучения математике, а вовсе не какие-то «изыски» для особо способных детей. К сожалению, большинство учителей начальных классов воспринимает подобные структуры как «задачи повышенной сложности», возможность включения которых в ра­боту определяется наличием свободного времени, или адресуются только способным детям.

Данные — это, как правило, численные (числовые) компоненты текста задачи. Они характеризуют количественные отношения пред­лагаемой в задаче ситуации: значения величин, численные характери­стики множеств, численные характеристики отношений между ними.

Например, задача о катере (выше) содержит численные характе­ристики величин (скорость и время). Задача: «В магазине продали два куска ситца. За первый кусок выручили 180 рублей, а за второй в 2 раза больше. Сколько денег выручили за второй кусок?» — содер­жит численную характеристику величины (длина) и численную характеристику отношения величин (в 2 раза больше). Задача: «Школьники посадили 15 саженцев яблони и 10 саженцев сливы. Сколько всего саженцев посадили школьники?» — содержит чис­ленные характеристики множеств.

Работа с данными заключается в обучении их распознаванию. Если задача сформулирована стандартным образом, то данные в ней обозначены числами и их легко выделить из текста. Числен­ные значения величин и численные характеристики множеств обычно обозначены числами. Численные характеристики отноше­ний между ними могут быть обозначены не числом, а словом, на­пример: «в два раза больше», «столько же, сколько в первом» и т. п. В этом случае дети могут «терять» данные и вообще не восприни­мать эти численные характеристики как данные. Провоцируется такая ситуация тем, что все тексты в начальной школе содержат данные, выраженные численно, а тексты задач первого года обучения содержат только численные данные. В этом случае ребе­нок (особенно плохо читающий) «выхватывает» числа из контек­ста, и выполняет с ними действия, практически независимо от си­туации, заданной в условии (чаще всего, ориентируясь на «ключевое» слово: улетели, дали, вместе, принесли и т. п.). Для 1 класса такой «способ» решения задачи, к сожалению, является типичным, чему способствует и методика, ориентированная на вы­бор «главного» слова. Между тем, слово не всегда определяет выбор действия, а вырванное из контекста, оно теряет свою однозначность и становится многозначным. Например, слово «улетели» вне кон­текста подталкивает ребенка к выполнению вычитания, но в тек­сте: «Сначала улетели 7 птиц, затем еще 2 птицы. Сколько птиц улетело?» — оно не определяет выбор действия. Выбор действия определяет ситуация условия. В задаче этого вида типичной ошиб­кой является действие 7-2 = 5 (пт.).

Порождается эта ошибка ориентиром на слово «улетели», а так­же тем, что первое заданное в условии число больше второго.

Распознаванию словесно заданных характеристик отношений в тексте задачи нужно учить сначала на специально подобранных текстах, где все данные выражены словами.

Искомое — нахождение искомого в численном выражении обычно является конечной целью процесса решения арифметической задачи.

В дальнейшем дети будут сталкиваться с другими видами за­дач, в частности, с задачами геометрического характера: на доказа­тельство, на построение, где искомым является либо сам процесс решения (задачи на доказательство), либо результат этого процес­са, выраженный не в численных характеристиках (фигура в задаче на построение; буквенное выражение в алгебраической задаче). В начальных классах такие задачи крайне редки, хотя в последней редакции традиционного учебника появились в небольшом ко­личестве и задачи на построение, и задачи, требующие составления буквенного выражения, без нахождения его числового значения. Задачи последнего вида часто встречаются в учебнике Л.Г. Петер-сон. Приведем пример задачи, где процесс ее решения приводит к численному результату, который не является целью решения за­дачи, а лишь косвенно используется для характеристики неизвест­ного (учебник Н.Б. Истоминой).

Если цену учебника уменьшить в 3 раза, то получим цену блокнота. Блокнот в 3 раза дороже тетради. Краски в 9 раз дороже тетради. Хватит ли денег, которые мама дала для по­купки учебника, на покупку красок?

