Л-я вышмат 11

Лекция 11

Функциональные ряды

Вопросы.

1. Определение функционального ряда.

2.Дайте определение степенного ряда.

3.Сформулируйте теорему Абеля.

4.Что называется радиусом сходимости степенного ряда?

5.Как определить интервал сходимости степенного ряда?

6.Какие способы определения радиуса сходимости степенного ряда вы знаете?

1. Функциональные ряды.

Функциональным называется ряд вида

(1)

При конкретном значении ряд (1) становится числовым рядом. Следовательно при одних значениях ряд (1) может сходится, при других – расходится. Множество значений , при которых ряд (1) сходится, называется областью сходимости ряда (1). Так как в области сходимости ряда его сумма является некоторой функцией от , то сумму ряда будем обозначать .

Пример 1. Очевидно, что при ряд

Является убывающей геометрической прогрессией () с суммой Следовательно в (-1,1) ряд сходится и

Пусть

- остаток ряда. Тогда в области сходимости ряда (10)

2.Равномерная сходимость. Действия над функциональными рядами.

Определение 2. Ряд (10) называется мажорируемым в области , если существует сходящийся знакоположительный числовой ряд

, (2)

Такой, что выполняются соотношения:

Пример 2. Очевидно, что ряд

Мажорируем на всей числовой оси, так как , а ряд - сходящийся.

Очевидно, что ряд мажорируемый в , абсолютно сходится в .

Определение 3. Ряд (10), сходящийся на , называется равномерно сходящимся, если что при всех

Теорема 2. Ряд (10), мажорируемый на сходится на этом отрезке равномерно.

Из теоремы 2 следует, что мажорируемость более сильное условие чем равномерноая сходимость, т.е. существует не мажорируемые ряды, сходящиеся равномерно.

Теорема 3. Пусть ряд (10) равномерно сходится на и - его сумма. Тогда если

1. - существует, то

2. - непрерывны в , непрерывна в и

- почленное интегрирование.

Теорема 4. Если ряд (10) сходится на , , а ряд

сходится равномерно на , то

- почленное дифференцирование.

3.Степенные ряды. Интервал сходимости.

Степенные ряды т.е. ряды, члены которых есть степенные функции, являются одним из основных примеров функциональных рядов.

Определение. Ряд вида

(3)

называется степенным рядом а числа называются его коэффициентами.

Степенной ряд всегда сходится при . Следующая теорема описывает его область сходимости.

Теорема 1. (Теорема Абеля)

а) Если степенной ряд (3) сходится в точке () то он сходится для всех из интервала (см. рис.1,а)).

б) Если степенной ряд расходится в точке , то он расходится для всех , удовлетворяющих неравенству (см. рис.1,б)).

Рис. 1, а).

Рис.1, б)

Доказательство. а) Так как ряд

сходится то согласно необходимому признаку  откуда следует, что последовательность ограничена, т.е. существует число , такое что

.

Пусть . Рассмотрим абсолютную сходимость ряда

.

Получим

. (4)

Обозначим через , где и .

Сравнивая с помощью первого признака сравнения ряд (10.18) и сходящуюся геометрическую прогрессию

,

получаем что (4) сходится.

в) Этот пункт доказывается от противного.

Допустим что найдется такое, что для которого ряд (3) сходится. Тогда согласно пункту а) поскольку он должен сходится в точке . Противоречие.

Определение. Наибольшее значение такое, что в интервале степенной ряд (10.17) сходится, называется радиусом сходимости этого ряда (обозначается через ) а интервал называется его интервалом сходимости.

Из теоремы Абеля следует что в интервале ряд (3) сходится а в интервалах и он расходится (см. рис.2).

сходится

расходится расходится

Рис.2.

Сходимость ряда в точке исследуется дополнительно.

Если ряд сходится только в точке  то считается равным  а если он сходится для всех , то считается равным .

Для определения радиуса сходимости имеются следующие формулы получаемые из признаков Даламбера и Коши.

