24

Изучение арифметических действий в начальной школе

Вычислительные приемы сложения и вычитания для чисел первого и второго десятка.

1. Основные понятия.

2. Вычислительные приемы для чисел первого де­сятка.

3. Вычислительные приемы для чисел второго де­сятка.

1. Основные понятия

В начальной школе изучают четыре арифметических действия: в 1 классе дети знакомятся со сложением и вычитанием, во 2 — с умножением и делением.

Сложение и вычитание называют действиями первой ступени. Умножение и деление называют действиями второй ступени.

Символ сложения — знак «+» (плюс), символ вычитания — знак «-» (минус). Символ умножения — знак «х», который на письме часто заменяется точкой, стоящей в центре клетки «•». Символ де­ления — знак «:». В старших классах в качестве символа деления используют также горизонтальную черту (в печатных текстах часто заменяемую на наклонную черту), рассматривая запись вида 3/4, 1/2 как запись деления.

С теоретико-множественной точки зрения сложению соответст­вуют такие предметные действия с совокупностями (множествами, группами предметов) как объединение и увеличение на несколько элементов либо данной совокупности, либо совокупности, сравни­ваемой с данной. В связи с этим, прежде, чем знакомиться с симво­ликой записи действий и вычислениями результатов действий, ре­бенок должен научиться моделировать на предметных совокупно­стях все эти ситуации, понимать (т. е. правильно представлять) их со слов учителя, уметь показывать руками как процесс, так и ре­зультат предметного действия, а затем характеризовать их словесно.

Задания, которые ребенок должен научиться выполнять по сло­весному описанию педагога до знакомства с символикой действия сложения:

1. Возьми три морковки и два яблока (наглядность). Поло­жи их в корзину. Как узнать, сколько их вместе? (Надо сосчитать.)

2. На полке стоит 2 чашки и 4 стакана. Обозначь чашки круж­ками, стаканы квадратиками. Покажи сколько их вместе. Сосчитай.

3. Из вазы взяли 4 конфеты и 1 вафлю. Обозначь их фигур­ками и покажи, сколько всего сладостей взяли из вазы. Сосчитай.

Все три ниже предлагаемые ситуации моделируют объедине­ние двух множеств.

1. У Вани 3 значка. Обозначь значки кружками. Ему дали еще и у него стало на 2 больше. Что надо сделать, чтобы уз­нать, сколько у него теперь значков? (Надо 2 добавить.) Сде­лай это. Сосчитай результат.

2. У Пети было 2 игрушечных грузовика. Обозначь грузови­ки квадратиками. И столько же легковых машин. Обозначь лег­ковые машины кружками. Сколько ты поставил кружков? На день рождения ему подарили еще три легковые машины. Каких машин теперь больше? Обозначь их кружками. Покажи, на сколько больше.

3. В одной коробке 6 карандашей, а в другой на 2 больше. Обозначь карандаши из первой коробки зелеными палочками, карандаши из второй коробки — красными палочками. Пока­жи, сколько карандашей в первой коробке, сколько во второй. В какой коробке карандашей больше? В какой меньше? На сколько?

Эти три ситуации моделируют увеличение на несколько единиц данной совокупности или совокупности, сравниваемой с данной.

Символически данные ситуации описываются с помощью дей­ствия сложения: 6 + 2 = 8.

Действию вычитания соответствуют четыре вида предметных действий:

а) удаление части совокупности (множества);

б) уменьшение данной совокупности на несколько единиц;

в) уменьшение на несколько единиц совокупности, сравниваемой с данной;

г) разностное сравнение двух множеств.

Приведем задания, которые ребенок должен научиться выпол­нять по словесному описанию педагога до знакомства с символи­кой действия вычитания:

1. Удав нюхал цветы на полянке. Всего цветов было 7. Обоз­начь цветы кружками. Пришел Слоненок и нечаянно наступил на 2 цветка. Что надо сделать, чтобы это показать? Покажи, сколько цветов теперь сможет понюхать Слоненок.

2. У Мартышки было б бананов. Обозначь их кружками. Не­сколько бананов она съела и у нее стало на 4 меньше. Что надо сделать, чтобы это показать? Почему ты убрал 4 банана? (Ста­ло на 4меньше.) Покажи оставшиеся бананы. Сколько их?

3. У жука б ног. Обозначь количество ног жука красными палочками. А у слона ног на 2 меньше. Обозначь количество ног слона зелеными палочками. Покажи, у кого ног меньше. У кого ног больше? На сколько?

4. На одной полке стоит 5 чашек. Обозначь чашки кружка­ми. А на другой полке — 8 стаканов. Обозначь стаканы квад­ратиками. Поставь их так, чтобы сразу было видно, чего боль­ше — стаканов или чашек. Чего меньше? На сколько?

Следующие задания приведены в соответствии с видами пред­метных действий, указанных выше.

Символически данные ситуации описываются с помощью дей­ствия вычитания: 8-5 = 3.