Ответ к данной задаче предполагается в виде: «Денег на покуп­ку красок хватит». Для ответа на вопрос данной задачи следует ус­тановить соотношение между ценами и фактически выразить цену красок в количестве «единичных цен», за которые нужно принять цену тетради (как самого дешевого предмета): Учебник -------------------1----------------------1--------------------------

Блокнот —|--------1------------

Тетрадь

Краски

Вывод: цена красок — это 9 цен тетради, цена учебника — тоже 9 цен тетради. Значит денег хватит (искомое).

Вопрос о роли задач в начальном курсе математики теоретиче­ски является дискуссионным, поскольку с одной стороны обучение решению задач рассматривается как цель обучения (ребенок дол­жен уметь решать задачи!), а с другой стороны — процесс обучения решению задач рассматривается как способ математического в час­тности, и интеллектуального в целом, развития ребенка.

Сторонники первого подхода придерживаются четкой иерархии в построении системы обучения решению задач: в нарастании слож­ности задач (сначала простые задачи, затем составные в 2 дейст­вия, далее — составные большего количества действий), а также в четком разграничении типов задач с целью прочного усвоения детьми способов решения этих типов.

Другой подход требует при подборе задач ориентироваться на определенные интеллектуальные (мыслительные) действия, кото­рые могут формироваться при работе над той или иной задачей. Этот подход требует учить детей выполнять семантический и структурный анализ текста задачи вне зависимости от ее типа и количества действий, выявлять взаимосвязи между условием и требованием, данными и искомым и описывать их каким-то об­разом — либо через промежуточную модель (рисунок, краткую запись, схему), либо сразу в математических символах (симво­лическая модель) в виде записи решения. В этом случае обучение решению задач будет являться средством интеллектуального раз­вития ребенка. При этом предполагается, что результатом этого ин­теллектуального развития будет являться умение решать задачи любого типа и уровня сложности. В связи с этим, все альтернатив­ные учебники математики, построенные на основе этого подхода, содержат на последних годах обучения в начальной школе боль­шое количество задач высокого уровня сложности.

Таким образом, суть современного развивающего методического подхода к обучению ребенка решению задач состоит в том, что мето­дика желает сформировать у учащегося самостоятельную учебную деятельность в том числе и в плане решения задач. Иными словами, речь идет не о том, чтобы научить ребенка узнавать и решать огра­ниченный круг типовых задач, а научить ребенка решать любые за­дачи и притом самостоятельно. Исходя из жизненных реалий, понят­но, что невозможно научить этому всех детей с одинаковым уровнем успешности в одинаковые сроки, но попытаться сформировать у ре­бенка умения самостоятельной работы над задачей как учебной про­блемой — вот одна из основных методических линий современной методики обучения математике в начальных классах.

2. Подготовительная работа

к обучению детей решению задач

В связи с тем, что необходимое для самостоятельной работы над текстом задачи умение хорошо читать формируется у многих де­тей не в полной мере даже к концу первого класса, педагогам, при обучении таких детей приходится целиком и полностью работать с ними «на слух».

В этой ситуации важнейшее значение приобретает умение ре­бенка не только внимательно слушать предлагаемый текст, но и правильно представлять себе ситуацию, заданную условием. Именно ориентируясь на свое представление о заданной ситуации, ребенок будет выбирать арифметическое действие, требующееся для решения задачи.

В этой связи прежде, чем приступать к знакомству с задачей и обучению решению задач, необходимо сформировать у ребенка целый комплекс умений: умение слушать и понимать тексты раз­личных структур, умение правильно представлять себе и моде­лировать ситуации, предлагаемые педагогом, умение правильно выбирать действие в соответствии с ситуацией, а также умение со­ставлять математическое выражение в соответствии с выбранным действием, и умение выполнять простые вычисления (как мини­мум, отсчитыванием и присчитыванием). Эти умения являются ба­зовыми для подготовки ребенка к обучению решению задач.

Важнейшим умением, необходимым ребенку для правильного решения простых задач, является умение правильно выбирать арифметическое действие в предложенной ситуации.

