Индивидуальное задание №1

1.Функция нескольких переменных

Задача 1.Найти область определения указанных функций

1.1.	1.2.
1.3.	1.4.
1.5.	1.6.
1.7.	1.8.
1.9.	1.10.
1.11.	1.12.
1.13.	1.14.
1.15.	1.16.
1.17.	1.18.
1.19.	1.20.
1.21.	1.22.
1.23.	1.24.
1.25.	1.26.
1.27.	1.28.
1.29.	1.30.

Задача 2.Вычислить значения частных производныхдля данной функцииf(х,у,z)в точке М₀(х₀, у₀,z₀) с точностью до двух знаков после запятой

2.1. f(x, y, z) =, М0(0, -1, 1).	2.2. f(x, y, z) = М0(1,2,1).
2.3. f(x, y, z) = , М0(/6, 1, 2).	2.4. f(x, y, z) = ln(x^3+2у^3-z^3), М0(2, 1, 0).
2.5. f(x, y, z) = , М0(1, 0, 1).	2.6. f(x, y, z) = М0(0, 0, ).
2.7. f(x, y, z) = , М0(3, 4, 2).	2.8. f(x, y, z) = , М0(2, 1, 0).
2.9. f(x, y, z) = , М0(2, 5, 0).	2.10. f(x, y, z) = М0(2, 0, 4).
2.11. f(x, y, z) = М0(-1, 1, 0).	2.12. f(x, y, z) = , М0(2, 1, 1).
2.13. f(x, y, z)= М0(1,1/2, ).	2.14. f(x, y, z) = , М0(1, 1, 2).
2.15. f(x, y, z)= М0(1, 2, 2).	2.16. f(x, y, z)= М0(5,2,3)
2.17. f(x, y, z) = М0(1, 2, 4).	2.18. f(x, y, z) = М0().
2.19. f(x, y, z) = М0(2, 1, 8).	2.20. f(x, y, z) = М0(2, 3, 25).
2.21. f(x, y, z) = М0(3, 2, 1).	2.22. f(x, y, z) = М0(1, 1, 1).
2.23. f(x, y, z) = М0(3, 0, 1).	2.24. f(x, y, z) = М0(0, 0, 1).
2.25. f(x, y, z) = М0(, , ).	2.26. f(x, y, z) = М0(4, 1, 4).
2.27. f(x, y, z) = М0(3, 1, 1).	2.28. f(x,y,z)= М0(3,4,).
2.29. f(x, y, z) = М0(0, 1, 1).	2.30. f(x, y, z) = М0(0,4,1).

Задача 3.Найти полные дифференциалы указанных функций

3.1. z = 2x^3y – 4xy^5.	3.2. z = x^2ysinx – 3y.
3.3. z = arctgx + .	3.4. z = arcsin(xy) – 3xy^2.
3.5. z = 5xy^4 + 2х^2y^7.	3.6. z = cos(x^2 – y^2) + x^3.
3.7. z = ln(3x^2 - 2y^2).	3.8. z = 5xy^2 – 3x^3y^4.
3.9. z = arcsin(x+y).	3.10. z = arctg(2x –y).
3.11. z = 7x^3y - .	3.12. z = .
3.13. z = .	3.14. z = cos(3x + y) – x^2.
3.15. z = tg((x + y)/(x - y)).	3.16. z = сtg(y/x).
3.17. z = xy^4 – 3x^2y+1.	3.18. z = ln(x + xy – y^2).
3.19. z = 2x^2y^2 + x^3– y^3.	3.20. z = .
3.21. z = arcsin((x + y)/х).	3.22. z = arctg(x - y).
3.23. z = .	3.24. z = y^2 - 3xy– x^4.
3.25. z = arccos(x + y).	3.26. z = ln(y^2 – x^2 +3).
3.27. z = 2 – x^3– y^3 + 5х.	3.28. z = 7х – x^3y^2 + y^4.
3.29. z = e^y-x.	3.30. z = arctg(2x - y).

Задача 4.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхностиSв точке М₀(х₀, у₀,z₀):