После того, как ребенок научится понимать на слух и модели­ровать все означенные виды предметных действий, его можно зна­комить со знаками действий. На этом этапе последовательность указаний педагога такова:

1) обозначьте то, о чем говорится в задании кружками (палочка­ми и т. п.);

2) обозначьте указанное число кружков (палочек) цифрами;

3) поставьте между ними нужный знак действия. Например:

В вазе 4 тюльпана белых и 3 розовых. Обозначьте цифрами число белых тюльпанов и число розовых тюльпанов. Какой знак нужно поставить в записи, чтобы показать, что все тюльпаны стоят в одной вазе?

Составляется запись: 4 + 3.

Такую запись называют -«математическое выражение». Она характеризует количественные признаки ситуации и взаимоотно­шения рассматриваемых совокупностей.

Число 7, получаемое в ответе, называют значением выражения.

Запись вида 3 + 4 = 7 называют равенством. Не стоит сразу ориентировать ребенка на получение полного равенства с записью значения выражения:

.3 + 4 = 7

значение выражения

выражение

равенство

Прежде чем переходить к равенству, полезно предлагать детям задания:

а) на соотнесение ситуации и выражения (подбери выражение к данной ситуации или измени ситуацию в соответствии с выражением — ситуация может быть изображена на картинке, нарисована на доске, смоделирована на фланелеграфе);

б) на составление выражений по ситуациям (составь выражение в соответствии с ситуацией).

После того, как дети научатся правильно выбирать знак действия и объяснять свой выбор, можно перейти к составлению равенства и фиксированию результата действия.

В стабильном учебнике математики действия сложения и вычитания изучаются одновременно. В некоторых альтернативных учебниках (И.И. Аргинская, Н.Б. Истомина) сначала изучается сложение, а затем — вычитание.

Выражение вида 3 + 5 называют суммой.

Числа 3 и 5 в этой записи называют слагаемыми.

Запись вида 3 + 5 = 8 называют равенством. Число 8 называют значением выражения. Поскольку число 8 в данном случае получено в результате суммирования, его также часто называют суммой.

Например:

Найдите сумму чисел 4 и 6. (Ответ: сумма чисел 4 и 6 — это 10.)

Выражение вида 8-3 называют разностью.

Число 8 называют уменьшаемым, а число 3 — вычитаемым.

Значение выражения — число 5 также могут называть разностью.

Например:

Найдите разность чисел 6 и 4. (Ответ: разность чисел 6 и 4 — это 2.)

Поскольку названия компонентов действий сложения и вычитания вводятся по соглашению (детям сообщаются эти названий и их необходимо запомнить), педагог активно использует задания, требующие распознавания компонентов действий и употребления их названий в речи. Например:

1. Среди данных выражений найдите такие, в которых первое слагаемое (уменьшаемое, вычитаемое) равно 3:

3 + 2; 7 - 3; 6 + 3; 8 + 1; 3 + 5; 3 - 2; 7 - 3; 3 + 4; 3 - 1.

2. Составьте выражение, в котором второе слагаемое (уменьшаемое, вычитаемое) равно 5. Найдите его значение.

3. Выберите примеры, в которых сумма равна 6. Подчеркните их красным цветом. Выберите примеры, в которых раз­ность равна 2. Подчеркните их синим цветом.

4. Как называют число 4 в выражении 5 — 4? Как называют число 5? Найдите разность. Составьте другой пример, в котором разность равна тому же числу.

5. Уменьшаемое 18, вычитаемое 9. Найдите разность.

6. Найдите разность чисел 11 и 7. Назовите уменьшаемое, вычитаемое.

Во 2 классе дети знакомятся с правилами проверки результатов действий сложения и вычитания:

Сложение можно проверить вычитанием: 57 + 8 = 65. Проверка: 65-8 = 57.

Из суммы вычли одно слагаемое, получили другое слагаемое. Значит, сложение выполнено верно.

Данное правило применимо к проверке действия сложения в любом концентре (при проверке вычислений с любыми числами).

Вычитание можно проверить сложением: 63-9 = 54. Проверка:54 + 9 = 63.

К разности прибавили вычитаемое, получили уменьшаемое. Значит, вычитание выполнено верно.

Данное правило также применимо к проверке действия вычитания с любыми числами.

В 3 классе дети знакомятся с правилами взаимосвязи компонентов сложения и вычитания, которые являются обобщением представлений ребенка о способах проверки сложения и вычитания:

Если из суммы вычесть одно слагаемое, то получится другое слагаемое.

Если сложить разность и вычитаемое, то получится уменьшаемое.

Если из уменьшаемого вычесть разность, то получится вычитаемое.

Данные правила являются основой для подготовки к решению уравнений, которые в начальной школе решаются с опорой на правило нахождения соответствующего неизвестного компонента ра­венства.

Например:

Решите уравнение 24 — х= 19.

В уравнении неизвестно вычитаемое. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность: х=24— 19, х = 5.