Знакомство учащихся с арифметическими действиями сложе­ния и вычитания целесообразно распределить на два этапа:

1) подготовка к правильному пониманию различных сюжетных ситуаций, соответствующих смыслу действий — организовывает­ся через систему заданий, требующих от ребенка адекватных пред­метных действий с различными совокупностями;

2) знакомство со знаком действия и обучение составлению со­ответствующего математического выражения.

Анализ различных учебных пособий по математике для началь­ных классов, называемых учебниками нового поколения (учебни­ки различных развивающих систем), показывает, что второй из обозначенных этапов реализуется их авторами не ранее 3—4 меся­ца пребывания ребенка в школе. Это обусловлено необходимостью сформировать у ребенка целый ряд предметных знаний и учебных умений, составляющих базу для подготовки к правильному пони­манию смысла и способов выполнения арифметических действий.

Эту методическую работу можно считать подготовительной к обучению решению простых задач, поскольку для правильного решения простой задачи ребенок должен научиться выбирать дей­ствие в соответствии с ситуацией, заданной текстом задачи.

Поскольку в первом классе начальной школы большинство де­тей не владеет свободным чтением, а потому не может самостоя­тельно в полной мере работать с текстом задачи, очень большое значение имеет умение понимать ситуацию задачи на слух, пра­вильно моделировать ее, выбирать и объяснять выбор действия.

В текстах стандартной формы условие выражено повествователь­ным предложением и предшествует вопросу, который выражен во­просительным предложением. В школе это иногда порождает такой «методический» прием, как чтение текста «до точки» (это условие), а далее в вопросительном предложении содержится вопрос. Такую методику порождает стремление авторов учебников ограничиться только стандартными текстовыми структурами и типовыми задачами. Подобный подход ведет к тому, что дети научаются работать с типо­выми задачами и довольно успешно справляются с ними, узнавая ти­пы и вспоминая заученные способы решения, но при столкновении с нетиповыми текстами эти дети теряются и не могут с ними работать.

К нетиповым текстам относятся тексты, в которых требование выражено повествовательным предложением или текст задачи трансформирован таким образом, что она сформулирована одним предложением или условие разделено на две части и т. п.

Например:

В гараже стояло 2 легковых и 5 грузовых машин. Найти ко­личество машин в гараже.

Сколько карандашей было у Маши, если 3 карандаша она отдала брату, а 4 оставила себе?

На полке стояло 6 книг. Сколько книг осталось на полке по­сле того как 2 книги Петя отнес в библиотеку? и т. п.

Нетиповые тексты могут быть построены и на других принци­пах — это могут быть тексты с нехваткой или излишком данных, например:

На дереве сидели птицы. 5 из них — это воробьи, осталь­ные — голуби. Сколько было голубей?

В вазе лежало 8 апельсинов. Ваня съел 2 апельсина и Катя съела 3 апельсина. Сколько апельсинов они съели?

Работа с такими текстами является наиболее полезной с точки зрения обучения решению задач, поскольку именно такие тексты учат ребенка внимательно читать и анализировать задачу, целена­правленно устанавливать связи между данными и искомым для осознанного выбора действия. Безусловно, при отсутствии умения читать, такую работу ребенок осуществить не может. Если же пред­лагать такую работу ребенку, плохо читающему, то на практике мы обычно наблюдаем в этом случае подмену работы над текстом зада­чи манипулированием числовыми данными. Это происходит пото­му, что числовые данные, обозначенные цифрами, в первую очередь бросаются в глаза при небольшом тексте. Поскольку в тексте стандартной задачи в 1 классе обычно бывает два числовых дан­ных, с которыми нужно выполнить арифметическое действие (сло­жение или вычитание), ребенок, плохо читающий, просто наугад выполняет с выделенными числовыми данными знакомое ариф­метическое действие. Если же учитель не подтверждает правиль­ность выбора действия, то достаточно выполнить другое из двух известных действий. В результате подобной практики формиру­ется достаточно распространенный стереотип действий ребенка с задачей, когда он выполняет действия с числами, заданными тек­стом задачи, даже не задумываясь над смыслом этих действий и результатом (и тогда полтора землекопа в ответе его совершенно не удивляют).