1. S: x² + y² + z² +6z - 4x + 8 = 0, М₀(2, 1, -1).

2. S: x² + z² – 4y² = - 2xy, М₀(-2, 1, 2).

3. S: x² + y² + z² – xy + 3z = 7, М₀(1, 2, 1).

4. S: x² + y² + z² + 6y + 4z = 8, М₀(-1, 1, 2).

5. S: 2x² - y² + z² - 4z + y = 13, М₀(2, 1, -1).

6. S: x² + y² + z² - 6y + 4z +4= 0, М₀(2, 1, -1).

7. S: x² + z² – 5yz + 3y = 46, М₀(1, 2, -3).

8. S: x² + y² – xz - yz = 0, М₀(0, 2, 2).

9. S: x² + y² + 2yz – z² + y – 2z = 2, М₀(1, 1, 1).

10. S: y² – z² + x² – 2xz + 2x = z, М₀(1, 1, 1).

11. S: z = x² + y² – 2xy + 2x - y, М₀(-1, -1, -1).

12. S: z = y² – x² + 2xy - 3y, М₀(1, -1, 1).

13. S: z = x² - y² – 2xy - x - 2y, М₀(-1, 1, 1).

14. S: x² -2y² + z² + xz – 4y = 13, М₀(3, 1, 2).

15. S: 4y² – z² + 4xy – xz + 3z = 9, М₀(1, -2, 1).

16. S: z = x² + y² – 3xy - x + y + 2, М₀(2, 1, 0).

17. S: 2x² - y² + 2z² + xy + xz = 3, М₀(1, 2, 1).

18. S: x² - y² + z² - 4x + 2y = 14, М₀(3, 1, 4).

19. S: x² + y² - z² + xz + 4y = 4, М₀(1, 1, 2).

20. S: x² - y² - z² + xz + 4x = -5, М₀(-2, 1, 0).

21. S: x² + y² - xz + yz - 3x = 11, М₀(1, 4, -1).

22. S: x² + 2y² + z² - 4xz = 8, М₀(0, 2, 0).

23. S: x² - y² - 2z² - 2y = 0, М₀(-1, -1, 1).

24. S: x² + y² - 3z² + xy = - 2z, М₀(1, 0, 1).

25. S: 2x² - y² + z² - 6x + 2y + 6 = 0, М₀(1, -1, 1).

26. S: x² + y² - z² + 6xy - z = 8, М₀(1, 1, 0).

27. S: z = 2x² - 3y² + 4x - 2y + 10, М₀(-1, 1, 3).

28. S: z = x² + y² - 4xy + 3x - 15, М₀(-1, 3, 4).

29. S: z = x² + 2y² + 4xy – 5y - 10, М₀(-7, 1, 8).

30. S: z = 2x² - 3y² + xy + 3x + 1, М₀(1, -1, 2).

Задача 5.Найти вторые частные производные указанных функций. Убедиться в том, что.

1. z = .	2. z = ctg(x + y).
3. z = tg(x/y).	4. z = cos(xy^2).
5. z = sin(x^2 - y).	6. z = arctg(x + y).
7. z = arcsin(x - y).	8. z = arccos(2x + y).
9. z = arctg(x - 3y).	10. z = ln(3x^2 - 2y^2).
11. z = .	12. z = ctg(y/x).
13. z = tg.	14. z = cos(x^2y^2 –5).
15. z = sin.	16. z = arcsin(x - 2y).
17. z = arccos(4x - y).	18. z = arctg(5x + 2y).
19. z = arctg(2x - y).	20. z = ln(4x^2 - 5y^3).
21. z = .	22. z = arcsin(4x + y).
23. z = arccos(x - 5y).	24. z = sin.
25. z = cos(3x^2 – y^3).	26. z = arctg(3x + 2y).
27. z = ln(5x^2 - 3y^4).	28. z = arcctg(x - 4y).
29. z = ln(3xy - 4).	30. z = tg(xy^2).

Задача 6. Исследовать на экстремумы следующие функции

1. z = x^2-2y²-x+14y	2. z= x³+8y³-6xy+5.
3. z = 1+15 x -2x²- xy -2y².	4. z = 1+6 x -x²- xy - y².
5. z = x³+y²-6xy-39х +18у+20.	6. z = 2x³+2y³-6xy +5.
7. z = 3x³+3y³-9xy +10.	8. z = x² + xy +y² +х – у+1.
9. z = 4 (x –y)- x² - y².	10. z = 6 (x –y)-3x² - 3y².
11. z = x² + xy +y² - 6х – 9у.	12. z = (x – 2)² + 2y² - 10.
13. z = (x – 5)² + y² + 1.	14. z = x³ + y³ - 3xy.
15. z = 2xy - 2x² - 4y².	16. z = х√у - х²- y +6х +3.
17. z = 2xу - 5x² - 3y² +2m.	18. z = xy (12 - x – y).
19. z = xу - x² - y² +9.	20. z = 2xу - 3x² - 2y² + 10.
21. z = x³ + 8y³ - 6xy + 1.	22. z = у√х - у²- х - 6у.
23. z = x² - xy +y² + 9х + 6у +20.	24. z = ху (6 - х – у).
25. z = x² + y² - ху + х + у.	26. z = x² + xy +y² - 2х - у.
27. z = (x – 1)² + 2y² .	28. z = ху - 3x² - 2y².
29. z = x² + 3 (у +2)².	30. z = 2 (х + у) -x² - y².