 (5)

(6)

Однако проще находить интервал сходимости путем непосредственного применения признаков Даламбера или Коши к абсолютным величинам членов ряда (5).

Пример22. Найдем область сходимости ряда .

Исследуем абсолютную сходимость этого ряда с помощью признака Даламбера получим

.

Отсюда получаем что при , т.е. в интервале (11) этот ряд сходится а при , т.е. в интервалах и он расходится. Поэтому радиус сходимости ряда и интервал сходимости есть (11).

Исследуем концы этого интервала. Подставив в ряд, получим числовой ряд

,

который является гармоническим расходящимся рядом. Подставив , получим знакочередующийся ряд

.

Выше с помощью признака Лейбница было проверено что он сходится. Окончательно получаем, что область сходимости исследуемого ряда есть

4. Непрерывность суммы степенного ряда. Интегрирование и

дифференцирование степенных рядов

Теорема 2. Пусть отрезок лежит в интервале сходимости степенного ряда

,

тогда в этот ряд сходится абсолютно и равномерно.

Доказательство. Пусть для определенности .

Для этот ряд сходится. Далее повторяем доказательства а) теоремы Абеля для .

Перенесем теперь рассмотренные выше свойства равномерно сходящихся рядов на случай степенных рядов.

Свойства степенных рядов.

1. Сумма степенного ряда (10.17) непрерывна в интервале сходимости .

Это следует из того что любое можно заключить в отрезок , в котором ряд (10.17) сходится равномерно.

2. Пусть сумма степенного ряда (10.17) и отрезок лежит в интервале сходимости , тогда

.

Здесь в правой части равенства стоит сумма интегралов членов ряда (3)

.

3) Производная суммы степенного ряда (3) в интервале сходимости равна сумме степенного ряда, составленного из производных членов ряда (3), т.е.

.

Здесь мы оставили без доказательства тот факт что ряд из производных ряда (3) имеет тот же интервал сходимости .

4) Сумма степенного ряда (3) в интервале бесконечно дифференцируема.

Это следует из того что согласно свойству 3) является суммой степенного ряда поэтому операцию дифференцирования можно провести еще один раз снова является суммой степенного ряда в и т.д.

Определение. Функциональный ряд

(7)

называется смещенным степенным рядом с центром в .

Если обозначить через , то смещенный степенной ряд превращается в степенной ряд вида (3). Поэтому ряд (7) имеет интервал сходимости вида и в этом интервале обладает всеми свойствами степенных рядов.

Примеры из экономики. В экономике бесконечные ряды и их суммы появляются в основном в теоретических исследованиях. Предположим, рассматривается вопрос о рыночной цене бессрочной облигации номиналом 1000$. И 3-процентным купоном. Это значит, что владелец этой облигации будет каждый год получать 30$. Но как определить истинную цену всей этой бесконечной последовательности платежей? Как правило, любая валюта подвержена инфляции небольшая инфляция 1-2% полезна). Если инфляция составляет 2% в год, то 30$, которые получим через год, сейчас эквивалентны , через 2 года - и т.д. Выходит, что бесконечный ряд платежей эквивалентны сумме ряда .

Такого рода дисконтирование, т.е. нахождение сегодняшних эквивалентов прошлых и будущих платежей, применяется и в других ситуациях. Для выяснения, какая лучше из двух стратегий фирмы будет в будущем. Сегодняшний эквивалент этих дисконтированных прибылей представляет сумму бесконечного ряда. Какая их этих сумм больше, ту стратегию, наверное, и нужно выбирать.

Литература

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление, М.:Наука, 1988г.

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. Т.1,2 М.:Наука, 1985г.

3. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 1,2, М.: Высшая школа, 1981г.

4. Бронштейн И.Н.,Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров.М.: Высшая школа,1997 .

5. ИДЗ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Под редакцией Рябушко А.П., ч.1,2 Минск, «ВШ», 2002г.