Противоположный способ работы над задачей можно наблю­дать в практике работы с шестилетками при раннем знакомстве с задачей, когда педагог, зная что дети не могут работать с текстом самостоятельно, старается облегчить им восприятие этого текста, моделируя все его числовые компоненты на наглядности. (Хотя именно числовые компоненты воспринимаются ребенком быстрее и легче всего.) При этом на столе или фланелеграфе выставляется все нужное количество предметов и перед глазами детей выполня­ются все обозначенные условием действия.

Например:

Педагог предлагает детям текст:

На ветке сидели б мартышек. Одна — свалилась. Сколько мартышек осталось на ветке?

Иллюстрируя этот текст, педагог выставляет на фланелеграф изображения шести мартышек (и все это заранее приготовлено, причем вручную!), затем снимает одну мартышку. Остальные пять остаются перед глазами детей.

При такой организации наглядности не только процесс (решение задачи) теряет смысл, но и способ получения результата (ответ) со­вершенно противоположен тому, который предполагается при дей­ствительном решении задачи. Ответ при решении задачи должен быть получен как результат выполнения арифметического действия.

При описанном выше способе работы с наглядностью ребенок не только не озабочен выбором действия, но и не должен его вы­полнять, поскольку ответ он может получить пересчетом. При этом, как правило, помня о том, что следует обсудить выбор действия при решении задачи, педагог обычно настаивает на том, чтобы дети назвали действие, которое они выполняли. И дети называют нуж­ное действие. Можно ли быть уверенным, что этот ответ обусловлен действительно произведенным выбором действия? Скорее всего, дети просто помнят, что в аналогичной ситуации следует говорить «отняли». Таким образом, происходит формирование ориентира на действие педагога (снял мартышку и убрал, значит, надо отнять) или на слово («главное слово»). При такой ориентации ребенка приучают ассоциировать слова «отдали», «унесли», «съели», «ос­талось» и т. п. с действием вычитания, а слова «дали», «купили», «стало», «вместе» и т. п. — с действием сложения.

При работе со стандартными формулировками и простыми тек­стами такой прием некоторое время выручает и ребенка, и педаго­га. Однако первый же нестандартный текст покажет порочность такого метода работы при обучении решению задач.

Например:

Из бочки вылили сначала 5 ведер воды, а потом еще 2 вед­ра. Сколько ведер воды вылили?

(Типичной ошибкой является действие 5 - 2.)

У Ванн и Пети вместе было 7 шариков. Сколько шариков было у Вани, если у Пети было 3 шарика?

(Типичная ошибка 7 + 3 или 3 + 4.) 274

Подведем итог всего сказанного выше в виде формулировки ос­новных условий корректной методической подготовки ребенка к обучению решению задач:

Первым необходимым условием является обучение ребенка мо­делированию различных ситуаций (объединение совокупностей, удаление части, увеличение на несколько штук, сравнение и т. п.) на различной предметной наглядности символического характера (используются простейшие заменители — фигурки, палочки и т. д.) так, как это описано выше.

Вторым необходимым условием является обучение ребенка выбо­ру соответствующих арифметических действий и составлению мате­матических выражений в соответствии с ситуацией, заданной текстом.

Третье необходимое условие — следует убедиться, что ребенок достаточно уверенно пользуется приемом присчитывания и отсчи-тывания, поскольку для получения результата арифметического действия следует это действие выполнять, а не получать ответ пе­ресчетом. Пересчет — это лишь способ проверки правильности по­лученного результата.

Для того чтобы подвести ребенка к пониманию того, что для решения задачи необходимо научиться получать ответ не пере­счетом, а другими, чисто математическими приемами (на первом этапе — присчитыванием и отсчитыванием, а затем — путем вы­полнения приемов арифметических действий), следует соответст­вующим образом организовывать наглядность. Для исключения пересчета рекомендуется использовать прием работы со «скрытой» наглядностью, т. е. сначала наглядность предъявляется, сосчиты­вается, обозначается цифрами, а затем прячется (в коробку, кон­верт, корзину, за ширму и т. п.). После этого в соответствии с сю­жетом задания приступают к выбору действия, поясняя его.

Например разбор задачи про мартышек может выглядеть так:

Учитель: На ветке сидели 6 мартышек.

Педагог выставляет мартышек и предлагает обозначить их количество цифрой. Затем изображение задергивается занавеской и сообщается про­должение сюжета:

— Одна свалилась.

Эту одну мартышку можно достать из-за занавески и поставить на не­закрытую часть фланелеграфа.

— Обозначьте эту мартышку цифрой.

(Дети выбирают карточки с нужными цифрами, объясняя смысл каждой.)

Теперь рядом с занавеской две карточки с цифрами: 6 и 1.

— Каким действием можно обозначить то, что мартышка свалилась с ветки? (Вычитанием.)

— Почему вы выбираете вычитание? Почему не сложение? (Мартыш­ка свалилась с ветки, и теперь на ветке их будет меньше, значит, надо от­нять.)

Запись завершается выбором карточки со знаком вычитания. Теперь на фланелеграфе выражение: 6-1.

— Как найти значение этого выражения?

(Дети используют любой знакомый способ, объясняя его.)

— Закончите запись. Какой знак нужно поставить, чтобы обозначить, что получилось 5 мартышек? (Знак равенства.)

— Фиксируем на фланелеграфе равенство: 6-1 = 5.

После этого занавеска отдергивается и детям предлагается проверить правильность ответа пересчетом.

Данная методика работы с наглядностью может быть исполь­зована в ситуации любой простой задачи, поскольку позволяет организовать и стимулировать как процесс выбора действия для решения задачи, так и провести проверку полученного результата пересчетом, что уже с первых же шагов будет формировать у ре­бенка правильное представление о том, что в решении задачи глав­ное — это поиск действия, и о том, что решение задачи и ее провер­ка — это разные учебные действия.

Правильный выбор арифметического действия для решения за­дачи во многом зависит от умения учащихся переводить различные реальные явления и связи между ними на язык математических символов. В связи с этим полезно использовать на уроках задания, связанные с составлением рассказа по картинке, и записи его с по­мощью математических символов. Такие картинки есть в учебнике.

Например:

Составь рассказ по картинке, который соответствовал бы записи П + П = П.

Можно составить такой рассказ: «На одной ветке 3 вишни, а на другой 1. На двух ветках вместе 4 вишни». В соответствии с этой ситуацией в первое окошко нужно поставить число 3, во второе -число 1, а третье — число 4. Можно составить и другой рассказ: «На одной ветке 1 вишня, а на другой на 2 вишни больше. На второй ветке 3 вишни». Тогда получим запись: 1 + 2 = 3. Второй рассказ, конечно, можно услышать не так часто, но педагог должен быть готов к любому варианту.

Рассказ не должен на первых порах содержать вопроса, поскольку цель такого задания — учить ребенка составлять математическое выражение или равенство в соответствии с заданной ситуацией. Си­туация задана рисунком, что облегчает ученику ее восприятие, по­скольку ведущий вид мышления в этом возрасте наглядно-образный. Приведем более сложный вариант такого задания:

Составить рассказы по картинке в соответствии с разными видами записей (сложение и вычитание).

Можно использовать картинку из учебника или нарисовать на доске:

Сложность задания состоит в том, что картинка лишена дина­мики и ее мысленную «кодировку на ситуацию» ребенок должен выполнить, не двигая элементы картинки. Когда педагог добавля­ет или убирает элементы картинки, дети легко ориентируются в выборе действия (убираем элементы — вычитание, добавляем эле­менты — сложение). Составить рассказ с действием вычитания по данному рисунку не всегда может даже неподготовленный взрос­лый. В качестве помощи к данному заданию можно использовать соответствующие записи: «составь рассказ в соответствии с запи­сью 5 — 2». (Было 5 вишен. Из них2 на одной ветке, значит, на дру-гой 5 - 2 = 3.)